高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制授课课件ppt
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1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义,掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数.
NEIRONGSUOYIN
知识点一 度量角的两种单位制
1.角度制:(1)定义:用 作为单位来度量角的单位制.(2)1度的角:周角的 .2.弧度制:(1)定义:以 作为单位来度量角的单位制.(2)1弧度的角:长度等于 的圆弧所对的圆心角.
知识点二 弧度数的计算
答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
知识点三 角度与弧度的互化
知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则(1)弧长公式:l= .
思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似?对应的图形是否也类似?
答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上,扇形可看作是一曲边三角形,弧是底,半径是底上的高.
1.18°=________ rad.
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
解析 对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,不在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是不等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以不是正角,故D错误.
例1 下列说法正确的是A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角
对弧度制定义的三点说明(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小,都是一个与半径的大小无关的定值.(2)在弧度制下,“弧度”二字或“rad”可以省略不写,如2 rad可简写为2.(3)用弧度与度去度量同一个角时,除了零角以外,所得到的数量是不同的.
跟踪训练1 下列各说法中,错误的是A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关
解析 根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,而是与弧长与半径的比值有关,所以D是错误的,其他A,B,C正确.
二、角度制与弧度制的互化
例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度:(1)72°;
角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:
解 α<β<γ<θ=φ.
三、与扇形的弧长、面积有关的计算
例3 已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数.
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为R cm,
①代入②得R2-5R+4=0,解之得R1=1,R2=4.当R=1时,l=8,此时,θ=8 rad>2π rad舍去.
延伸探究1.已知一扇形的圆心角是72°,半径为20,求扇形的面积.
解 设扇形弧长为l,因为圆心角
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S,
2.已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大?最大值是多少?
所以当r=1时,S最大,且Smax=1,
跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积.
1.下列说法中,错误的是A.半圆所对的圆心角是π radB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误.
2.若α=-2 rad,则α的终边在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为
解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里,
5.周长为9,圆心角为1 rad的扇形面积为________.
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单:(1)弧度制的概念.(2)弧度与角度的相互转化.(3)扇形的弧长与面积的计算.2.方法归纳:消元法解方程组.3.常见误区:弧度与角度混用.
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