数学人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精品课后测评

这是一份数学人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精品课后测评，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．


第Ⅰ卷(选择题 共60分)


一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)


1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )


A．大于0B．小于0


C．无法判断D．等于0


[解析] 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．


[答案] C


2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )


A．y＝B．y＝2－x


C．y＝D．y＝eq \f(1,x)


[解析] 易知函数y＝2－x，y＝，y＝eq \f(1,x)在区间(0，＋∞)上单调递减，函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.


[答案] A


3．若集合M＝{y|y＝2x}，P＝{x|y＝lg2x－1eq \r(3x－2)}，则M∩P＝( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))∪(1，＋∞)


[解析] 集合M表示函数y＝2x的值域，为(0，＋∞)；集合P表示函数y＝lg2x－1eq \r(3x－2)的定义域，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得x>eq \f(2,3)且x≠1，故选D.


[答案] D


4．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )


A．(1,2)B．(0,1)


C．(2，e)D．(3,4)


[解析] f(1)＝ln2－2＝lneq \f(2,e2)

f(2)＝ln3－1＝lneq \f(3,e)>ln1＝0，


所以函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是(1,2)．


[答案] A


5．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lnx，则


feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))的值为( )


A.eq \f(1,ln2)B．－eq \f(1,ln2)


C．－ln2D．ln2


[解析] ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))＝lneq \f(1,e2)＝－2，∴feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.


[答案] C


6．函数f(x)＝eq \f(4x＋1,2x)的图象( )


A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称


C．关于x轴对称D．关于y轴对称


[解析] 易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．


∵f(－x)＝eq \f(4－x＋1,2－x)＝eq \f(1＋4x,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．


[答案] D


7．已知a＝lg27，b＝lg38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )


A．c

C．b

[解析] ∵c＝0.30.2<0.30＝1，a＝lg27>lg24＝2,1

[答案] A


8．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21－x，x≤1，,1－lg2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )


A．[－1,2]B．[0,2]


C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)


[解析] f(x)≤2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,21－x≤2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,1－lg2x≤2))⇔0≤x≤1，或x>1，故选D.


[答案] D


9．在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(1,ax)，y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的图象可能是( )





[解析] 当01时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数y＝eq \f(1,ax)的图象过定点(0,1)且单调递减，函数y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))的图象过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))且单调递增，各选项均不符合，综上，选D.


[答案] D


10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥a,－x，x

A．(－∞，0)B．(－∞，1)


C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)


[解析] 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥a,－x，x




若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是(0，＋∞)，故选D.


[答案] D


11．函数f(x)＝lg2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )


A．(－∞，2]B．(－∞，4]


C．[－2,4]D．(－4,4]


[解析] 因为f(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以y＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增且恒为正，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≤2，,22－2a＋3a>0，))即－4

[答案] D


12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是( )


A．1B．2


C．3D．4


[解析] 因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4b＋c＝c，,4－2b＋c＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝2，))


所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x＋2，x≤0，,2，x>0.))


当x>0时，方程为x＝2，此时方程f(x)＝x只有1个解；


当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，此时方程f(x)＝x有2个解，所以方程f(x)＝x共有3个解．


[答案] C


第Ⅱ卷(非选择题 共90分)


二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)


13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．


[解析] 设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．


[答案] (2,3)


14．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．


[解析] 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.





[答案] (1，＋∞)


15.如右图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝，y＝，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．





[解析] 由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝的图象上，所以2＝lgeq \f(\r(2),2)xA，xA＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＝eq \f(1,2).


点B(xB,2)在函数y＝的图象上，所以2＝，xB＝4.


所以点C(4，yC)在函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x的图象上，


所以yC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))4＝eq \f(1,4).


又xD＝xA＝eq \f(1,2)，yD＝yC＝eq \f(1,4)，


所以点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4))).


[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))


16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最小值是________．


[解析] y＝－3·2x＋5＝eq \f(1,2)(2x)2－3·2x＋5.


令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，


于是y＝eq \f(1,2)t2－3t＋5＝eq \f(1,2)(t－3)2＋eq \f(1,2)，1≤t≤4.


当t＝3时，ymin＝eq \f(1,2).


[答案] eq \f(1,2)


三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)


17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：





(2)lg3eq \f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7lg72.





18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，且函数的图象过点(2,1)．


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)若f(m2－m)<1成立，求实数m的取值范围．


[解] (1)∵函数f(x)的图象过点(2,1)，


∴f(2)＝1，即lga2＝1，解得a＝2，


因此，f(x)＝lg2x(x>0)．


(2)f(m2－m)＝lg2(m2－m)，


∵f(m2－m)<1且1＝lg22，


∴lg2(m2－m)

该不等式等价为：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m>0，,m2－m<2，))


解得－1

∴实数m的取值范围为(－1,0)∪(1,2)．


19．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－eq \f(1,2)，求满足f()≥0的x的取值集合．


[解] ∵－eq \f(1,2)是函数的一个零点，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0.


∵y＝f(x)在(－∞，0]上递增，f()≥0＝f(－eq \f(1,2))


∴－eq \f(1,2)≤≤0


解得1≤x≤2


又y＝f(x)为偶函数，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，


又f()≥0＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))


∴0≤≤eq \f(1,2)


解得eq \f(1,2)≤x≤1


综上所述，x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).


20．(本小题满分12分)已知f(x)＝＋4，x∈[2,4]．





21．(本小题满分12分)近几年，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．


(1)求常数k的值；


(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11)


[解] (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；


当t＝5时，P＝90%P0.


于是有90%P0＝P0e－5k.


解得k＝－eq \f(1,5)ln0.9(或0.022)．





解得t＝eq \f(ln0.4,\f(1,5)ln0.9)≈eq \f(－0.92,\f(1,5)×－0.11)＝eq \f(4.60,0.11)≈41.82.


故污染物减少到40%至少需要42小时．


22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq \f(2x,4x＋1).


(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；


(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；


(3)求函数f(x)的值域．


[解] (1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．


∵函数f(x)为奇函数，


∴f(x)＝－f(－x)＝－eq \f(2－x,4－x＋1)＝－eq \f(2x,1＋4x).


又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，


∴2f(0)＝0，f(0)＝0.


故当x∈(－1,1)时，f(x)的解析式为


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x,4x＋1)，x∈0，1，,0，x＝0，,－\f(2x,4x＋1)，x∈－1，0.))





(3)由(2)知f(x)＝eq \f(2x,4x＋1)在(0,1)上递减，从而由奇函数的对称性知f(x)在(－1,0)上递减．


∴当0

当－1

当x＝0时，f(x)＝f(0)＝0.


故函数f(x)在(－1,1)上的值域为


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2)))∪{0}∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(2,5))).