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2019-2020学年广东省广州市增城区荔景中学八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年广东省广州市增城区荔景中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．5，6，7 B．6，8，10 C．7，8，9 D．5，7，9
3．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．+x＝3 B．x2+2x﹣3＝0
C．4x+3＝x D．x2+x+1＝x2﹣2x
4．（3分）某农科所在6年的试验中发现，甲、乙、丙、丁四个小麦品种，单个品种6年的平均产量相同，但它们的总体方差不同，有S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，那么产量比较稳定的是（ ）种小麦
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）下列各点不在函数y＝x+2的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（﹣5，3）
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．+＝ B．3﹣＝3 C．×＝ D．＝5
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
8．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
9．（3分）如图所示的是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）关于销售量x（件）的函数图象．给出下列说法，其中说法不正确的是（ ）
A．售2件时，甲、乙两家的售价相同
B．买1件时，买乙家的合算
C．买3件时，买甲家的合算
D．乙家的1件售价约为3元
10．（3分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，E是BC上的点，BE＝1，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，则AB＝（ ）
A．2 B．3 C．1+ D．1+
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）某学校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，12，11，10，8，那么这组数据的中位数是 ．
13．（3分）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 ；逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中AB＝6cm，周长是28cm，则AD＝ cm．
15．（3分）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：．
18．（7分）解方程：x2+5＝6x．
19．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．
20．（8分）有一学校为了解八年级学生某次体育测试成绩，随机抽取了50名学生这次体育测试的成绩进行调查，结果统计如表．根据表格中的信息，回答下列问题：
组别
成绩/分
频数
A
20＜x≤24
2
B
24＜x≤28
3
C
28＜x≤32
5
D
32＜x≤36
b
E
36＜x≤40
20
（1）计算频数分布表中b＝ ；
（2）估计该校八年级学生这次体育测试成绩的平均分（结果取整数）．
21．（10分）某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F，DE＝DF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝5，BD＝8，求菱形DEBF的面积．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过点A（﹣30，0）和点B（0，15），直线y＝x+5与直线y＝kx+b相交于点P，与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx+b的解析式．
（2）求△PBC的面积．
24．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N是BC上的点，且∠MAN＝45°．
（1）画出△AMN关于直线AN对称的△AM'N．（不用写出作图步骤）
（2）试探究：以线段BM，MN，NC的长度为三边长的三角形是何种三角形，并写出证明过程．
（3）若∠MAN在（如图2）位置，请直接写出BM2，NC2，MN2三者之间的数量关系．（不用证明）
2019-2020学年广东省广州市增城区荔景中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【分析】根据算术平方根是非负数，可得答案．
【解答】解：＝3，故A正确，
故选：A．
2．（3分）以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．5，6，7 B．6，8，10 C．7，8，9 D．5，7，9
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、因为52+62≠72，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为62+82＝102，所以三条线段能组成直角三角形；
C、因为72+82≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为52+72≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
故选：B．
3．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．+x＝3 B．x2+2x﹣3＝0
C．4x+3＝x D．x2+x+1＝x2﹣2x
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程）逐个判断即可．
【解答】解：A、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）某农科所在6年的试验中发现，甲、乙、丙、丁四个小麦品种，单个品种6年的平均产量相同，但它们的总体方差不同，有S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，那么产量比较稳定的是（ ）种小麦
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义判断．方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，
∴产量比较稳定的是丁．
故选：D．
5．（3分）下列各点不在函数y＝x+2的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（﹣5，3）
【分析】根据直线y＝x+2上任意一点的坐标都满足函数关系式进行分析即可．
【解答】解：A、y＝1+2＝3，因此点（1，3）在函数y＝x+2的图象上，故此选项不合题意；
B、y＝﹣2+2＝0，因此点（﹣2，0）在函数y＝x+2的图象上，故此选项不合题意；
C、y＝0+2＝2，因此点（0，2）在函数y＝x+2的图象上，故此选项不合题意；
D、y＝﹣5+2＝﹣3≠3，因此点（﹣5，3）不在函数y＝x+2的图象上，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．+＝ B．3﹣＝3 C．×＝ D．＝5
【分析】按照二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、3﹣＝（3﹣1）＝2，故B错误；
C、×＝＝，故C正确；
D、，故D错误．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC的长，再由三角形的中位线定理得出DE的长即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝4，
又∵DE是中位线，
∴DE＝BC＝2．
故选：A．
8．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件．
故选：C．
9．（3分）如图所示的是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）关于销售量x（件）的函数图象．给出下列说法，其中说法不正确的是（ ）
A．售2件时，甲、乙两家的售价相同
B．买1件时，买乙家的合算
C．买3件时，买甲家的合算
D．乙家的1件售价约为3元
【分析】分析图象，x＝2时y值相等，故买两件时售价一样；当买1件时乙家的售价比甲家低；买3件时，甲家较合算；乙家的1件售价约为1．
【解答】解：分析题意和图象可知：
A．售2件时，甲、乙两家的售价相同，故本选项不合题意；
B．买1件时，买乙家的合算，故本选项不合题意；
C．买3件时，买甲家的合算，故本选项不合题意；
D．乙家的1件售价约为1，故本选项符合题意．
故选：D．
10．（3分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，E是BC上的点，BE＝1，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，则AB＝（ ）
A．2 B．3 C．1+ D．1+
【分析】由正方形的性质得AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，证出△CEF是等腰直角三角形，则CE＝FE＝，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，
∴∠CFE＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝FE＝，
∴BC＝BE+CE＝1+，
∴AB＝BC＝1+；
故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．（3分）某学校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，12，11，10，8，那么这组数据的中位数是 10 ．
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是10，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是10．
故答案为：10．
13．（3分）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么它们是直角 ；逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到其逆命题，然后根据直角的定义判断逆命题的真假．
【解答】解：命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，此逆命题是假命题．
故答案为如果两个角相等，那么它们是直角；假．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中AB＝6cm，周长是28cm，则AD＝ 8 cm．
【分析】利用平行四边形的性质对边相等，由周长得出AB+AD＝14cm，求出AD的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是28cm，
∴AD+AB＝14cm，
∴AD＝8cm；
故答案为：8．
15．（3分）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为 （﹣4，1） ．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为（﹣4，1），
故答案为：（﹣4，1）．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 y＝﹣2x+8 ．
【分析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣x+4，由于直线OB的解析式为y＝x，解方程组得到P（，），由待定系数法即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，
∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，
连接PA，PD，
则此时，PD+AP的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，
∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴，
解得：x＝y＝，
∴P（，），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，
故答案为：y＝﹣2x+8．
三．解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质化简二次根式进而得出即可．
【解答】解：原式＝2+2﹣3+
＝2+3﹣3．
18．（7分）解方程：x2+5＝6x．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2+5＝6x，
x2﹣6x+5＝0，
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
19．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．
【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝OC，AB∥CD，推出∠EAO＝∠FCO，证出△AOE≌△COF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
20．（8分）有一学校为了解八年级学生某次体育测试成绩，随机抽取了50名学生这次体育测试的成绩进行调查，结果统计如表．根据表格中的信息，回答下列问题：
组别
成绩/分
频数
A
20＜x≤24
2
B
24＜x≤28
3
C
28＜x≤32
5
D
32＜x≤36
b
E
36＜x≤40
20
（1）计算频数分布表中b＝ 20 ；
（2）估计该校八年级学生这次体育测试成绩的平均分（结果取整数）．
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出b的值；
（2）根据（1）中的结果和频数分布表中的数据，可以计算出该校八年级学生这次体育测试成绩的平均分．
【解答】解：（1）b＝50﹣2﹣3﹣5﹣20＝20，
故答案为：20；
（2）×（22×2+26×3+30×5+34×20+38×20）＝34.24≈34（分），
答：该校八年级学生这次体育测试成绩的平均分是34分．
21．（10分）某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．
【分析】（1）一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用2016年的经费×（1+增长率）即可．
【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2＝3025，
解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）＝3327.5（万元），
答：2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F，DE＝DF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝5，BD＝8，求菱形DEBF的面积．
【分析】（1）证△DOF≌△BOE（AAS），得出DF＝BE，由DF∥BE，得四边形BEDF是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出OE＝OF，EF⊥BD，由勾股定理得出OE＝3，则EF＝2OE＝6，再由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
∵点O是对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵DE＝DF，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵OB＝OD＝BD＝4，
∴OE＝＝＝3，
∴EF＝2OE＝6，
∴菱形DEBF的面积＝BD×EF＝×8×6＝24．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过点A（﹣30，0）和点B（0，15），直线y＝x+5与直线y＝kx+b相交于点P，与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx+b的解析式．
（2）求△PBC的面积．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可得出点P的坐标，由一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而可得出线段BC的长度，再利用三角形的面积公式，即可求出△PBC的面积．
【解答】解：（1）将点A（﹣30，0）、B（0，15）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝x+15．
（2）联立两直线解析式成方程组，
，解得：，
∴点P的坐标为（20，25）．
当x＝0时，y＝x+5＝5，
∴点C的坐标为（0，5），
∴BC＝15﹣5＝10，
∴S△PBC＝BC•xP＝×10×20＝100．
24．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N是BC上的点，且∠MAN＝45°．
（1）画出△AMN关于直线AN对称的△AM'N．（不用写出作图步骤）
（2）试探究：以线段BM，MN，NC的长度为三边长的三角形是何种三角形，并写出证明过程．
（3）若∠MAN在（如图2）位置，请直接写出BM2，NC2，MN2三者之间的数量关系．（不用证明）
【分析】（1）作M点关于AN的对称点M′即可；
（2）连接M′C，如图1，利用对称的性质得到NM＝NM′，AM′＝AM，∠M′AN＝∠MAN＝45°，则∠BAM＝∠CAM′，再可证明△ABM≌△ACM′得到∠B＝∠ACM′＝45°，BM＝CM′，然后证明△M′CN为直角三角形即可；
（3）△AMN关于直线AN对称的△AM'N，如图2，与（2）一样证明△ABM≌△ACM′得到∠B＝∠ACM′＝45°，BM＝CM′，然后证明△M′CN为直角三角形，然后利用勾股定理得到BM2+NC2＝MN2．
【解答】解：（1）如图1，△AM′N为所作；
（2）以线段BM，MN，NC的长度为三边长的三角形是直角三角形．
理由如下：连接M′C，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△AMN关于直线AN对称的△AM'N，
∴NM＝NM′，AM′＝AM，∠M′AN＝∠MAN＝45°，
∴∠MAM′＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAM＝∠CAM′，
而AB＝AC，
∴△ABM≌△ACM′（SAS），
∴∠B＝∠ACM′＝45°，BM＝CM′，
∵∠NCM′＝∠NCA+∠ACM′＝45°+45°＝90°，
∴△M′CN为直角三角形，
即以线段BM，MN，NC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
（3）BM2+NC2＝MN2．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．5，6，7 B．6，8，10 C．7，8，9 D．5，7，9
3．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．+x＝3 B．x2+2x﹣3＝0
C．4x+3＝x D．x2+x+1＝x2﹣2x
4．（3分）某农科所在6年的试验中发现，甲、乙、丙、丁四个小麦品种，单个品种6年的平均产量相同，但它们的总体方差不同，有S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，那么产量比较稳定的是（ ）种小麦
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）下列各点不在函数y＝x+2的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（﹣5，3）
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．+＝ B．3﹣＝3 C．×＝ D．＝5
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
8．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
9．（3分）如图所示的是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）关于销售量x（件）的函数图象．给出下列说法，其中说法不正确的是（ ）
A．售2件时，甲、乙两家的售价相同
B．买1件时，买乙家的合算
C．买3件时，买甲家的合算
D．乙家的1件售价约为3元
10．（3分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，E是BC上的点，BE＝1，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，则AB＝（ ）
A．2 B．3 C．1+ D．1+
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）某学校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，12，11，10，8，那么这组数据的中位数是 ．
13．（3分）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 ；逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中AB＝6cm，周长是28cm，则AD＝ cm．
15．（3分）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：．
18．（7分）解方程：x2+5＝6x．
19．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．
20．（8分）有一学校为了解八年级学生某次体育测试成绩，随机抽取了50名学生这次体育测试的成绩进行调查，结果统计如表．根据表格中的信息，回答下列问题：
组别
成绩/分
频数
A
20＜x≤24
2
B
24＜x≤28
3
C
28＜x≤32
5
D
32＜x≤36
b
E
36＜x≤40
20
（1）计算频数分布表中b＝ ；
（2）估计该校八年级学生这次体育测试成绩的平均分（结果取整数）．
21．（10分）某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F，DE＝DF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝5，BD＝8，求菱形DEBF的面积．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过点A（﹣30，0）和点B（0，15），直线y＝x+5与直线y＝kx+b相交于点P，与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx+b的解析式．
（2）求△PBC的面积．
24．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N是BC上的点，且∠MAN＝45°．
（1）画出△AMN关于直线AN对称的△AM'N．（不用写出作图步骤）
（2）试探究：以线段BM，MN，NC的长度为三边长的三角形是何种三角形，并写出证明过程．
（3）若∠MAN在（如图2）位置，请直接写出BM2，NC2，MN2三者之间的数量关系．（不用证明）
2019-2020学年广东省广州市增城区荔景中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【分析】根据算术平方根是非负数，可得答案．
【解答】解：＝3，故A正确，
故选：A．
2．（3分）以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．5，6，7 B．6，8，10 C．7，8，9 D．5，7，9
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、因为52+62≠72，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为62+82＝102，所以三条线段能组成直角三角形；
C、因为72+82≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为52+72≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
故选：B．
3．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．+x＝3 B．x2+2x﹣3＝0
C．4x+3＝x D．x2+x+1＝x2﹣2x
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程）逐个判断即可．
【解答】解：A、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）某农科所在6年的试验中发现，甲、乙、丙、丁四个小麦品种，单个品种6年的平均产量相同，但它们的总体方差不同，有S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，那么产量比较稳定的是（ ）种小麦
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义判断．方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2，
∴产量比较稳定的是丁．
故选：D．
5．（3分）下列各点不在函数y＝x+2的图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（﹣5，3）
【分析】根据直线y＝x+2上任意一点的坐标都满足函数关系式进行分析即可．
【解答】解：A、y＝1+2＝3，因此点（1，3）在函数y＝x+2的图象上，故此选项不合题意；
B、y＝﹣2+2＝0，因此点（﹣2，0）在函数y＝x+2的图象上，故此选项不合题意；
C、y＝0+2＝2，因此点（0，2）在函数y＝x+2的图象上，故此选项不合题意；
D、y＝﹣5+2＝﹣3≠3，因此点（﹣5，3）不在函数y＝x+2的图象上，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．+＝ B．3﹣＝3 C．×＝ D．＝5
【分析】按照二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、3﹣＝（3﹣1）＝2，故B错误；
C、×＝＝，故C正确；
D、，故D错误．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC的长，再由三角形的中位线定理得出DE的长即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝4，
又∵DE是中位线，
∴DE＝BC＝2．
故选：A．
8．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件．
故选：C．
9．（3分）如图所示的是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）关于销售量x（件）的函数图象．给出下列说法，其中说法不正确的是（ ）
A．售2件时，甲、乙两家的售价相同
B．买1件时，买乙家的合算
C．买3件时，买甲家的合算
D．乙家的1件售价约为3元
【分析】分析图象，x＝2时y值相等，故买两件时售价一样；当买1件时乙家的售价比甲家低；买3件时，甲家较合算；乙家的1件售价约为1．
【解答】解：分析题意和图象可知：
A．售2件时，甲、乙两家的售价相同，故本选项不合题意；
B．买1件时，买乙家的合算，故本选项不合题意；
C．买3件时，买甲家的合算，故本选项不合题意；
D．乙家的1件售价约为1，故本选项符合题意．
故选：D．
10．（3分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，E是BC上的点，BE＝1，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，则AB＝（ ）
A．2 B．3 C．1+ D．1+
【分析】由正方形的性质得AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，证出△CEF是等腰直角三角形，则CE＝FE＝，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，
∴∠CFE＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝FE＝，
∴BC＝BE+CE＝1+，
∴AB＝BC＝1+；
故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．（3分）某学校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，12，11，10，8，那么这组数据的中位数是 10 ．
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是10，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是10．
故答案为：10．
13．（3分）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么它们是直角 ；逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到其逆命题，然后根据直角的定义判断逆命题的真假．
【解答】解：命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，此逆命题是假命题．
故答案为如果两个角相等，那么它们是直角；假．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中AB＝6cm，周长是28cm，则AD＝ 8 cm．
【分析】利用平行四边形的性质对边相等，由周长得出AB+AD＝14cm，求出AD的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是28cm，
∴AD+AB＝14cm，
∴AD＝8cm；
故答案为：8．
15．（3分）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为 （﹣4，1） ．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y＝x+5与直线l2：y＝﹣x﹣1的交点坐标为（﹣4，1），
故答案为：（﹣4，1）．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 y＝﹣2x+8 ．
【分析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣x+4，由于直线OB的解析式为y＝x，解方程组得到P（，），由待定系数法即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，
∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，
连接PA，PD，
则此时，PD+AP的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，
∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴，
解得：x＝y＝，
∴P（，），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，
故答案为：y＝﹣2x+8．
三．解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质化简二次根式进而得出即可．
【解答】解：原式＝2+2﹣3+
＝2+3﹣3．
18．（7分）解方程：x2+5＝6x．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2+5＝6x，
x2﹣6x+5＝0，
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
19．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．
【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝OC，AB∥CD，推出∠EAO＝∠FCO，证出△AOE≌△COF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
20．（8分）有一学校为了解八年级学生某次体育测试成绩，随机抽取了50名学生这次体育测试的成绩进行调查，结果统计如表．根据表格中的信息，回答下列问题：
组别
成绩/分
频数
A
20＜x≤24
2
B
24＜x≤28
3
C
28＜x≤32
5
D
32＜x≤36
b
E
36＜x≤40
20
（1）计算频数分布表中b＝ 20 ；
（2）估计该校八年级学生这次体育测试成绩的平均分（结果取整数）．
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出b的值；
（2）根据（1）中的结果和频数分布表中的数据，可以计算出该校八年级学生这次体育测试成绩的平均分．
【解答】解：（1）b＝50﹣2﹣3﹣5﹣20＝20，
故答案为：20；
（2）×（22×2+26×3+30×5+34×20+38×20）＝34.24≈34（分），
答：该校八年级学生这次体育测试成绩的平均分是34分．
21．（10分）某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．
（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．
【分析】（1）一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用2016年的经费×（1+增长率）即可．
【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2＝3025，
解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）＝3327.5（万元），
答：2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F，DE＝DF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝5，BD＝8，求菱形DEBF的面积．
【分析】（1）证△DOF≌△BOE（AAS），得出DF＝BE，由DF∥BE，得四边形BEDF是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出OE＝OF，EF⊥BD，由勾股定理得出OE＝3，则EF＝2OE＝6，再由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
∵点O是对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵DE＝DF，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵OB＝OD＝BD＝4，
∴OE＝＝＝3，
∴EF＝2OE＝6，
∴菱形DEBF的面积＝BD×EF＝×8×6＝24．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过点A（﹣30，0）和点B（0，15），直线y＝x+5与直线y＝kx+b相交于点P，与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx+b的解析式．
（2）求△PBC的面积．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可得出点P的坐标，由一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而可得出线段BC的长度，再利用三角形的面积公式，即可求出△PBC的面积．
【解答】解：（1）将点A（﹣30，0）、B（0，15）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝x+15．
（2）联立两直线解析式成方程组，
，解得：，
∴点P的坐标为（20，25）．
当x＝0时，y＝x+5＝5，
∴点C的坐标为（0，5），
∴BC＝15﹣5＝10，
∴S△PBC＝BC•xP＝×10×20＝100．
24．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N是BC上的点，且∠MAN＝45°．
（1）画出△AMN关于直线AN对称的△AM'N．（不用写出作图步骤）
（2）试探究：以线段BM，MN，NC的长度为三边长的三角形是何种三角形，并写出证明过程．
（3）若∠MAN在（如图2）位置，请直接写出BM2，NC2，MN2三者之间的数量关系．（不用证明）
【分析】（1）作M点关于AN的对称点M′即可；
（2）连接M′C，如图1，利用对称的性质得到NM＝NM′，AM′＝AM，∠M′AN＝∠MAN＝45°，则∠BAM＝∠CAM′，再可证明△ABM≌△ACM′得到∠B＝∠ACM′＝45°，BM＝CM′，然后证明△M′CN为直角三角形即可；
（3）△AMN关于直线AN对称的△AM'N，如图2，与（2）一样证明△ABM≌△ACM′得到∠B＝∠ACM′＝45°，BM＝CM′，然后证明△M′CN为直角三角形，然后利用勾股定理得到BM2+NC2＝MN2．
【解答】解：（1）如图1，△AM′N为所作；
（2）以线段BM，MN，NC的长度为三边长的三角形是直角三角形．
理由如下：连接M′C，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△AMN关于直线AN对称的△AM'N，
∴NM＝NM′，AM′＝AM，∠M′AN＝∠MAN＝45°，
∴∠MAM′＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAM＝∠CAM′，
而AB＝AC，
∴△ABM≌△ACM′（SAS），
∴∠B＝∠ACM′＝45°，BM＝CM′，
∵∠NCM′＝∠NCA+∠ACM′＝45°+45°＝90°，
∴△M′CN为直角三角形，
即以线段BM，MN，NC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
（3）BM2+NC2＝MN2．
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