数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精品课后练习题

这是一份数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精品课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．sin11°cs19°＋cs11°cs71°的值为( )


A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2)


C.eq \f(1＋\r(3),2) D.eq \f(\r(3)－1,2)


[解析] sin11°cs19°＋cs11°cs71°＝cs11°cs71°＋sin11°sin71°＝cs(11°－71°)＝cs(－60°)＝eq \f(1,2).故选B.


[答案] B


2．已知点P(1，eq \r(2))是角α终边上一点，则cs(30°－α)＝( )


A.eq \f(3＋\r(6),6) B.eq \f(3－\r(6),6)


C．－eq \f(3＋\r(6),6) D.eq \f(\r(6)－3,6)


[解析] 因为点P(1，eq \r(2))是角α终边上一点，


所以csα＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，sinα＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)，


所以cs(30°－α)＝cs30°csα＋sin30°sinα


＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(3＋\r(6),6).


[答案] A


3．已知α为锐角，β为第三象限角，且csα＝eq \f(12,13)，sinβ＝－eq \f(3,5)，则cs(α－β)的值为( )


A．－eq \f(63,65) B．－eq \f(33,65) C.eq \f(63,65) D.eq \f(33,65)


[解析] ∵α为锐角，且csα＝eq \f(12,13)，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(5,13)，∵β为第三象限角，且sinβ＝－eq \f(3,5)，∴csβ＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，∴cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(63,65).故选A.


[答案] A


4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,3)<α

A.eq \f(3－4\r(3),10) B.eq \f(4－3\r(3),10)


C.eq \f(2\r(3)－3,5) D.eq \f(3－2\r(3),5)


[解析] ∵eq \f(π,3)<α

∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α)))＝－eq \f(4,5).


∴csα＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \f(π,6)＋


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))·sineq \f(π,6)＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3－4\r(3),10).


[答案] A


5．若cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )


A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(56,65) D.eq \f(36,65)


[解析] ∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴α＋β∈(0，π)，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).


又∵cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，


∴sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(4,5)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(12,13)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))


＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))


＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).


[答案] C


二、填空题


6．cs(30°＋α)csα＋sin(30°＋α)sinα的值是________．


[解析] 原式＝cs[(30°＋α)－α]＝cs30°＝eq \f(\r(3),2).


[答案] eq \f(\r(3),2)


7．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝csα，则tanα＝________.


[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝csαcseq \f(π,3)＋sinαsineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)csα＋eq \f(\r(3),2)sinα＝csα，∴eq \f(\r(3),2)sinα＝eq \f(1,2)csα，∴eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\r(3),3)，即tanα＝eq \f(\r(3),3).


[答案] eq \f(\r(3),3)


8．满足eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)csx＝eq \f(1,2)的角x的集合是__________．


[解析] eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)csx＝csxcseq \f(π,6)＋sinxsineq \f(π,6)


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，


∴x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)＋2kπ或x－eq \f(π,6)＝－eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，


∴x＝eq \f(π,2)＋2kπ或x＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z.


即所求的角x的集合是


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ或x＝－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).


[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ或x＝－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z))))


三、解答题


9．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinx＝eq \f(4,5)，求2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))＋2csx的值．


[解] ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinx＝eq \f(4,5)，∴csx＝－eq \f(3,5).


∴2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))＋2csx


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csxcs\f(2π,3)＋sinxsin\f(2π,3)))＋2csx


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)csx＋\f(\r(3),2)sinx))＋2csx


＝eq \r(3)sinx＋csx


＝eq \f(4\r(3),5)－eq \f(3,5)＝eq \f(4\r(3)－3,5).


10．已知csα＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(3,4)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).


求：cs(2α－β)的值．


[解] 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).


又因为sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)>0，所以0<α－β

所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，


cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(\r(7),4).


cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]


＝csαcs(α－β)－sinαsin(α－β)


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(7),4)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3,4)＝eq \f(\r(35)－6\r(5),20).


综合运用


11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则csx＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))等于( )


A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)


C．－1 D．±1


[解析] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，


所以csx＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))


＝csx＋eq \f(1,2)csx＋eq \f(\r(3),2)sinx


＝eq \f(3,2)csx＋eq \f(\r(3),2)sinx＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)csx＋\f(1,2)sinx))


＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－1.故选C.


[答案] C


12．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和csα＋csβ＋csγ＝0，则cs(α－β)的值是( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)


[解析] 由已知得，－sinγ＝sinα＋sinβ，①


－csγ＝csα＋csβ，②


①2＋②2得，


1＝1＋1＋2sinαsinβ＋2csαcsβ，


化简得csαcsβ＋sinαsinβ＝－eq \f(1,2)，


即cs(α－β)＝－eq \f(1,2)，故选C.


[答案] C


13．化简：eq \f(2cs10°－sin20°,cs20°)＝________.


[解析] 原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin20°,cs20°)


＝eq \f(2cs30°cs20°＋2sin30°sin20°－sin20°,cs20°)


＝eq \f(\r(3)cs20°＋sin20°－sin20°,cs20°)＝eq \f(\r(3)cs20°,cs20°)＝eq \r(3).


[答案] eq \r(3)


14．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq \f(2\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，则α－β＝________.


[解析] ∵α，β均为锐角，


∴csα＝eq \f(\r(5),5)，csβ＝eq \f(3\r(10),10).


∴cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).


又∵sinα>sinβ，∴0<β<α

∴0<α－β

[答案] eq \f(π,4)


15．已知cs(α－β)＝－eq \f(12,13)，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，且α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值．


[解] 由α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs(α－β)＝－eq \f(12,13)，


得sin(α－β)＝eq \f(5,13).


由α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，


得sin(α＋β)＝－eq \f(5,13).


cs2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]


＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)


＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(5,13)＝－1.


因为α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，


所以2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))).所以2β＝π.故β＝eq \f(π,2).