2020年安徽省初中学业水平考试数学模拟试卷4

 2020 年安徽省初中学业水平考试

数学模拟试卷(四)

时间：120分钟　　　　满分：150分

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1．下列四个数中，最小的数是(　B　)

A．2　　 　　 B．－2　　　 　

C．0　　　 　 D．－

2．下列运算正确的是(　B　)

A．3a－a＝3　　　　  B．a2·a3＝a5 　　　

C．(a2)3＝a5　　　　  D．(2a)2＝2a2

3．已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是(　B　)

A．10　　　　   B．9　　　　　　

C．8　　　　　　  D．7

4．2019年端午节小长假期间，黄山风景区接待游客约为85 000人，将数据用科学记数法表示为(　C　)

A．8.5×105　   B．0.85×105

C．8.5×104  D．85×103

5．如图，AB∥CD，CE交AB于点F.∠A＝20°，∠E＝30°，则∠C的度数为(　A　)

A．50°　  B．55°　

C．60°　  D．65°

6．已知方程组的解为则2a－3b的值为(　B　)

A．4  B．6

C．－6  D．－4

7. 下列变形正确的是(　D　)

A．＝　　　　  B．＝－

C．＝　　　　　  D．＝

8．某工厂计划用两个月把产量提高21%，如果每月比上月提高的百分数相同，求这个百分数．若设每月提高的百分数为x，原产量为a，可列方程为a(1＋x)2＝a(1＋21%)，那么解此方程后依题意作答，正确的是(　D　)

A．这个百分数为2.1%或10%　　　　  B．x1＝2.1，x2＝0.1

C．x1＝－2.1，x2＝0.1　　  D．这个百分数为10%

9．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E在边AD上，点G在边BC上，点F，H在对角线BD上，若四边形EFGH是正方形，则AE的长是(　B　)

A．5　　　　   B．　　　　 

C．　　　　　　　  D．

10．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，PA－PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是(　C　)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．－8的立方根等于__－2__.

12．某班的中考英语听力口语模拟考试成绩如下：

该班中考英语听力口语模拟考试成绩的众数比中位数多__1__分．

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D，则扇形CAD的周长是__2＋__(结果保留π)．

14．小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，得到如上图形，移动点C，小南发现：当AD＝BC时，∠ABD＝90°；请你继续探索；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是__30°或150°__.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．解方程3x2－5x＋1＝0.

解：∵a＝3，b＝－5，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×3×1＝13＞0，∴x＝，∴原方程的解为x1＝，x2＝.

16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．请你求出此人第六天的路程．

解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，由题意，得x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＝378，解得x＝6.故此人第六天走的路程为6里．

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点．

(1)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°，得到△A1BC1，请在网格中画出△A1BC1；

(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到△A′B′C′，请在网格中画出△A′B′C′.

解：(1)如图所示：△A1BC1，即为所求；

(2)如图所示：△A′B′C′，即为所求．

18．【阅读理解】借助图形的直观性，我们可以直接得到一些有规律的算式的结果，比如：由图①，通过对小黑点的计数，我们可以得到1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由图②，通过对小圆圈的计数，我们可以得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

那么13＋23＋33＋…＋n3结果等于多少呢？

如图③，AB是正方形ABCD的一边，BB′＝n，B′B″＝n－1，B″B＝n－2，……，显然AB＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，分别以AB′，AB″，AB、…为边作正方形，将正方形ABCD分割成块，面积分别记为Sn，Sn－1，Sn－2，…，S1.

【规律探究】

结合图形，可以得到Sn＝2BB′×BC－BB′2＝__n3__，同理有Sn－1＝__(n－1)3__，Sn－2＝__(n－2)3__，…，S1＝13.所以13＋23＋33＋…＋n3＝S四边形ABCD＝__2__.

【解决问题】

根据以上发现，计算的结果为__1 275__.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．如图，是某小区入口抽象成的平面示意图，已知入口BC宽4米，栏杆支点O与地面BC的距离为0.8米，当栏杆OM升起到与门卫室外墙AB的夹角成30°时，一辆宽2.4米，高1.6米的轿车能否从该入口的正中间位置进入该小区？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：≈1.7)

解：轿车能安全通过．理由：如图所示：当轿车从该入口的正中间位置进入该小区时，

车与OB的距离为：4.0÷2－2.4÷2＝0.8(m)，在BC上取点Q，使BQ＝0.8 m，过Q作QP⊥BC交MO于点P，过O作OM⊥PQ于点M，则MQ＝OB＝0.8 m，OM＝BQ＝0.8 m，在Rt△OPM中，∵tan 60°＝，∴PM＝OM·tan 60°＝0.8×≈1.36(m)，∴PQ＝PM＋MQ＝2.16 m＞1.6 m，∴轿车能安全通过．

20．如图，在⊙O中AB是直径，点F是⊙O上一点，点E是的中点，过点E作⊙O的切线，与BA，BF的延长线分别交于点C，D，连接BE.

(1)求证：BD⊥CD．

(2)已知⊙O的半径为2，当AC为何值时，BF＝DF，并说明理由．

(1)证明：如图1，连接OE，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°.∵点E是的中点，∴＝，∴∠ABE＝∠DBE.∵OB＝OE，∴∠ABE＝∠OEB，∴∠DBE＝∠OEB，∴OE∥BD，∴BD⊥CD；

(2)解：当AC＝4时，BF＝DF.理由如下：如图2，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，由(1)知∠D＝90°，∴∠D＝∠AFB，∴AF∥CD，∴＝.∵⊙O的半径为2，∴AB＝4，∴当此时AC＝AB＝4，∴＝1，∴＝1，∴BF＝DF.

六、(本题满分12分)

21．某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：

(1)本次调查的学生共有__50__ 人，扇形统计图中喜欢乒乓球的学生所占的百分比为__28%__ ；

(2)请补全条形统计图(图2)，并估计全校500名学生中最喜欢“足球”项目的有多少人？

补全条形统计图如下：

500×16%＝80(人)，故估计全校500名学生中最喜欢“足球”项目的约有80人；

(3)篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率为.

七、(本题满分12分)

22. 某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t－刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝－(t－h)2＋0.4刻画．

(1)求h的值；

(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系：

①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；

②请用含t的代数式表示m；

(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20 ℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w(元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图2.问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用)．

解：(1)把(25,0.3)的坐标代入p＝－(t－h)2＋0.4，得h＝29或h＝21，∵h>25，∴h＝29；

(2)①由表格可知m是p的一次函数，∴m＝100p－20，②当10≤t≤25时，p＝t－，∴m＝100－20＝2t－40；当25≤t≤37时，p＝－(t－29)2＋0.4，∴m＝100[－(t－29)2＋0.4] －20＝－(t－29)2＋20；

(3)(Ⅰ)当20≤t≤25时，由(20,200)，(25,300)，得w＝20t－200，∴增加利润为600m＋[200×30－w(30－m)]＝ 40t2－600t－4 000，∴当t＝25时，增加利润的最大值为6 000元；

(Ⅱ)当25≤t≤37时，w＝300，增加利润为600m＋[200×30－w(30－m)]＝ 900××(t－29)2＋15 000＝－(t－29)2＋15 000，∴当t＝29时，增加利润的最大值为15 000元．综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15 000元．

八、(本题满分14分)

23. 如图，正方形ABCD的边长为a，E，F分别是边AD，BC的中点，点G在CD上．且＝，DF，EG相交于点H.

(1)求出的值；

(2)求证：EG⊥DF；

(3)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，点P是MN上一点，当点P在什么位置时，△PDC的周长最小，并求△PDC周长的最小值．

(1)解：∵E是边AD的中点，＝，正方形ABCD的边长为a，∴DE＝AD＝a，DG＝DC＝a，在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG＝＝a，∴＝＝；

(2)证明：＝，＝，∴＝.又∠EDG＝∠DCF，∴△EDG∽△DCF，∴∠DEG＝∠CDF.∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＋∠DGE＝90°，∴∠GDH＋∠DGE＝90°，即∠DHG＝90°，∴EG⊥DF；

(3)解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值＝CD＋PD＋PC＝CD＋PD＋PK＝CD＋DK.由题意：CD＝AD＝a，由(1)可知，ED＝AE＝a，DG＝a，EG＝a，△DEG的面积＝×EG×DH＝×DG×DE, DH＝＝a，∴EH＝＝a，∴HM＝＝a，∴DM＝CN＝NK＝＝a，∴DK＝＝a，则△PDC周长的最小值＝CD＋DK＝a.