高中数学北师大版 (2019)必修第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质课时练习

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质课时练习，共28页。试卷主要包含了下列不等式错误的是，52，设a=60，函数y=2lg4的图象大致是，函数y=3|lg3x|的图象是等内容，欢迎下载使用。

题组一比较函数值的大小
1.下列不等式错误的是( )
>lg0.52.3B.lg34>lg65
C.lg310>lg520D.lgπe>lgeπ
2.设a=lg412,b=lg515,c=lg618,则( )
A.a>b>cB.b>c>a
C.a>c>bD.c>b>a
3.(2019四川资阳高一月考)设a=60.4,b=lg0.40.5,c=lg80.4,则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.c4.(2020山东日照高一校际联考)已知a=1213,b=lg213,c=lg1213,则( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>a>bD.c>b>a
题组二对数型函数的图象及其应用
5.(2020云南大理高一期中)对数函数f(x)=lgax的图象如图所示,已知a取3,43,35,110,则对应曲线C1,C2,C3,C4的a的值依次为( )
A.3,43,35,110B.3,43,110,35
C.43,3,35,110D.43,3,110,35
6.(2019陕西商洛中学月考)函数y=2lg4(1-x)的图象大致是( )
7.(2020辽宁沈阳校际联合测试)函数y=a-x与y=lga(-x)(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
8.若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|09.函数y=3|lg3x|的图象是( )
10.(2019浙江湖州八校联考)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=lga(x+k)的大致图象是( )
题组三对数型函数的值域与最值
11.函数f(x)=lg3(x2+1)的值域为( )
A.(0,+∞)B.[0,+∞)
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
12.(2020河北衡水枣强中学月考)已知函数f(x)=2+lg3x,x∈181,9,则函数f(x)的最小值为( )
A.-2B.-3
C.-4D.0
13.(2019山西康杰中学高一期中)若函数f(x)=lg2kx2+(2k-1)x+14的值域为R,则实数k的取值范围为 .
14.(2020贵州贵阳高一质量检测)设函数f(x)=lg2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=lg212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值.
题组四对数型函数的单调性及其应用
15.(2020湖南长沙一中高一期中模考)若函数y=lga|x-2|(a>0,且a≠1)在区间(1,2)上是增函数,则f(x)在区间(2,+∞)上( )
A.先增后减B.先减后增
C.单调递增D.单调递减
16.若函数f(x)=lga(6-ax)(a>0,且a≠1)在区间[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,3)
C.(1,3]D.[3,+∞)
17.(2019江苏南京高一质检)若函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,lgax,x≥1,对任意x1≠x2,都有f(x2)-f(x1)x2-x1<0,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1)B.0,13
C.17,1D.17,13
18.已知lga(3a-1)恒为正,则a的取值范围是 .
19.若函数f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围为 .
20.(2020黑龙江双鸭山一中高一期中)已知函数f(x)=lga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
21.求函数y=ln 1x-1的单调区间.
22.(2019辽宁省实验中学高一期中)已知f(x)=lg12(x2-ax-a).
(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间及值域;
(2)若f(x)在-∞,-12上为增函数,求实数a的取值范围.
题组五对数不等式
23.若lga(a2+1)A.(0,1)B.0,12
C.12,1D.(0,1)∪(1,+∞)
24.(2020河北衡水一中模拟)函数f(x)=lg2x,x>0,lg12(-x),x<0,
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
25.已知函数f(x)=lg(x+1),则不等式026.若f(x)=lg x,g(x)=f(|x|),则当g(lg x)>g(1)时,x的取值范围是 .
27.(2020河南洛阳高一模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=0,当x>0时,f(x)=lg12x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
能力提升练
题组一对数型函数的图象及其应用
1.(2020河北辛集中学高一期中,)函数y=e|ln x|-|x-1|的图象大致是( )

2.(2020安徽阜阳太和一中高一上学期期末,)函数f(x)=lnx-1x的图象大致为( )
3.(多选)()下列命题中正确的是( )
A.函数f(x)=lga(2x-1)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,-1)
B.函数f(x)=lga|x|(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,则f(-2)C.若f(x+2)是偶函数,且函数f(x)的图象与x轴有2 017个交点,分别为(x1,0),(x2,0),…,(x2 017,0),则x1+x2+…+x2 017=2 017
D.函数f(x)=lg x+1x-1的图象关于坐标原点对称
4.(2020天津塘沽高一模拟,)已知函数y=lga2x+1x-1的图象恒过点P,则点P的坐标为 .
题组二对数型函数的性质及其应用
5.(2020陕西西安一中高一期中,)已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=lg0.55.1,则m,n,p的大小关系是( )
A.mC.p6.(2019山东曲阜实验中学模拟,)已知x∈(e-1,1),a=ln x,b=12lnx,c=eln x,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.b>a>c
7.(2019福建福州高一期中模拟,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(lg2a)+f(lg12a)≤2f(1),则a的取值范围是( )
A.[1,2]B.0,12
C.12,2D.(0,2]
8.(2020河南平顶山模拟,)函数f(x)=lga|x+1|(a>0,且a≠1),当x∈(-1,0)时,恒有f(x)>0,则( )
A. f(x)在(-∞,0)上是减函数
B. f(x)在(-∞,-1)上是减函数
C. f(x)在(0,+∞)上是增函数
D. f(x)在(-∞,-1)上是增函数
9.(2020广东东莞高一月考,)若函数f(x)=lg(a2-1)(2x+1)在-12,0上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是 .
10.(2020山东淄博一中月考,)已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
11.(2019山东滕州第一中学高一月考,)已知函数f(x)=lg(102x+1)-kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)当a>0时,设g(x)=lg(a·10x-2a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
题组三对数型函数的综合应用
12.(2020山东泰安一中期中,)已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则
f(lg 2)+flg 12=( )
A.-1B.0C.1D.2
13.(2020山东青岛高一上期中,)已知函数f(x)=2x+2,x≤0,lg2x,x>0,若f(x0)>2,则x0的取值范围是( )
A.-14B.x0<-1或x0>4
C.014.(2020吉林白山高一期中,)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则( )
A. f(2x)=e2x(x∈R)
B. f(2x)=ln 2·ln x(x>0)
C. f(2x)=2ex(x∈R)
D. f(2x)=ln x+ln 2(x>0)
15.(2019重庆求精中学高一月考,)函数f(x)=|lg2x|,若0A.[4,+∞)B.(4,+∞)
C.[5,+∞)D.(5,+∞)
16.(多选)(2019广东仲元中学高一期中,)已知函数f(x)=(lg2x)2-lg2x2-3,则下列说法正确的是( )
A. f(4)=-3
B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
C.函数y=f(x)的最小值为-4
D.函数y=f(x)的最大值为4
17.(2020山东潍坊高一期末,)已知函数f(x)=1ex-a,函数y=g(x)为函数y=f(x)的反函数.
(1)求函数y=g(x)的解析式;
(2)若方程g(x)=ln[(a-3)x+2a-4]恰有一个实根,求实数a的取值范围;
(3)设a>0,若对任意b∈14,1,当x1,x2∈[b,b+1]时,满足|g(x1)-g(x2)|≤ln 4,求实数a的取值范围.
18.(2020安徽六安第一中学高三月考,)已知a∈R,函数f(x)=lg21x-1+a.
(1)当a=1时,解不等式f(x)<1;
(2)若函数y=f(x)+1为奇函数,试求a的值;
(3)若关于x的方程f(x+1)-lg2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中有且只有一个元素,求a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.D 函数y=lgπx在定义域上单调递增,e<π,则lgπelgee=1,所以lgπe2.A 易知a=1+lg43,b=1+lg53,c=1+lg63,
∵lg43>lg53>lg63,∴a>b>c.
3.B 因为a=60.4>1,b=lg0.40.5∈(0,1),c=lg80.4<0,所以a>b>c.故选B.
4.C 因为a=1213,所以01,所以c>1>a>0>b,即c>a>b.故选C.
5.A 作直线y=1与四个图象分别交于四点,四点的横坐标即为对应对数的底数,从左至右依次增大,可知选A.
6.C 函数y=2lg4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2lg4(1-x)在定义域内单调递减,排除D.故选C.
7.C 在y=lga(-x)中,易知-x>0,∴x<0,
∴图象只能在y轴的左侧,故排除A、D;当a>1时,y=lga(-x)是减函数,y=a-x=1ax是减函数,故排除B;当08.A ∵函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|09.A y=3|lg3x|=3lg3x,x≥1,3-lg3x,0即y=x,x≥1,1x,010.A ∵f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上是奇函数,∴f(0)=(k-1)a0-a0=k-2=0,∴k=2.又∵f(x)是减函数,∴0∴g(x)=lga(x+k)的图象是选项A中的图象.
11.B 因为x2+1≥1,且y=lg3u在[1,+∞)上单调递增,所以lg3(x2+1)≥lg31=0,故函数f(x)的值域为[0,+∞).
12.A ∵181≤x≤9,∴lg3181≤lg3x≤lg39,即-4≤lg3x≤2,∴-2≤2+lg3x≤4.
∴当x=181时, f(x)min=-2.
13.答案 0,14∪[1,+∞)
解析设u=kx2+(2k-1)x+14的值域为A,y=lg2u的定义域为B,易知B=(0,+∞),
当k=0时,u=-x+14,A=R,则A∩B=(0,+∞),函数f(x)的值域为R,符合题意;
当k≠0时,依题意得k>0,B⊆A,因此(2k-1)2-4×k×14≥0,解得k≤14或k≥1,
此时k的取值范围是0,14∪[1,+∞).
综上所述,实数k的取值范围为0,14∪[1,+∞).
14.解析 (1)由f(1)=1,f(2)=lg212,得
lg2(a-b)=1,lg2(a2-b2)=lg212,∴a-b=2,a2-b2=12,
即a-b=2,a+b=6,∴a=4,b=2.
(2)由(1)知f(x)=lg2(4x-2x),设t=2x,∵x∈[1,3],∴t∈[2,8].
令u=4x-2x=t2-t=t-122-14,
∴当t=8,即x=3时,u最大,umax=56,
又y=lg2u单调递增,∴当u最大时,y也最大,
故f(x)的最大值为3+lg27.
15.D 当116.B 函数由y=lgau,u=6-ax复合而成,因为a>0,所以u=6-ax是减函数,因为函数f(x)在[0,2]上为减函数,所以函数y=lgau是增函数,所以a>1,因为u=6-ax在[0,2]上为减函数,所以当x=2时,u=6-ax取得最小值,令6-2a>0,解得a<3,所以117.D 由f(x2)-f(x1)x2-x1<0得, f(x)在R上是减函数,则有018.答案 a|131
解析由题意知lga(3a-1)>0=lga1恒成立.
当a>1时,y=lgax是增函数,
∴3a-1>1,3a-1>0,解得a>23,∴a>1;
当0∴3a-1<1,3a-1>0,解得13综上所述,a的取值范围是a131.
19.答案 [1,2)
解析令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,图象的对称轴为直线x=a,要使函数在(-∞,1]上单调递减,则有g(1)>0,a≥1,即2-a>0,a≥1,
解得1≤a<2,即a∈[1,2).
20.答案 1,83
解析当a>1时, f(x)=lga(8-ax)在[1,2]上是减函数,
由f(x)>1恒成立,得f(x)min=lga(8-2a)>1,解得1当0由f(x)>1恒成立,得f(x)min=lga(8-a)>1,即8-2a<0,所以a>4,又0综上,实数a的取值范围是1,83.
21.解析函数y=ln 1x-1的定义域为(1,+∞),在区间(1,+∞)上,函数y=1x-1为减函数,
∴函数y=ln 1x-1为减函数.
∴函数y=ln 1x-1的单调递减区间为(1,+∞),没有单调递增区间.
22.解析 (1)当a=-1时,
f(x)=lg12(x2+x+1),
∵x2+x+1=x+122+34≥34,
∴lg12(x2+x+1)≤lg1234=2-lg23,
∴f(x)的值域为(-∞,2-lg23].
∵y=x2+x+1在-∞,-12上单调递减,在-12,+∞上单调递增,y=lg12x在(0,+∞)上单调递减,
∴f(x)的增区间为-∞,-12,减区间为-12,+∞.
(2)令u(x)=x2-ax-a=x-a22-a24-a,
∵f(x)在-∞,-12上为单调递增函数,
且y=lg12u(x)为单调递减函数,
∴u(x)在-∞,-12上为单调递减函数,且u(x)>0在-∞,-12上恒成立.
∴a2≥-12,-122+a2-a≥0,即a≥-1,14+a2-a≥0,解得-1≤a≤12.
故实数a的取值范围是-1,12.
23.C 由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又lga(a2+1)同时2a>1,所以a>12.综上,a∈12,1.
24.C 当a>0时,由f(a)>f(-a)得lg2a>lg12[-(-a)],即lg2a>0,解得a>1;
当a<0时,由f(a)>f(-a)得lg12(-a)>lg2(-a),即lg2(-a)<0,解得0<-a<1,即-125.答案 x|-23解析不等式0即0由2-2x>0,x+1>0,得-1由0因为x+1>0,所以x+1<2-2x<10x+10,解得-23综上,不等式的解集为x|-2326.答案 0,110∪(10,+∞)
解析当g(lg x)>g(1)时, f(|lg x|)>f(1),由f(x)为增函数得|lg x|>1,从而lg x<-1或lg x>1,解得010.
27.解析 (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=lg12(-x).
因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).
所以当x<0时, f(x)=lg12(-x),
所以函数f(x)的解析式为f(x)=lg12x,x>0,0,x=0,lg12(-x),x<0.
(2)因为f(4)=lg124=-2, f(x)是偶函数,
所以不等式f(x2-1)>-2可化为f(|x2-1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以0<|x2-1|<4,
解得-5而当x2-1=0时, f(0)=0>-2成立,
所以-5即不等式的解集为(-5,5).
能力提升练
1.D 当x≥1时,ln x≥0,x-1≥0,因此y=eln x-(x-1)=1,排除C;
当00,排除B,故选D.
2.B 易知f(x)的定义域为(-1,0)∪(1,+∞),故选项A和选项D错误;又因为f(x)在定义域内恒为增函数,故选项C错误.故选B.
3.ABD 由2x-1=1,y=lga1-1得x=1,y=-1,则函数f(x)的图象恒过点(1,-1),因此A正确;依题意得f(x)是偶函数,且a>1,因此f(-2)=f(2)0,解得x>1或x<-1,函数的定义域关于原点对称,且f(-x)=lg-x+1-x-1=lgx-1x+1=lgx+1x-1-1=-lgx+1x-1=-f(x),则f(x)是奇函数,图象关于坐标原点对称,因此D正确.故选ABD.
4.答案 (-2,0)
解析由lga1=0得2x+1x-1=1,y=0,解得x=-2,y=0,故y=lga2x+1x-1的图象恒过点P(-2,0).
5.C ∵0<0.95.1<0.90=1,5.10.9>5.10=1,lg0.55.16.B ∵x∈(e-1,1),∴ln x∈(-1,0),∴a∈(-1,0),b∈(1,2),c∈(e-1,1),∴b>c>a,故选B.
7.C ∵f(x)为偶函数,
∴f(lg12a)=f(-lg2a)=f(lg2a),
∴原不等式可化为f(lg2a)≤f(1).
又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴|lg2a|≤1,∴-1≤lg2a≤1,
∴12≤a≤2.
8.D 由题意得,函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,当x∈(-1,0)时,恒有f(x)>0,即|x+1|∈(0,1), f(x)>0,则09.答案 (-2,-1)∪(1,2)
解析因为x∈-12,0,
所以2x+1∈(0,1),且lg(a2-1)(2x+1)>0,
所以0所以实数a的取值范围是(-2,-1)∪(1,2).
10.解析 (1)若f(x)的定义域为R,则y=ax2+2x+1的图象恒在x轴的上方,
所以a>0,Δ=4-4a<0,所以a>1.
(2)若f(x)的值域为R,则y=ax2+2x+1的图象一定要与x轴有交点,且能取得y轴正半轴的任一值,所以a=0或a>0,Δ=4-4a≥0,所以0≤a≤1.
11.解析 (1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即
lg(10-2x+1)+kx=lg(102x+1)-kx,
∴2kx=lg102x+110-2x+1=lg102x=2x,∴k=1.
(2)由已知得,方程lg(a·10x-2a)=lg(102x+1)-x=lg102x+110x有且只有一个解,
∴方程a(10x-2)=102x+110x有且只有一个解,且满足10x>2,
整理得(a-1)102x-2a·10x-1=0,
令t=10x(t>2),则方程(a-1)t2-2at-1=0在(2,+∞)内有且只有一个实根或有两个相等的实根.
当a=1时,t=-12,不满足题意,舍去;
当a>1时,设方程对应的二次函数为u(t)=(a-1)t2-2at-1,
函数的图象开口向上,对称轴为直线t=aa-1,且aa-1>0,u(0)=-1<0,
只需u(2)<0,则方程只有一个大于2的根,
而u(2)=-5<0,即a>1时满足题意;
当0对称轴为直线t=aa-1,且aa-1<0,u(0)=-1<0,
此时方程无大于2的实根.
综上,实数a的取值范围是a>1.
D 易知函数f(x)的定义域为R, f(x)+f(-x)=ln(1+9x2-3x)+ln(1+9x2+3x)+2=ln(1+9x2-9x2)+2=ln 1+2=2,由上式关系知,
f(lg 2)+flg 12=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.
13.A 当x0≤0时,f(x0)>2化为2x0+2>2,
即x0+2>1,解得x0>-1,∴-1当x0>0时,不等式化为lg2x0>2,解得x0>4.综上,x0的取值范围是-14,故选A.
14.D 由y=ex得f(x)=ln x,∴f(2x)=ln 2x=ln 2+ln x(x>0).
15.D 因为0所以lg2(ba)=1,所以ab=2.所以y=a+2b=a+4a(0易知y=a+4a在(0,1)上为减函数,所以y>1+41=5,
所以a+2b的取值范围为(5,+∞),故选D.
16.ABC 对于A, f(4)=(lg24)2-lg242-3=-3,正确;
对于B,因为f(x)=(lg2x)2-2lg2x-3,x∈(0,+∞),所以令f(x)=0,得(lg2x+1)·(lg2x-3)=0,即得lg2x=-1或lg2x=3,所以x=12或x=8,
即f(x)的图象与x轴有两个交点,正确;
对于C,因为f(x)=(lg2x-1)2-4,x∈(0,+∞),所以当lg2x=1,即x=2时,
f(x)min=-4,正确;
对于D,由上可知, f(x)没有最大值.故选ABC.
17.解析 (1)因为y=g(x)为函数y=f(x)的反函数,所以x=1ey-a,
得y=ln1x+a,所以g(x)=ln1x+a.
(2)由ln1x+a=ln[(a-3)x+2a-4]得(a-3)x2+(a-4)x-1=0,
当a=3时,x=-1,经检验,满足题意;
当a=2时,x1=x2=-1,经检验,满足题意;
当a≠2且a≠3时,x1=1a-3,x2=-1,x1≠x2,
若x1是原方程的解,则1x1+a>0,即a>32.
若x2是原方程的解,则1x2+a>0,即a>1,于是满足题意的a∈1,32.
综上,a的取值范围为a|1(3)不妨令b≤x1则1x1+a>1x2+a,
即函数g(x)=ln1x+a在[b,b+1]上为减函数,
所以g(x)max=ln1b+a,g(x)min=ln1b+1+a.
因为当x1,x2∈[b,b+1]时,满足|g(x1)-g(x2)|≤ln 4,
故只需ln1b+a-ln1b+1+a≤ln 4,
即3ab2+3(a+1)b-1≥0对任意b∈14,1恒成立.
因为a>0,所以函数y=3ab2+3(a+1)b-1≥0在b∈14,1上单调递增,
当b=14时,y有最小值,ymin=316a+34(a+1)-1=15a16-14,
由15a16-14≥0,得a≥415.
故a的取值范围为415,+∞.
18.解析 (1)当a=1时,lg21x-1+1<1⇒0<1x-1+1<2⇒00,
∴不等式的解集为{x|x<0或x>2}.
(2)∵函数y=f(x)+1为奇函数,
∴f(-x)+1=-f(x)-1对定义域内的一切x恒成立,
即lg21-x-1+a+1=-lg21x-1+a-1,
∴lg21-x-1+a+lg21x-1+a=-2,
即lg21-x-1+a1x-1+a=-2,
即1-x-1+a1x-1+a=14,
即a2-14x2-(a-1)2+14=0对定义域内的一切x恒成立,
则a2-14=0,-(a-1)2+14=0,
解得a=12.
(3)依题意知lg21x+a=lg2[(a-4)x+2a-5],
∴1x+a=(a-4)x+2a-5>0,①
可得(a-4)x2+(a-5)x-1=0,
即(x+1)·[(a-4)x-1]=0.②
当a=4时,方程②的解为x=-1,代入①式,成立;
当a=3时,方程②的解为x=-1,代入①式,成立;
当a≠3且a≠4时,方程②的解为x=-1或1a-4,
若x=-1为①的解,则1x+a=a-1>0,即a>1;
若x=1a-4为①的解,则1x+a=2a-4>0,即a>2,要使①有且仅有一个解,则1综上,若原方程的解集有且只有一个元素,
则a的取值范围为1