必修 第一册3.2 基本不等式课后测评

这是一份必修 第一册3.2 基本不等式课后测评，共7页。试卷主要包含了2 基本不等式等内容，欢迎下载使用。

§3 不等式


3.2 基本不等式


知识点1 利用基本不等式比较大小


1.☉%*70￥7@@9%☉(2020·南昌二中检测)已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )。


A.ab≤12B.ab≥12


C.a2+b2≥2D.a2+b2≤2


答案：C


解析：2=a+b≥2ab,ab≤1,ab≤1,故A,B选项都是错误的。4=(a+b)2=a2+2ab+b2≤2(a2+b2),所以a2+b2≥2。


2.☉%68#7@￥￥8%☉(2020·衡水中学月考)下列不等式中,正确的是( )。


A.a+b≥2abB.(a+b)2≥6ab


C.a2+b22≥abD.(a-b)2≥2ab


答案：C


解析：选项A忽视了a,b的条件应为正实数,B,D选项只有在ab≤0时成立。


3.☉%7@*236@#%☉(2020·江苏丹阳中学检测)设0

A.b<2ab

B.2ab

C.2ab

D.2ab

答案：C


解析：∵0

∴a2+b2>2ab,b=b(a+b)=ab+b2>a2+b2,且a2+b2>b。故2ab

知识点2 基本不等式中的恒成立问题


4.☉%6@#￥072*%☉(2020·黄冈中学月考)若a,b∈R,则下列不等式恒成立的是( )。


A.|a+b|2≥|ab|B.ba+ab≥2


C.a2+b22≥a+b22D.(a+b)1a+1b≥4


答案：C


解析： 对于A,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,不等式不成立,故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,-ab+ba≥2ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,故B中不等式不恒成立。对于C,a2+b22≥a+b22,故C中不等式恒成立;对于D,(a+b)1a+1b=2+ab+ba,当a,b同号时ab+ba≥2,原不等式成立,当a,b异号时,-ab+ba≥2ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,原不等式不成立,故D中不等式不恒成立。故选C。


5.☉%￥41#*3@7%☉(多选)(2020·张家口二中月考)设a>0,b>0,则以下不等式中恒成立的是( )。


A.(a+b)1a+1b≥4B.a3+b3≥2ab2


C.a2+b2+2≥2a+2bD.|a-b|≥a-b


答案：ACD


解析： ∵a>0,b>0,


∴对于A,(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥4恒成立。


对于C,a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴a2+b2+2≥2a+2b恒成立。


对于D,当a≥b时,(|a-b|)2=a-b,


而(a-b)2=a+b-2ab=a-b+2b-2ab=(a-b)+2b(b-a),又∵a≥b>0,∴b-a≤0,∴(a-b)+2b(b-a)≤a-b,即|a-b|≥a-b;当a0,而a-b<0,∴|a-b|>a-b,故|a-b|≥a-b恒成立。


6.☉%4￥7#4*5#%☉(2020·辽宁实验中学期中)下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0。其中能使ba+ab≥2成立的条件的个数是 。


答案：3


解析：要使ba+ab≥2,只要ba>0且ab>0,即a,b不为0且同号即可,故有3个。


7.☉%@7#87@0*%☉(多选)(2020·株洲中学期末)在下列各函数中,最小值等于2的函数是( )。


A.y=x+1x(x>0)


B.y=cs x+1csx(0°

C.y=x2+3x2+2


D.y=x2+4x2-2


答案：AD


解析：当x>0时,y=x+1x≥2,故A对;因为00,所以y=x2+4x2-2≥2x2·4x2-2=2,当且仅当x2=4x2,即x2=2时等号成立,故D对。


题型1 利用基本不等式求最值或参数的取值范围


8.☉%#17￥9#7*%☉(2020·重庆一中月考)若x2+y2=4,则xy的最大值是( )。


A.12B.1C.2D.4


答案：C


解析：∵x2+y2=4≥2xy,∴xy≤2,当且仅当x=y时取等号,即xy的最大值是2,故选C。


9.☉%5￥@05#*6%☉(2020·莲塘一中检测)已知0

A.14B.15C.16D.17


答案：C


解析：∵00,∴x(1-3x)=13·3x(1-3x)≤13·3x+1-3x22=112,当且仅当3x=1-3x,即x=16时,等号成立。


10.☉%99￥#*4￥4%☉(2020·陕西榆林一中月考)已知t>0,则函数y=t2-4t+1t的最小值为( )。


A.-2B.12C.1D.2


答案：A


解析：y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2t·1t-4=-2,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立。


11.☉%0@06@#@5%☉(2020·江苏南通中学过关测试)若a>b,b>0,a+b=1,则1a2-11b2-1的最小值是( )。


A.6B.7C.8D.9


答案：D


解析： 由1a2-11b2-1=(1+a)(1-a)(1-b)(1+b)a2b2=(1+a)(1+b)ab=1+a+b+abab=2ab+1。


∵a+b=1,∴2ab≤1,∴ab≤14,∴1a2-11b2-1≥9。


12.☉%**0#0*55%☉(2020·华师一附中检测)若直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),则1m+2n的最小值为( )。


A.2B.6C.12D.3+22


答案：D


解析：∵直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),∴2m+2n-2=0,即m+n=1,∴1m+2n=1m+2n(m+n)=3+nm+2mn≥3+22,当且仅当nm=2mn,即n=2m时取等号,∴1m+2n的最小值为3+22。


13.☉%*444￥@2@%☉(2020·江西师大附中月考)已知正实数x,y满足xy=1,则xy+yyx+x的最小值为 。


答案：4


解析： xy+yyx+x=1+x2y+y2x+xy=2+x3+y3xy=2+x3+y3≥2+2x3y3=4,当且仅当x=y=1时等号成立。据此可知xy+yyx+x的最小值为4。


14.☉%1￥*412￥￥%☉(2020·安庆一中月考)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值为 。


答案：4


解析：∵2xy=x·(2y)≤x+2y22,∴8=x+2y+2xy≤x+2y+x+2y22,即(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0。


∵x>0,y>0,∴x+2y≥4,当且仅当x=2,y=1时取等号,即x+2y的最小值是4。


15.☉%6*￥*2*38%☉(2020·合肥一中检测)设a,b∈R,且a2+b2=10,则a+b的取值范围是 。


答案：[-25,25]


解析：∵a2+b2=10,a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥2ab+a2+b2=(a+b)2,当且仅当a=b时取等号,即(a+b)2≤2(a2+b2)=20,∴-25≤a+b≤25,所以a+b的取值范围是[-25,25]。


16.☉%4#*54@4￥%☉(2020·衡水中学周练)x,y,a,b均为正实数,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值。


答案：解: ∵x+y>0,a>0,b>0,且ax+by=1,∴x+y=(x+y)·ax+by=a+b+bxy+ayx≥a+b+2bxy·ayx=a+b+2ab=(a+b)2,


当且仅当bxy=ayx时取等号。


此时(x+y)min=(a+b)2=18,即a+b+2ab=18。


又a+b=10,联立a+b+2ab=18,a+b=10。


解得a=2,b=8或a=8,b=2。


17.☉%*1#8￥44#%☉(2020·石家庄中学月考)已知a>0,b>0,且2a+1b≥m2a+b恒成立,求实数m的最大值。


答案：解:因为a>0,b>0,2a+1b≥m2a+b恒成立,


即m≤2a+1b(2a+b)恒成立,


而2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab=9,


当且仅当a=b时等号成立,所以实数m的最大值为9。


题型2 利用基本不等式的性质证明不等式成立


18.☉%1￥379@￥#%☉(2020·武汉外校月考)已知a,b,c为正实数,求证:b2a+c2b+a2c≥a+b+c。


答案：证明:∵a+b2a≥2b,b+c2b≥2c,c+a2c≥2a,∴a+b2a+b+c2b+c+a2c≥2a+2b+2c,∴b2a+c2b+a2c≥a+b+c。


19.☉%4@2#4*#8%☉(2020·雅礼中学周练)求证:


(1)a2+b2+c2≥ab+ac+bc;


答案：证明:∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将此三式相加得2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,∴原不等式成立。


(2)6+7>22+5。


答案：要证原不等式成立,只需证(6+7)2>(22+5)2,


即证242>240。∵上式显然成立,∴原不等式成立。


题型3 基本不等式在实际生活中的应用


20.☉%511@*@2￥%☉(2020·武汉中学月考)汽车上坡时的速度为a,原路返回时的速度为b,且0

A.大B.小C.相等D.不能确定


答案：B


解析：令单程为s,则上坡时间为t1=sa,下坡时间为t2=sb,平均速度为2st1+t2=2ssa+sb=21a+1b≤ab≤a+b2。又a≠b,即等号取不到,故选B。


21.☉%@6￥74￥@6%☉(2020·武汉外校月考)某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元,为使该设备平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为( )。


A.10B.11C.13D.21


答案：A


解析：总的维护费为:n(2+2n)2=n(n+1),故年平均费用为:y=100+0.5n+n(n+1)n,即y=n+100n+1.5(n为正整数)。由基本不等式得y=n+100n+1.5≥2n·100n+1.5=21.5,当且仅当n=100n,即n=10时取到等号,即该企业10年后需要更新设备。


22.☉%*29#￥@37%☉(2020·华师一附中期中)《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并将该方法称之为“无字证明”。如图1-3-2-1,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD,垂足为E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )。





图1-3-2-1


A.ab≤a+b2(a>0,b>0)


B.a+b2<2aba+b(a>0,b>0,a≠b)


C.2aba+b≤ab(a>0,b>0)


D.2aba+b0,b>0,a≠b)


答案：D


解析：由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=a+b2,易得DC=AC·BC=ab,DE=DC2DO=2aba+b。


∵DE

∴2aba+b0,b>0,a≠b)。故选D。


23.☉%**5￥122￥%☉(2020·武汉二中期中)如图1-3-2-2,已知在小矩形花坛ABCD中,AB=3 m,AD=2 m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C。





图1-3-2-2


(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2,AN的长应在什么范围内?


答案：解:设AM=x m,AN=y m(x>3,y>2),矩形AMPN的面积为S,则S=xy。


∵△NDC△NAM,∴y-2y=3x,∴x=3yy-2,


∴S=3y2y-2(y>2)。由3y2y-2>32,得28,


∴AN的长度应在2,83或(8,+∞)内。


(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由。


答案：当y>2时,S=3y2y-2=3y-2+4y-2+4≥3×(4+4)=24,


当且仅当y-2=4y-2,即y=4时,等号成立,解得x=6。


∴存在位置M,N,当AM=6 m,AN=4 m时,Smin=24 m2。