高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式练习，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.3.2基本不等式 一、单选题1．已知，若，则的最小值是（    ）A．5 B．4 C．3 D．22．已知，那么函数有（    ）A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值43．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（    ）A． B． C． D．4．已知，，，则的最大值为（    ）A． B．4 C．6 D．85．若把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是（    ）A．5 B．10 C．20 D．256．已知实数，满足，则的最小值为（    ）A．4 B．3 C．2 D．17．“”是“函数的最小值大于4”的（    ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若，则（    ）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值9．若x，y∈R，2x+2y=1，则x+y的取值范围是（    ）A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)10．已知都是正数，若，则的最小值是（    ）A．5 B．4 C． D．  二、填空题11．若，则的最小值是___________.12．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.13．函数的最小值是___________.14．已知，且，则的最小值为___________. 三、解答题15．已知、都是正数，求证：（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.16．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
参考答案1．D【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】解：因为，，所以基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以的最小值是故选：D2．B【分析】利用基本不等式，即可得到答案；【详解】，等号成立当且仅当，函数的最小值2，故选：B.3．B【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可【详解】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，所以，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故C错误；，D错误．故选：B．4．B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值【详解】因为所以，从而．当且仅当时等号成立.故选：B5．D【分析】设矩形的一边为米，场地面积为,则可得关于的解析式，结合基本不等式可求场地面积的最大值.【详解】设矩形的一边为米，则另一边为米，设场地面积为，∴，当且仅当，即时，．故选：D.6．C【分析】由重要不等式即可求解.【详解】由重要不等式可得：，当且仅当即或时等号成立，所以的最小值为，故选：C.7．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．【详解】解：若，则的最小值为；若的最小值大于4，则，且，则，故选：C．8．A【分析】直接根据基本不等式求解即可．【详解】解：∵，又，，当且仅当即时等号成立，，当且仅当时等号成立，故选：A．9．A【分析】利用基本不等式由2x+2y=1可得，从而可求出x+y的取值范围【详解】解：因为，所以，即，当且仅当，即时取“=”，所以x+y的取值范围是(﹣∞，﹣2].故选：A.10．C【分析】利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果.【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．【分析】由，结合基本不等式即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时，取等号成立.故的最小值为，故答案为：12．【分析】由已知可得，利用两元换一元及基本不等式即得．【详解】由x2+xy=1，得，所以，当且仅当 时取等号.故答案为：.13．4【分析】根据基本不等式可求出结果.【详解】令，则，当且仅当，即时，.所以函数的最小值是4.故答案为：4【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】由得，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用基本不等式可证明出结论成立；（2）利用基本不等式可证明出结论成立.【详解】因为、都是正数，所以.（1）当积等于定值时，，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值；（2）当和等于定值时，，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.【点睛】本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.16．（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.【分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由已知得，由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.