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初中22.3 实际问题与二次函数复习练习题
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这是一份初中22.3 实际问题与二次函数复习练习题，共14页。试卷主要包含了3实际问题与二次函数练习卷，5分C．6分D．5，2B．0，2x2+1，16，46等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x
2．羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动．某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度h（m）与发球后球飞行的时间t（s）满足关系式h＝﹣t2+2t+1.5，则该运动员发球后1s时，羽毛球飞行的高度为（ ）
A．1.5mB．2mC．2.5mD．3m
3．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A．10米B．15米C．20米D．25米
4．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）
A．mB．6mC．15mD．m
5．如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1 mB．2 mC．3 mD．6 m
7．小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分
8．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为h＝10t﹣t2（0≤t≤14）．若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（ ）
A．0≤a≤42B．0≤a＜50C．42≤a＜50D．42≤a≤50
9．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月B．2月至12月
C．1月D．1月、2月和12月
10．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
二．填空题
11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
12．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
13．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m，在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ．
14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为 m．
15．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是 m．
16．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
三．解答题
17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件．每件盈利120元．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
（1）若商场每天要盈利2070元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
（2）这次降价活动中，2070元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值．
18．文具店某种文具进价为每件20元．市场调查反映：当售价为每件30元时，平均每星期可售出140件；而当每件的售价涨1元时，平均每星期少售出10件．设每件涨价x元，平均每星期的总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大？且每星期的最大利润是多少？
19．小明将小球沿地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）与它的飞行时间x（s）满足二次函数关系，y与x的几组对应值如表所示：
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）问：小球的飞行高度能否达到20.5m？请说明理由．
20．新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y1（盒）与售价x（元）之间的关系为y1＝400﹣8x；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
21．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．
（1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；
（2）通过计算，判断这个球员能否投中？
22．某地准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长为a米，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若a＝18，求x的取值范围；
（3）当a＝12时，求y的最大值．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于3cm？
（3）当t为何值时，五边形APQCD的面积有最小值？最小值为多少？
参考答案
一．选择题
1．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，
∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，
则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，
故选：C．
2．解：∵h＝﹣t2+2t+1.5，
∴t＝1时，h＝﹣1+2+1.5＝2.5m，
故选：C．
3．解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为（40﹣2x）米，
S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．
要使矩形ABCD面积最大，
则x＝﹣＝﹣＝10米，
即x的长为10米．
故选：A．
4．解：根据题意得：y＝30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），
整理得y＝﹣x2+12x，
＝﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，
＝﹣（x﹣）2+15，
∵
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
故选：D．
5．解：∵AB＝4，CD＝3，
∴B（2，3），
设抛物线解析式为：y＝ax2，
则3＝4x，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2．
故选：A．
6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
2×3﹣4＝2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．
故选：B．
7．解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．
故选：C．
8．解：
∵a≥0，由题意得方程
10t﹣t2＝a有两个不相等的实根
∴△＝b2﹣4ac＝102+4××a＞0得0≤a＜50
又∵0≤t≤14
∴当t＝14时，a＝h＝10×14﹣×142＝42
所以a的取值范围为：42≤a＜50
故选：C．
9．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
10．解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
二．填空题
11．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
12．解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
13．解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，
∵由AB＝20，AB到拱桥顶C的距离为4m，
则C（10，4），A（0，0），B（20，0）
把A，B，C的坐标分别代入得a＝﹣0.04，h＝10，k＝4
抛物线的解析式为y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．
故答案为：y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．
14．解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3．
将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；
令x＝0，则y＝﹣+3＝2.25．
故水管AB的长为2.25m．
故答案为：2.25．
15．解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，
把点A（0，5）代入抛物线解析式得：
a＝﹣，
∴抛物线解析式：
y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
∴OB＝3（m）．
故答案为3．
16．解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
三．解答题
17．解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：
（0.1x+20）（120﹣x）＝2070，
解得：x1＝﹣110（舍去），x2＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
（2）这次降价活动中，2070元不是最高日盈利，理由如下：
设盈利为w元，由题意得：
w＝（0.1x+20）（120﹣x）
＝﹣0.1（x+40）2+2560，
∵x≥0，
∴当x＝0时，w取得最大值，此时w＝2400．
即最高盈利是2400元．
18．解：（1）y＝（30+x﹣20）（140﹣10x）
＝﹣10x2+40x+1400（0≤x≤14）
答：y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+40x+1400．
自变量的取值范围是0≤x≤14．
（2）∵y＝﹣10x2+40x+1400＝﹣10（x﹣2）2+1440
∴顶点坐标为（2，1440），﹣10＜0，
∴当x＝2时，y有最大值为1440
答：定价为32元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1440元．
19．解：（1）根据表格数据，可知：
抛物线过原点，
所以设抛物线解析式为y＝ax2+bx
当x＝1时，y＝15，x＝2时，y＝20，得
解得
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣5x2+20x．
（2）方法一：
y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，
因为a＝﹣5＜0，当x＝2时，y有最大值为20，
20＜20.5，所以小球的飞行高度不能能达到20.5m．
方法二：
令y＝2.05，则2.05＝﹣5x2+20x．△＜0，
此方程无解．所以小球的飞行高度不能能达到20.5m．
答：小球的飞行高度不能能达到20.5m．
20．解：（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得：
，
解得：．
∴甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．
（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]
＝﹣5x2+450x﹣9000
＝﹣5（x﹣45）2+1125，
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元．
当售价为45元时，y1＝400﹣8x＝400﹣8×45＝40（盒）；
∴甲口罩的销售利润为：（45﹣20）×40＝1000（元），
∴此时两种口罩的销售利润总和为：1125+1000＝2125（元）．
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．
（3）由题意得：400﹣8x≥[100﹣5（x﹣40）]，
解得：x≤36，
∵两种口罩的利润总和w总＝（400﹣8x）（x﹣20）+（﹣5x2+450x﹣9000）
＝﹣13x2+1010x﹣17000，
∴对称轴为：x＝＞36，
∴当x＝36时，两种口罩的利润总和最高．
∴若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．
21．解：（1）依题意得抛物线顶点为（4，4），
则设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4
依题意得抛物线经过点（0，2）
∴a（0﹣4）2+4＝2
解得
∴抛物线的解析式为
（2）当x＝7时，
∴这个球员不能投中．
22．解：（1）由题意可得，
y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；
（2）∵a＝18，
∴0＜30﹣2x≤18，
解得，6≤x＜15，
即x的取值范围是6≤x＜15；
（3））∵a＝12，
∴0＜30﹣2x≤12，
解得，9≤x＜15，
∵y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝108，
即当a＝12时，y的最大值是108．
23．解：（1）由题意：BQ＝2t cm，PB＝（6﹣t）cm，
故答案为2t，（6﹣t）．
（2）由题意，得．
解得（不合题意，舍去），t2＝3．
所以当t＝3秒时，PQ的长度等于；
（3）存在．理由如下：
设五边形APQCD的面积为S．
∵S矩形ABCD＝6×8＝48（cm2），
∴，
∴当t＝3秒时，五边形APQCD的面积有最小值，最小值为39cm2．
x/分
…
2.66
3.23
3.46
…
y/米
…
69.16
69.62
68.46
…
x（s）
0
0.5
1
2
2.5
…
y（m）
0
8.75
15
20
18.75
…
一．选择题
1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x
2．羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动．某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度h（m）与发球后球飞行的时间t（s）满足关系式h＝﹣t2+2t+1.5，则该运动员发球后1s时，羽毛球飞行的高度为（ ）
A．1.5mB．2mC．2.5mD．3m
3．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A．10米B．15米C．20米D．25米
4．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）
A．mB．6mC．15mD．m
5．如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1 mB．2 mC．3 mD．6 m
7．小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分
8．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为h＝10t﹣t2（0≤t≤14）．若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（ ）
A．0≤a≤42B．0≤a＜50C．42≤a＜50D．42≤a≤50
9．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月B．2月至12月
C．1月D．1月、2月和12月
10．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
二．填空题
11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
12．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
13．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m，在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ．
14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为 m．
15．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是 m．
16．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
三．解答题
17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件．每件盈利120元．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
（1）若商场每天要盈利2070元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
（2）这次降价活动中，2070元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值．
18．文具店某种文具进价为每件20元．市场调查反映：当售价为每件30元时，平均每星期可售出140件；而当每件的售价涨1元时，平均每星期少售出10件．设每件涨价x元，平均每星期的总利润为y元．
（1）写出y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大？且每星期的最大利润是多少？
19．小明将小球沿地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）与它的飞行时间x（s）满足二次函数关系，y与x的几组对应值如表所示：
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）问：小球的飞行高度能否达到20.5m？请说明理由．
20．新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y1（盒）与售价x（元）之间的关系为y1＝400﹣8x；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
21．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．
（1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；
（2）通过计算，判断这个球员能否投中？
22．某地准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长为a米，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若a＝18，求x的取值范围；
（3）当a＝12时，求y的最大值．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于3cm？
（3）当t为何值时，五边形APQCD的面积有最小值？最小值为多少？
参考答案
一．选择题
1．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，
∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，
则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，
故选：C．
2．解：∵h＝﹣t2+2t+1.5，
∴t＝1时，h＝﹣1+2+1.5＝2.5m，
故选：C．
3．解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为（40﹣2x）米，
S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．
要使矩形ABCD面积最大，
则x＝﹣＝﹣＝10米，
即x的长为10米．
故选：A．
4．解：根据题意得：y＝30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），
整理得y＝﹣x2+12x，
＝﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，
＝﹣（x﹣）2+15，
∵
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
故选：D．
5．解：∵AB＝4，CD＝3，
∴B（2，3），
设抛物线解析式为：y＝ax2，
则3＝4x，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2．
故选：A．
6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
2×3﹣4＝2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．
故选：B．
7．解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．
故选：C．
8．解：
∵a≥0，由题意得方程
10t﹣t2＝a有两个不相等的实根
∴△＝b2﹣4ac＝102+4××a＞0得0≤a＜50
又∵0≤t≤14
∴当t＝14时，a＝h＝10×14﹣×142＝42
所以a的取值范围为：42≤a＜50
故选：C．
9．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
10．解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
二．填空题
11．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
12．解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
13．解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，
∵由AB＝20，AB到拱桥顶C的距离为4m，
则C（10，4），A（0，0），B（20，0）
把A，B，C的坐标分别代入得a＝﹣0.04，h＝10，k＝4
抛物线的解析式为y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．
故答案为：y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．
14．解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3．
将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；
令x＝0，则y＝﹣+3＝2.25．
故水管AB的长为2.25m．
故答案为：2.25．
15．解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，
把点A（0，5）代入抛物线解析式得：
a＝﹣，
∴抛物线解析式：
y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
∴OB＝3（m）．
故答案为3．
16．解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
三．解答题
17．解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：
（0.1x+20）（120﹣x）＝2070，
解得：x1＝﹣110（舍去），x2＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
（2）这次降价活动中，2070元不是最高日盈利，理由如下：
设盈利为w元，由题意得：
w＝（0.1x+20）（120﹣x）
＝﹣0.1（x+40）2+2560，
∵x≥0，
∴当x＝0时，w取得最大值，此时w＝2400．
即最高盈利是2400元．
18．解：（1）y＝（30+x﹣20）（140﹣10x）
＝﹣10x2+40x+1400（0≤x≤14）
答：y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+40x+1400．
自变量的取值范围是0≤x≤14．
（2）∵y＝﹣10x2+40x+1400＝﹣10（x﹣2）2+1440
∴顶点坐标为（2，1440），﹣10＜0，
∴当x＝2时，y有最大值为1440
答：定价为32元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1440元．
19．解：（1）根据表格数据，可知：
抛物线过原点，
所以设抛物线解析式为y＝ax2+bx
当x＝1时，y＝15，x＝2时，y＝20，得
解得
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣5x2+20x．
（2）方法一：
y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，
因为a＝﹣5＜0，当x＝2时，y有最大值为20，
20＜20.5，所以小球的飞行高度不能能达到20.5m．
方法二：
令y＝2.05，则2.05＝﹣5x2+20x．△＜0，
此方程无解．所以小球的飞行高度不能能达到20.5m．
答：小球的飞行高度不能能达到20.5m．
20．解：（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得：
，
解得：．
∴甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．
（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]
＝﹣5x2+450x﹣9000
＝﹣5（x﹣45）2+1125，
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元．
当售价为45元时，y1＝400﹣8x＝400﹣8×45＝40（盒）；
∴甲口罩的销售利润为：（45﹣20）×40＝1000（元），
∴此时两种口罩的销售利润总和为：1125+1000＝2125（元）．
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．
（3）由题意得：400﹣8x≥[100﹣5（x﹣40）]，
解得：x≤36，
∵两种口罩的利润总和w总＝（400﹣8x）（x﹣20）+（﹣5x2+450x﹣9000）
＝﹣13x2+1010x﹣17000，
∴对称轴为：x＝＞36，
∴当x＝36时，两种口罩的利润总和最高．
∴若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．
21．解：（1）依题意得抛物线顶点为（4，4），
则设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4
依题意得抛物线经过点（0，2）
∴a（0﹣4）2+4＝2
解得
∴抛物线的解析式为
（2）当x＝7时，
∴这个球员不能投中．
22．解：（1）由题意可得，
y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；
（2）∵a＝18，
∴0＜30﹣2x≤18，
解得，6≤x＜15，
即x的取值范围是6≤x＜15；
（3））∵a＝12，
∴0＜30﹣2x≤12，
解得，9≤x＜15，
∵y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝108，
即当a＝12时，y的最大值是108．
23．解：（1）由题意：BQ＝2t cm，PB＝（6﹣t）cm，
故答案为2t，（6﹣t）．
（2）由题意，得．
解得（不合题意，舍去），t2＝3．
所以当t＝3秒时，PQ的长度等于；
（3）存在．理由如下：
设五边形APQCD的面积为S．
∵S矩形ABCD＝6×8＝48（cm2），
∴，
∴当t＝3秒时，五边形APQCD的面积有最小值，最小值为39cm2．
x/分
…
2.66
3.23
3.46
…
y/米
…
69.16
69.62
68.46
…
x（s）
0
0.5
1
2
2.5
…
y（m）
0
8.75
15
20
18.75
…
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