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2019-2020学年河南省商丘市永城市八年级（下）期末数学试卷（b卷） 解析版
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2019-2020学年河南省商丘市永城市八年级（下）期末数学试卷（B卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项．
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
3．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+＝0，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
4．（3分）菱形具有、矩形却不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．2+＝2 C．×＝ D．＝2
6．（3分）如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
7．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
8．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按5：3：2的比例计入总评成绩，小明的三项成绩分别是90，95，90（单位：分）他的总评成绩是（ ）
A．91分 B．91.5分 C．92分 D．92.5分
9．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝2kx﹣b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若与最简二次根式可以合并，则实数a的值是 ．
12．（3分）将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 ．
13．（3分）据4月13日新华社报道，我国由陈薇院士组织的腺病毒载体重组新冠病毒疫苗率先进入第二期临床试验．我们从中选取甲、乙、丙三组各有7名志愿者，测得三组志愿者的体重数据的平均数都是58，方差分别为S甲2＝36，S乙2＝25，S丙2＝16，则数据波动最小的一组是 ．
14．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠ECA＝20°，则∠BDC＝ °．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，那么点A的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）（1）计算：．
（2）计算：．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，接AC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM．求证：EF＝BM．
18．（9分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为A（a，0），求a的值．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若AC⊥BD，且AB＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
21．（10分）某校八年级学生积极响应“停课不停学”，通过网课等方式学习了解防疫知识．为了解该校八年级学生的防疫知识学习情况，网上随机抽查了40名同学的防疫知识问卷调查．根据答卷统计获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息解答下列问题：
（1）扇形①的圆心角的度数是 ；
（2）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校八年级共有320名学生，估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生人数．
22．（10分）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
23．（12分）如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝ ；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年河南省商丘市永城市八年级（下）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项．
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意，得：1﹣x≥0，
解得：x≤1．
故选：C．
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝70°，即可求得∠A与∠C的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∵∠A+∠C＝70°，
∴∠A＝∠C＝35°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝145°．
故选：C．
3．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+＝0，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【解答】解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，
又∵（a﹣b）2+＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝6，b＝8，c＝10，
∵62+82＝36+64＝100＝102，
∴是直角三角形．
故选：D．
4．（3分）菱形具有、矩形却不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【分析】由菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；即可求得答案．
【解答】解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
∴菱形具有、矩形却不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．2+＝2 C．×＝ D．＝2
【分析】把选项中的各个式子计算出正确的结果再与选项中的结果对照，即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：不能合并，故选项A错误；
不能合并，故选项B错误；
＝，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
6．（3分）如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】利于交点坐标满足两函数解析式可确定方程3x＝ax+b的解．
【解答】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），
∴关于x的方程3x＝ax+b的解为x＝1．
故选：A．
7．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
【分析】由勾股定理得出＝，得出数轴上点A所表示的数是﹣1，即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：＝，
∴数轴上点A所表示的数是﹣1，
∴a＝﹣1；故选：B．
8．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按5：3：2的比例计入总评成绩，小明的三项成绩分别是90，95，90（单位：分）他的总评成绩是（ ）
A．91分 B．91.5分 C．92分 D．92.5分
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明的总成绩，本题得以解决．
【解答】解：＝91.5（分），
即小明的总成绩是91.5分，
故选：B．
9．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝2kx﹣b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象，可以得到k和b的正负情况，从而可以得到y＝2kx﹣b的图象所经过的象限，本题得以解决．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，
k＜0，b＜0，
则y＝2kx﹣b的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝×2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2≤x≤4时，y＝×2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是B；
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若与最简二次根式可以合并，则实数a的值是 ．
【分析】根据同类二次根式的定义，可得2a+2＝3，解出a的值．
【解答】解：∵与最简二次根式可以合并，
∴2a+2＝3，
∴．
故答案为：．
12．（3分）将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 y＝2x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x﹣5向上平移3个单位所得函数的解析式为y＝2x﹣5+3，即y＝2x﹣2．
故答案为：y＝2x﹣2．
13．（3分）据4月13日新华社报道，我国由陈薇院士组织的腺病毒载体重组新冠病毒疫苗率先进入第二期临床试验．我们从中选取甲、乙、丙三组各有7名志愿者，测得三组志愿者的体重数据的平均数都是58，方差分别为S甲2＝36，S乙2＝25，S丙2＝16，则数据波动最小的一组是 丙 ．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝36，S乙2＝25，S丙2＝16，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2，
∴数据波动最小的一组是丙；
故答案为：丙．
14．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠ECA＝20°，则∠BDC＝ 35 °．
【分析】根据菱形的性质可求出∠DBC和∠BCA的和为90°，再根据线段垂直平分线的性质可知∠ECB＝∠EBC，从而得出∠BDC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC．
∵EF垂直平分BC，
∴∠ECF＝∠DBC，
∵∠ECA＝20°，
∴∠BDC＝∠DBC＝＝＝35°，
故答案为35．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，那么点A的坐标是 （﹣2，0）或（4，0） ．
【分析】根据题意画出草图分析．
直线的位置有两种情形．
分别令x＝0、y＝0求相应的y、x的值，得直线与坐标轴交点坐标表达式，结合P点坐标及直线位置求解．
【解答】解：令x＝0，则y＝b； 令y＝0，则x＝﹣．
所以A（﹣，0），B（0，b）．
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），
∴k+b＝1．
①若直线在l1位置，则OA＝，OB＝b．
根据题意有＝＝＝3，∴k＝．
∴b＝1﹣＝．
∴A点坐标为A（﹣2，0）；
②若直线在l2位置，则OA＝﹣，OB＝b
．根据题意有﹣＝3，∴k＝﹣．
∴b＝1﹣（﹣）＝．
∴A点坐标为A（4，0）．
故答案为（﹣2，0）或（4，0）．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）（1）计算：．
（2）计算：．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】（1）解：原式＝
＝
＝；
（2）解：原式＝
＝
＝．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，接AC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM．求证：EF＝BM．
【分析】根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质可得结论．
【解答】证明：∵E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
∵AB⊥BC，M是AC的中点，
∴，
∴EF＝BM．
18．（9分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为A（a，0），求a的值．
【分析】（1）根据点M、N的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）根据点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出a值．
【解答】解：（1）将M（0，2）、N（1，3）代入y＝kx+b中，
得：，解得：，
∴k的值为1，b的值为2．
（2）当y＝0时，有0＝a+2，
解得：a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用勾股定理计算出BC、AC、AB长，再利用逆定理判定△ABC的形状；
（2）利用三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），C（﹣3，1），
∴，BC＝＝，AC＝＝2，
∴，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若AC⊥BD，且AB＝3，则平行四边形ABCD的周长为 12 ．
【分析】（1）证△AOD≌△COB（AAS），得OD＝OB．由OA＝OC，证出四边形ABCD是平行四边形
（2）证四边形ABCD是菱形，得四边形ABCD的周长＝4AB＝12即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC．
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OD＝OB．
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝3，
∴四边形ABCD的周长＝4AB＝12；
故答案为：12．
21．（10分）某校八年级学生积极响应“停课不停学”，通过网课等方式学习了解防疫知识．为了解该校八年级学生的防疫知识学习情况，网上随机抽查了40名同学的防疫知识问卷调查．根据答卷统计获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息解答下列问题：
（1）扇形①的圆心角的度数是 36° ；
（2）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校八年级共有320名学生，估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生人数．
【分析】（1）用360°乘以6分人数占被调查人数的比例即可得；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中得10分人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）∵扇形①的圆心角的度数是360°×＝36°，
故答案为：36°；
（2）∵，
∴平均数是8.3；
∵9出现了12次，次数最多，
∴众数是9；
∵将40个数字按从小到大的顺序排列中间的两个数都是8，
∴中位数是8；
（3）∵，
∴估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生有56人．
22．（10分）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）①根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
②根据B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得该商场应怎样进货才能使销售总利润最大．
【解答】解：（1）设每台A型加湿器的销售利润为a元，每台B型加湿器的销售利润为b元，
，得，
即每台A型加湿器的销售利润为50元，每台B型加湿器的销售利润为100元；
（2）①由题意可得，
y＝50x+100（100﹣x）＝﹣50x+10000，
即y关于x的函数关系式是y＝﹣50x+10000；
②∵B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得，x≥33，
∵y＝﹣50x+10000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，此时100﹣x＝66，
答：商店购进34台A型加湿器和66台B型加湿器的销售总利润最大．
23．（12分）如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝ 5 ；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质和点B的坐标得出∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，由勾股定理求出AC即可；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，证明△DFC∽△AOC，得出对应边成比例，求出DF，得出OD的长，得出D的坐标；再证明△AFE≌△CFD得出EF＝DF，即可得出DE的长；
（3）分两种情形分别讨论即可：①DE为菱形的边．②DE为菱形的对角线．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点B坐标为（4，﹣3）．
∴∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，
∴AC＝＝5．
故答案为：5；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，
∵∠FCD＝∠OCA，∠DFC＝∠AOC＝90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DF＝，DC＝，
∴OD＝OC﹣DC＝4﹣＝．
∴D（，0）；
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF＝∠DCF，
在△AFE和△CFD中，，
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF＝DF．
∴DE＝2DF＝2×＝．
即折痕DE的长为．
（3）如图所示：
由（2）可知，AE＝CD＝
∴E（，﹣3），D（，0），
①当DE为菱形的边时，DP＝DE＝，可得Q（，﹣3），Q1（﹣，﹣3）．
②当DE为菱形的对角线时，P与C重合，Q与A重合，Q2（0，﹣3），
③当点Q在第一象限，E与Q关于x轴对称，Q（，3）
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣3）或（0，﹣3）或（，3）．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项．
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
3．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+＝0，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
4．（3分）菱形具有、矩形却不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．2+＝2 C．×＝ D．＝2
6．（3分）如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
7．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
8．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按5：3：2的比例计入总评成绩，小明的三项成绩分别是90，95，90（单位：分）他的总评成绩是（ ）
A．91分 B．91.5分 C．92分 D．92.5分
9．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝2kx﹣b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若与最简二次根式可以合并，则实数a的值是 ．
12．（3分）将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 ．
13．（3分）据4月13日新华社报道，我国由陈薇院士组织的腺病毒载体重组新冠病毒疫苗率先进入第二期临床试验．我们从中选取甲、乙、丙三组各有7名志愿者，测得三组志愿者的体重数据的平均数都是58，方差分别为S甲2＝36，S乙2＝25，S丙2＝16，则数据波动最小的一组是 ．
14．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠ECA＝20°，则∠BDC＝ °．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，那么点A的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）（1）计算：．
（2）计算：．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，接AC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM．求证：EF＝BM．
18．（9分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为A（a，0），求a的值．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若AC⊥BD，且AB＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
21．（10分）某校八年级学生积极响应“停课不停学”，通过网课等方式学习了解防疫知识．为了解该校八年级学生的防疫知识学习情况，网上随机抽查了40名同学的防疫知识问卷调查．根据答卷统计获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息解答下列问题：
（1）扇形①的圆心角的度数是 ；
（2）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校八年级共有320名学生，估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生人数．
22．（10分）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
23．（12分）如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝ ；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年河南省商丘市永城市八年级（下）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项．
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意，得：1﹣x≥0，
解得：x≤1．
故选：C．
2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝70°，即可求得∠A与∠C的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∵∠A+∠C＝70°，
∴∠A＝∠C＝35°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝145°．
故选：C．
3．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+＝0，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【解答】解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，
又∵（a﹣b）2+＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝6，b＝8，c＝10，
∵62+82＝36+64＝100＝102，
∴是直角三角形．
故选：D．
4．（3分）菱形具有、矩形却不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【分析】由菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；即可求得答案．
【解答】解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
∴菱形具有、矩形却不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．2+＝2 C．×＝ D．＝2
【分析】把选项中的各个式子计算出正确的结果再与选项中的结果对照，即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：不能合并，故选项A错误；
不能合并，故选项B错误；
＝，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
6．（3分）如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】利于交点坐标满足两函数解析式可确定方程3x＝ax+b的解．
【解答】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），
∴关于x的方程3x＝ax+b的解为x＝1．
故选：A．
7．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
【分析】由勾股定理得出＝，得出数轴上点A所表示的数是﹣1，即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：＝，
∴数轴上点A所表示的数是﹣1，
∴a＝﹣1；故选：B．
8．（3分）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按5：3：2的比例计入总评成绩，小明的三项成绩分别是90，95，90（单位：分）他的总评成绩是（ ）
A．91分 B．91.5分 C．92分 D．92.5分
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明的总成绩，本题得以解决．
【解答】解：＝91.5（分），
即小明的总成绩是91.5分，
故选：B．
9．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝2kx﹣b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象，可以得到k和b的正负情况，从而可以得到y＝2kx﹣b的图象所经过的象限，本题得以解决．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，
k＜0，b＜0，
则y＝2kx﹣b的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝×2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2≤x≤4时，y＝×2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是B；
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若与最简二次根式可以合并，则实数a的值是 ．
【分析】根据同类二次根式的定义，可得2a+2＝3，解出a的值．
【解答】解：∵与最简二次根式可以合并，
∴2a+2＝3，
∴．
故答案为：．
12．（3分）将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 y＝2x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x﹣5向上平移3个单位所得函数的解析式为y＝2x﹣5+3，即y＝2x﹣2．
故答案为：y＝2x﹣2．
13．（3分）据4月13日新华社报道，我国由陈薇院士组织的腺病毒载体重组新冠病毒疫苗率先进入第二期临床试验．我们从中选取甲、乙、丙三组各有7名志愿者，测得三组志愿者的体重数据的平均数都是58，方差分别为S甲2＝36，S乙2＝25，S丙2＝16，则数据波动最小的一组是 丙 ．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝36，S乙2＝25，S丙2＝16，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2，
∴数据波动最小的一组是丙；
故答案为：丙．
14．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠ECA＝20°，则∠BDC＝ 35 °．
【分析】根据菱形的性质可求出∠DBC和∠BCA的和为90°，再根据线段垂直平分线的性质可知∠ECB＝∠EBC，从而得出∠BDC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC．
∵EF垂直平分BC，
∴∠ECF＝∠DBC，
∵∠ECA＝20°，
∴∠BDC＝∠DBC＝＝＝35°，
故答案为35．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，那么点A的坐标是 （﹣2，0）或（4，0） ．
【分析】根据题意画出草图分析．
直线的位置有两种情形．
分别令x＝0、y＝0求相应的y、x的值，得直线与坐标轴交点坐标表达式，结合P点坐标及直线位置求解．
【解答】解：令x＝0，则y＝b； 令y＝0，则x＝﹣．
所以A（﹣，0），B（0，b）．
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），
∴k+b＝1．
①若直线在l1位置，则OA＝，OB＝b．
根据题意有＝＝＝3，∴k＝．
∴b＝1﹣＝．
∴A点坐标为A（﹣2，0）；
②若直线在l2位置，则OA＝﹣，OB＝b
．根据题意有﹣＝3，∴k＝﹣．
∴b＝1﹣（﹣）＝．
∴A点坐标为A（4，0）．
故答案为（﹣2，0）或（4，0）．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）（1）计算：．
（2）计算：．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】（1）解：原式＝
＝
＝；
（2）解：原式＝
＝
＝．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，接AC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM．求证：EF＝BM．
【分析】根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质可得结论．
【解答】证明：∵E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
∵AB⊥BC，M是AC的中点，
∴，
∴EF＝BM．
18．（9分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为A（a，0），求a的值．
【分析】（1）根据点M、N的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）根据点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出a值．
【解答】解：（1）将M（0，2）、N（1，3）代入y＝kx+b中，
得：，解得：，
∴k的值为1，b的值为2．
（2）当y＝0时，有0＝a+2，
解得：a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用勾股定理计算出BC、AC、AB长，再利用逆定理判定△ABC的形状；
（2）利用三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），C（﹣3，1），
∴，BC＝＝，AC＝＝2，
∴，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）若AC⊥BD，且AB＝3，则平行四边形ABCD的周长为 12 ．
【分析】（1）证△AOD≌△COB（AAS），得OD＝OB．由OA＝OC，证出四边形ABCD是平行四边形
（2）证四边形ABCD是菱形，得四边形ABCD的周长＝4AB＝12即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC．
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OD＝OB．
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝3，
∴四边形ABCD的周长＝4AB＝12；
故答案为：12．
21．（10分）某校八年级学生积极响应“停课不停学”，通过网课等方式学习了解防疫知识．为了解该校八年级学生的防疫知识学习情况，网上随机抽查了40名同学的防疫知识问卷调查．根据答卷统计获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息解答下列问题：
（1）扇形①的圆心角的度数是 36° ；
（2）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；
（3）若该校八年级共有320名学生，估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生人数．
【分析】（1）用360°乘以6分人数占被调查人数的比例即可得；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中得10分人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）∵扇形①的圆心角的度数是360°×＝36°，
故答案为：36°；
（2）∵，
∴平均数是8.3；
∵9出现了12次，次数最多，
∴众数是9；
∵将40个数字按从小到大的顺序排列中间的两个数都是8，
∴中位数是8；
（3）∵，
∴估计该校八年级防疫知识问卷调查得满分的学生有56人．
22．（10分）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加湿器的利润为2000元．
（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；
（2）①根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
②根据B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得该商场应怎样进货才能使销售总利润最大．
【解答】解：（1）设每台A型加湿器的销售利润为a元，每台B型加湿器的销售利润为b元，
，得，
即每台A型加湿器的销售利润为50元，每台B型加湿器的销售利润为100元；
（2）①由题意可得，
y＝50x+100（100﹣x）＝﹣50x+10000，
即y关于x的函数关系式是y＝﹣50x+10000；
②∵B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得，x≥33，
∵y＝﹣50x+10000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，此时100﹣x＝66，
答：商店购进34台A型加湿器和66台B型加湿器的销售总利润最大．
23．（12分）如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝ 5 ；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质和点B的坐标得出∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，由勾股定理求出AC即可；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，证明△DFC∽△AOC，得出对应边成比例，求出DF，得出OD的长，得出D的坐标；再证明△AFE≌△CFD得出EF＝DF，即可得出DE的长；
（3）分两种情形分别讨论即可：①DE为菱形的边．②DE为菱形的对角线．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点B坐标为（4，﹣3）．
∴∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，
∴AC＝＝5．
故答案为：5；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，
∵∠FCD＝∠OCA，∠DFC＝∠AOC＝90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DF＝，DC＝，
∴OD＝OC﹣DC＝4﹣＝．
∴D（，0）；
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF＝∠DCF，
在△AFE和△CFD中，，
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF＝DF．
∴DE＝2DF＝2×＝．
即折痕DE的长为．
（3）如图所示：
由（2）可知，AE＝CD＝
∴E（，﹣3），D（，0），
①当DE为菱形的边时，DP＝DE＝，可得Q（，﹣3），Q1（﹣，﹣3）．
②当DE为菱形的对角线时，P与C重合，Q与A重合，Q2（0，﹣3），
③当点Q在第一象限，E与Q关于x轴对称，Q（，3）
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣3）或（0，﹣3）或（，3）．
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