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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率2 古典概型本节综合与测试练习题
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率2 古典概型本节综合与测试练习题，共10页。
第七章 概率
§2 古典概型
知识点1 古典概型的辨析
1.☉%757￥**0@%☉(2020·福建莆田六中单元训练)下列模型中,是古典概型的为( )。
A.从一部分零件中任意抽取一个,测其长度
B.种一粒种子,观察它是否能够发芽
C.抛掷一枚均匀的骰子,观察向上的面的点数
D.统计甲、乙两人射击的成绩,分析两人击中靶子的概率
答案：C
解析：根据古典概型的定义进行判断。选项A中长度的值出现的可能性不一定相同,因此不是古典概型;选项B中发芽与不发芽的可能性不一定相等,不是古典概型;选项D不是随机试验,故不是古典概型;选项C中,出现的结果为1点至6点,结果是有限个,并且由于骰子均匀,因此每个点数向上的可能性相同,满足古典概型的两个特点,因此是古典概型。
2.☉%@27*83#@%☉(2020·山西怀仁一中单元训练)下列问题中是古典概型的是( )。
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一个数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
答案：D
解析：A,B两项中的各个样本点的发生不是等可能的;C项中样本点总数无限;D项中各个样本点的发生是等可能的,且是有限个。故选D。
3.☉%*4*@28￥4%☉(多选)(2020·湖南岳阳一中月考)下列概率模型中,不是古典概型的有( )。
A.从区间[1,10]内任意取出一个数,求取到1的概率
C.从含有1的10个整数中任意取出一个整数,求取到1的概率
B.向一个正方形ABCD内投掷一点P,求P恰好与A点重合的概率
D.向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率
答案：ACD
解析：根据古典概型的定义考虑,AC中的样本点有无限多个,因此不属于古典概型。D中硬币不均匀,则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等,不是古典概型。
4.☉%#0216#￥@%☉(2020·湖北团风中学单元检测)下列试验中,是古典概型的有 (填序号)。
①向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,观察并记录点所落的区域;
②如图7-2-1,射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即未命中)。观察射击环数;
图7-2-1
③从1,2,3,…,9中随机选取一个数,观察取到的数是否为偶数。
答案：③
解析：①试验的所有可能结果是圆面内的所有点,试验的结果有无限多个,因此,这个试验不是古典概型。
②试验的所有可能结果只有11个,但是命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即未命中)的概率是不相等的,因此,这个试验不是古典概型。
③该试验有9种可能发生的结果,且取到每一个数的概率是相等的,因此,这个试验是古典概型。
知识点2 古典概率的基本求解
5.☉%2357*@*￥%☉(2020·重庆一中月考)某学校食堂推出两款优惠套餐,甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( )。
A.110 B.18 C.14 D.12
答案：C
解析：设两款优惠套餐分别为A,B,列举所有的可能结果如图所示。
由图可知,共有8个样本点,其中甲、乙、丙三位同学选同一款套餐包括(A,A,A)(B,B,B),共2个样本点,故所求概率为P=28=14。
6.☉%@*9301##%☉(2020·广雅中学、东北中学联考)现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为( )。
A.110 B.25 C.12 D.710
答案：C
解析：由题可知,共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为510=12。
7.☉%50#5￥@6@%☉(2020·安徽合肥校级检测)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球。从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )。
A.15 B.25 C.35 D.45
答案：B
解析：袋中的1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a,b1,b2,c1,c2,c3。从袋中任取两球有:{a,b1},{a,b2},{a,c1},{a,c2},{a,c3},{b1,b2},{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},{c1,c2},{c1,c3},{c2,c3},共15个样本点。其中满足两球颜色为一白一黑的有:{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},共6个样本点。故所求概率为615=25。
8.☉%0@9￥*2￥0%☉(2020·湖北华师一附中期中)两次抛掷一枚骰子,则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是( )。
A.19 B.29 C.13 D.49
答案：B
解析：连续两次抛掷一枚骰子,记录向上的点数,样本点的总数为n=6×6=36,向上的点数之差的绝对值为2包含的样本点有:(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),共8个,所以向上的点数之差的绝对值为2的概率为P=836=29。故选B。
9.☉%##16@#45%☉(2020·山东泰安模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{2,3,4}中随机选取一个数b,则b>a的概率是( )。
A.45 B.35 C.25 D.15
答案：C
解析：从两个集合中各选一个数有15种选法,满足b>a的选法有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种,所以b>a的概率是615=25。
10.☉%0#*392#￥%☉(2020·辽宁六校协作体期中)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前都放着一枚完全相同的硬币,所有人同时反转自己面前的硬币。若翻转后面前的硬币正面朝上,则这个人站起来;若翻转后面前的硬币正面朝下,则这个人继续坐着。那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )。
A.12 B.516 C.716 D.1116
答案：C
解析：四个人翻转硬币后是否站起共有16种情形,其中没有相邻的两个人站起来,即正面朝上不相邻有:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共7种情形,所以没有相邻的两个人站起来的概率为716。
11.☉%*￥4268￥#%☉(2020·四川南充测试)在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“ab不是整数”的概率为( )。
A.13 B.14 C.23 D.34
答案：C
解析：∵在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,∴样本点总数n=4×3=12。
“ab不是整数”包含的样本点有12,13,14,23,24,32,34,43,共8个。
∴“ab不是整数”的概率P=812=23。故选C。
12.☉%#@714#5@%☉(2020·辽宁抚顺测试)甲、乙两人进行“剪刀、包袱、锤”的游戏,两人都随机出拳,则一次游戏两人平局的概率为( )。
A.13 B.23 C.14 D.29
答案：A
解析：甲、乙两人进行“剪刀、包袱、锤”的游戏,所有可能出现的情况列表如下:
由表格可知,共有9种等可能情况,其中平局的情况有3种:(锤、锤),(剪刀、剪刀),(包袱、包袱)。
因此甲和乙平局的概率为39=13。故选A。
13.☉%*15￥#4#5%☉(2020·湖北天门期末)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数。从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )。
A.310 B.15 C.110 D.120
答案：C
解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的情况:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)。其中构成勾股数的只有(3,4,5),所以所求的概率为110。故选C。
14.☉%￥48@1*#2%☉(2020·陕西模拟)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛,胜两场及以上者获胜,若双方均不知道对方马的出场顺序,则田忌获胜的概率为( )。
A.13 B.14 C.15 D.16
答案：D
解析：设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1,a2,a3,田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1,b2,b3。
齐王与田忌赛马,其情况有:
(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a1,b1),(a2,b3),(a3,b2),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),齐王获胜;
(a3,b1),(a1,b2),(a2,b3),田忌获胜;
(a3,b1),(a1,b3),(a2,b2),齐王获胜。共6种。
其中田忌获胜只有一种情形,即(a3,b1),(a1,b2),(a2,b3),则田忌获胜的概率为16,故选D。
15.☉%*09#*04*%☉(2020·正一中学月考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 。
答案：56
解析：
方法一:将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,向上的点数有36种结果,其中点数之和小于10的有30种,故所求概率为3036=56。
方法二:将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,向上的点数有36种结果,其中点数之和不小于10的有(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5),(4,6),共6种,故所求概率为1-636=56。
16.☉%0￥#59*#8%☉(2020·云南曲靖一中月考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取的2个数的乘积为6的概率是 。
答案：13
解析：从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数的所有样本点有{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6},共6个,
“所取2个数的乘积为6”所包含的样本点有{1,6},{2,3},共2个,故所求概率P=26=13。
17.☉%*2￥6*@42%☉(2020·江苏泰州中学质检)用红、黄、蓝三种不同颜色给如图7-2-2中的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则3个矩形颜色都相同的概率是 ,3个矩形颜色都不同的概率是 。
图7-2-2
答案：19 29
解析：所有可能的结果共有27种,如图所示:
记“3个矩形颜色都相同”为事件A,由图知,事件A中的样本点有3个,故P(A)=327=19。记“3个矩形颜色都不同”为事件B,由图可知,事件B中的样本点有6个,故P(B)=627=29。
18.☉%#6*@9*63%☉(2020·湖北英山一中月考)在一次教师联欢会上,到场的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选1人表演节目,若选到男教师的概率是920,则参加联欢会的教师共有 人。
答案：120
解析：设参加联欢会的男教师有n人,则女教师有(n+12)人,依题意有n2n+12=920,解得n=54。因此参加联欢会的教师共有120人。
题型1 互斥事件的概率求解
19.☉%87￥6###1%☉(2020·山东济南一中期末)现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的活动,每人都参加且只能参加一个社团的活动,且参加每个社团是等可能的。
(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率;
答案：解:甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的情况如下:
共有16种情形,即有16个样本点。
文学社或街舞社没有人参加的样本点有2个,则都至少有1人参加的样本点有14个,概率为1416=78,即文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为78。
(2)求甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的概率。
答案：甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的样本点有4个,概率为416=14。
20.☉%3￥08*6*#%☉(2020·湖北武汉二中阶段检测)为积极配合青年奥林匹克运动会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学、4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的。
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;
答案：解:将2名男同学和4名女同学分别编号1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学),该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种。当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共8种,故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为815。
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率。
答案：当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选)、4名女同学当选这两种情况,而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其概率为115。又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为815,故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率P=815+115=35。
题型2 古典概型的综合应用
21.☉%￥*676#2#%☉(2020·山西忻州第一中学高三上学期期末)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察向上的点数。
(1)求点数之和是5的概率;
答案：解:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次的样本点总数为N=6×6=36。
因为事件“点数之和是5”包含(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个样本点,所以事件“点数之和是5”的概率P1=436=19。
(2)设a,b分别是将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次向上的点数,求等式2a-b=1成立的概率。
答案：因为事件“2a-b=1”,即事件“a=b”包含(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个样本点,所以事件“2a-b=1”的概率P2=636=16。
22.☉%*3*￥762#%☉(2020·湖北武穴中学月考)已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b)。
(1)列举出所有的数对(a,b),并求函数y=f(x)有零点的概率;
答案：解:数对(a,b)有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种情况。
函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况,所以函数y=f(x)有零点的概率为615=25。
(2)求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率。
答案：因为a>0,函数y=f(x)图像的对称轴为直线x=b2a,若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则有b2a≤1,满足条件的(a,b)为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13种。
所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率为1315。锤
剪刀
包袱
锤
(锤、锤)
(锤、剪刀)
(锤、包袱)
剪刀
(剪刀、锤)
(剪刀、剪刀)
(剪刀、包袱)
包袱
(包袱、锤)
(包袱、剪刀)
(包袱、包袱)
文学社
街舞社
1
甲乙丙丁
2
甲乙丙
丁
3
甲乙丁
丙
4
甲丙丁
乙
5
乙丙丁
甲
6
甲乙
丙丁
7
甲丙
乙丁
8
乙丙
甲丁
9
甲丁
乙丙
10
乙丁
甲丙
11
丙丁
甲乙
12
甲
乙丙丁
13
乙
甲丙丁
14
丙
甲乙丁
15
丁
甲乙丙
16
甲乙丙丁
第七章 概率
§2 古典概型
知识点1 古典概型的辨析
1.☉%757￥**0@%☉(2020·福建莆田六中单元训练)下列模型中,是古典概型的为( )。
A.从一部分零件中任意抽取一个,测其长度
B.种一粒种子,观察它是否能够发芽
C.抛掷一枚均匀的骰子,观察向上的面的点数
D.统计甲、乙两人射击的成绩,分析两人击中靶子的概率
答案：C
解析：根据古典概型的定义进行判断。选项A中长度的值出现的可能性不一定相同,因此不是古典概型;选项B中发芽与不发芽的可能性不一定相等,不是古典概型;选项D不是随机试验,故不是古典概型;选项C中,出现的结果为1点至6点,结果是有限个,并且由于骰子均匀,因此每个点数向上的可能性相同,满足古典概型的两个特点,因此是古典概型。
2.☉%@27*83#@%☉(2020·山西怀仁一中单元训练)下列问题中是古典概型的是( )。
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一个数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
答案：D
解析：A,B两项中的各个样本点的发生不是等可能的;C项中样本点总数无限;D项中各个样本点的发生是等可能的,且是有限个。故选D。
3.☉%*4*@28￥4%☉(多选)(2020·湖南岳阳一中月考)下列概率模型中,不是古典概型的有( )。
A.从区间[1,10]内任意取出一个数,求取到1的概率
C.从含有1的10个整数中任意取出一个整数,求取到1的概率
B.向一个正方形ABCD内投掷一点P,求P恰好与A点重合的概率
D.向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率
答案：ACD
解析：根据古典概型的定义考虑,AC中的样本点有无限多个,因此不属于古典概型。D中硬币不均匀,则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等,不是古典概型。
4.☉%#0216#￥@%☉(2020·湖北团风中学单元检测)下列试验中,是古典概型的有 (填序号)。
①向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,观察并记录点所落的区域;
②如图7-2-1,射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即未命中)。观察射击环数;
图7-2-1
③从1,2,3,…,9中随机选取一个数,观察取到的数是否为偶数。
答案：③
解析：①试验的所有可能结果是圆面内的所有点,试验的结果有无限多个,因此,这个试验不是古典概型。
②试验的所有可能结果只有11个,但是命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即未命中)的概率是不相等的,因此,这个试验不是古典概型。
③该试验有9种可能发生的结果,且取到每一个数的概率是相等的,因此,这个试验是古典概型。
知识点2 古典概率的基本求解
5.☉%2357*@*￥%☉(2020·重庆一中月考)某学校食堂推出两款优惠套餐,甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( )。
A.110 B.18 C.14 D.12
答案：C
解析：设两款优惠套餐分别为A,B,列举所有的可能结果如图所示。
由图可知,共有8个样本点,其中甲、乙、丙三位同学选同一款套餐包括(A,A,A)(B,B,B),共2个样本点,故所求概率为P=28=14。
6.☉%@*9301##%☉(2020·广雅中学、东北中学联考)现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为( )。
A.110 B.25 C.12 D.710
答案：C
解析：由题可知,共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为510=12。
7.☉%50#5￥@6@%☉(2020·安徽合肥校级检测)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球。从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )。
A.15 B.25 C.35 D.45
答案：B
解析：袋中的1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a,b1,b2,c1,c2,c3。从袋中任取两球有:{a,b1},{a,b2},{a,c1},{a,c2},{a,c3},{b1,b2},{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},{c1,c2},{c1,c3},{c2,c3},共15个样本点。其中满足两球颜色为一白一黑的有:{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},共6个样本点。故所求概率为615=25。
8.☉%0@9￥*2￥0%☉(2020·湖北华师一附中期中)两次抛掷一枚骰子,则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是( )。
A.19 B.29 C.13 D.49
答案：B
解析：连续两次抛掷一枚骰子,记录向上的点数,样本点的总数为n=6×6=36,向上的点数之差的绝对值为2包含的样本点有:(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),共8个,所以向上的点数之差的绝对值为2的概率为P=836=29。故选B。
9.☉%##16@#45%☉(2020·山东泰安模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{2,3,4}中随机选取一个数b,则b>a的概率是( )。
A.45 B.35 C.25 D.15
答案：C
解析：从两个集合中各选一个数有15种选法,满足b>a的选法有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种,所以b>a的概率是615=25。
10.☉%0#*392#￥%☉(2020·辽宁六校协作体期中)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前都放着一枚完全相同的硬币,所有人同时反转自己面前的硬币。若翻转后面前的硬币正面朝上,则这个人站起来;若翻转后面前的硬币正面朝下,则这个人继续坐着。那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )。
A.12 B.516 C.716 D.1116
答案：C
解析：四个人翻转硬币后是否站起共有16种情形,其中没有相邻的两个人站起来,即正面朝上不相邻有:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共7种情形,所以没有相邻的两个人站起来的概率为716。
11.☉%*￥4268￥#%☉(2020·四川南充测试)在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“ab不是整数”的概率为( )。
A.13 B.14 C.23 D.34
答案：C
解析：∵在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,∴样本点总数n=4×3=12。
“ab不是整数”包含的样本点有12,13,14,23,24,32,34,43,共8个。
∴“ab不是整数”的概率P=812=23。故选C。
12.☉%#@714#5@%☉(2020·辽宁抚顺测试)甲、乙两人进行“剪刀、包袱、锤”的游戏,两人都随机出拳,则一次游戏两人平局的概率为( )。
A.13 B.23 C.14 D.29
答案：A
解析：甲、乙两人进行“剪刀、包袱、锤”的游戏,所有可能出现的情况列表如下:
由表格可知,共有9种等可能情况,其中平局的情况有3种:(锤、锤),(剪刀、剪刀),(包袱、包袱)。
因此甲和乙平局的概率为39=13。故选A。
13.☉%*15￥#4#5%☉(2020·湖北天门期末)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数。从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )。
A.310 B.15 C.110 D.120
答案：C
解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的情况:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)。其中构成勾股数的只有(3,4,5),所以所求的概率为110。故选C。
14.☉%￥48@1*#2%☉(2020·陕西模拟)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛,胜两场及以上者获胜,若双方均不知道对方马的出场顺序,则田忌获胜的概率为( )。
A.13 B.14 C.15 D.16
答案：D
解析：设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1,a2,a3,田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1,b2,b3。
齐王与田忌赛马,其情况有:
(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a1,b1),(a2,b3),(a3,b2),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),齐王获胜;
(a3,b1),(a1,b2),(a2,b3),田忌获胜;
(a3,b1),(a1,b3),(a2,b2),齐王获胜。共6种。
其中田忌获胜只有一种情形,即(a3,b1),(a1,b2),(a2,b3),则田忌获胜的概率为16,故选D。
15.☉%*09#*04*%☉(2020·正一中学月考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 。
答案：56
解析：
方法一:将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,向上的点数有36种结果,其中点数之和小于10的有30种,故所求概率为3036=56。
方法二:将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,向上的点数有36种结果,其中点数之和不小于10的有(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5),(4,6),共6种,故所求概率为1-636=56。
16.☉%0￥#59*#8%☉(2020·云南曲靖一中月考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取的2个数的乘积为6的概率是 。
答案：13
解析：从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数的所有样本点有{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6},共6个,
“所取2个数的乘积为6”所包含的样本点有{1,6},{2,3},共2个,故所求概率P=26=13。
17.☉%*2￥6*@42%☉(2020·江苏泰州中学质检)用红、黄、蓝三种不同颜色给如图7-2-2中的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则3个矩形颜色都相同的概率是 ,3个矩形颜色都不同的概率是 。
图7-2-2
答案：19 29
解析：所有可能的结果共有27种,如图所示:
记“3个矩形颜色都相同”为事件A,由图知,事件A中的样本点有3个,故P(A)=327=19。记“3个矩形颜色都不同”为事件B,由图可知,事件B中的样本点有6个,故P(B)=627=29。
18.☉%#6*@9*63%☉(2020·湖北英山一中月考)在一次教师联欢会上,到场的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选1人表演节目,若选到男教师的概率是920,则参加联欢会的教师共有 人。
答案：120
解析：设参加联欢会的男教师有n人,则女教师有(n+12)人,依题意有n2n+12=920,解得n=54。因此参加联欢会的教师共有120人。
题型1 互斥事件的概率求解
19.☉%87￥6###1%☉(2020·山东济南一中期末)现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的活动,每人都参加且只能参加一个社团的活动,且参加每个社团是等可能的。
(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率;
答案：解:甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的情况如下:
共有16种情形,即有16个样本点。
文学社或街舞社没有人参加的样本点有2个,则都至少有1人参加的样本点有14个,概率为1416=78,即文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为78。
(2)求甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的概率。
答案：甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的样本点有4个,概率为416=14。
20.☉%3￥08*6*#%☉(2020·湖北武汉二中阶段检测)为积极配合青年奥林匹克运动会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学、4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的。
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;
答案：解:将2名男同学和4名女同学分别编号1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学),该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种。当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共8种,故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为815。
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率。
答案：当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选)、4名女同学当选这两种情况,而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其概率为115。又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为815,故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率P=815+115=35。
题型2 古典概型的综合应用
21.☉%￥*676#2#%☉(2020·山西忻州第一中学高三上学期期末)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察向上的点数。
(1)求点数之和是5的概率;
答案：解:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次的样本点总数为N=6×6=36。
因为事件“点数之和是5”包含(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个样本点,所以事件“点数之和是5”的概率P1=436=19。
(2)设a,b分别是将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次向上的点数,求等式2a-b=1成立的概率。
答案：因为事件“2a-b=1”,即事件“a=b”包含(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个样本点,所以事件“2a-b=1”的概率P2=636=16。
22.☉%*3*￥762#%☉(2020·湖北武穴中学月考)已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b)。
(1)列举出所有的数对(a,b),并求函数y=f(x)有零点的概率;
答案：解:数对(a,b)有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种情况。
函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况,所以函数y=f(x)有零点的概率为615=25。
(2)求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率。
答案：因为a>0,函数y=f(x)图像的对称轴为直线x=b2a,若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则有b2a≤1,满足条件的(a,b)为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13种。
所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率为1315。锤
剪刀
包袱
锤
(锤、锤)
(锤、剪刀)
(锤、包袱)
剪刀
(剪刀、锤)
(剪刀、剪刀)
(剪刀、包袱)
包袱
(包袱、锤)
(包袱、剪刀)
(包袱、包袱)
文学社
街舞社
1
甲乙丙丁
2
甲乙丙
丁
3
甲乙丁
丙
4
甲丙丁
乙
5
乙丙丁
甲
6
甲乙
丙丁
7
甲丙
乙丁
8
乙丙
甲丁
9
甲丁
乙丙
10
乙丁
甲丙
11
丙丁
甲乙
12
甲
乙丙丁
13
乙
甲丙丁
14
丙
甲乙丁
15
丁
甲乙丙
16
甲乙丙丁
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