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    北师大数学必修第一册同步练习:1.3.1 不等式的性质 (含答案)
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    高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识3 不等式3.1 不等式性质测试题

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识3 不等式3.1 不等式性质测试题,共8页。试卷主要包含了1 不等式的性质,☉%@3¥@52¥3%☉判断等内容,欢迎下载使用。

    §3 不等式


    3.1 不等式的性质


    知识点 利用不等式的性质比较大小


    1.☉%@@5##215%☉(2020·信丰二中月考)已知m=x2+2x,n=3x+2,则( )。


    A.m>nB.m

    C.m=nD.m与n的大小不能确定


    答案:D


    解析: m-n=x2+2x-(3x+2)=x2-x-2=x-122-94≥-94。∵m-n与0的大小关系不确定,∴m与n的大小不能确定。故答案为D。


    2.☉%8#¥6*¥52%☉(多选)(2020·扶风高中月考)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点,且A在原点右侧,B在原点左侧,则下列不等式一定成立的是( )。


    A.a-b>0B.a+b<0


    C.|a|>|b|D.a2+b2≥-2ab


    答案:AD


    解析:由题意知a>0,b<0,则a-b>0,而a+b的符号不确定,|a|与|b|的大小也不确定,故排除A,B,C;对于D,a2+b2+2ab=(a+b)2≥0,进而得到a2+b2≥-2ab。故选AD。


    3.☉%7*0@34*@%☉(2020·全州高中月考)已知a>b>-1,则1a+1与1b+1的大小关系是( )。


    A.1a+1>1b+1B.1a+1<1b+1


    C.1a+1≥1b+1D.1a+1≤1b+1


    答案:B


    解析:∵a>b>-1,∴a+1>0,b+1>0,a-b>0。


    ∴1a+1-1b+1=b-a(a+1)(b+1)<0,


    ∴1a+1<1b+1。故答案为B。


    4.☉%@3¥@52¥3%☉(2020·六安一中周练)判断。(正确的打“√”,错误的打“×”)


    (1)某隧道入口竖立着“限高4.5 m”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5。()


    答案:√


    解析:限高4.5 m就是h≤4.5,故正确;


    (2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0。()


    答案:×


    解析:a与b的差是非负数,则a-b≥0,故错误;


    (3)不等式x≥2的含义是指x不小于2。()


    答案:√


    解析:大于或等于即不小于,故正确;


    (4)若a

    答案:√


    解析:因为不等式a≤b表示a

    5.☉%**0¥1@81%☉(2020·广饶一中检测)若规定ac bd=ad-bc,则ab -ba与ab -ab的大小关系为 (a,b∈R,a≠b)。


    答案:ab -ba>ab -ab


    解析:ab -ba-ab -ab=[a·a-(-b)·b]-[a·b-(-a)·b]=a2+b2-2ab=(a-b)2。∵a≠b,∴(a-b)2>0。∴ab -ba>ab -ab。


    故答案为ab -ba>ab -ab。


    6.☉%33@19@¥¥%☉(2020·武钢三中月考)若x∈R,则x1+x2与12的大小关系为 。


    答案:x1+x2≤12


    解析:x1+x2-12=2x-1-x22(1+x2)=-(x-1)22(1+x2)≤0,


    ∴x1+x2≤12。故答案为x1+x2≤12。


    7.☉%@#33¥#52%☉(2020·北京西城模拟)若a>b>0,m>0,n>0,则ab,ba,b+ma+m,a+nb+n按由小到大的顺序排列为 。


    答案:ba

    解析:ba-b+ma+m=(b-a)ma(a+m),


    又∵a>b>0,m>0,n>0,∴(b-a)ma(a+m)<0,∴ba

    b+ma+m-a+nb+n=(b+a)(b-a)+(b-a)(m+n)(a+m)(b+n),


    又∵a>b>0,m>0,n>0,


    ∴(b+a)(b-a)+(b-a)(m+n)(a+m)(b+n)<0,


    ∴b+ma+m-a+nb+n<0,∴b+ma+m

    又∵a>b>0,n>0,


    ∴a+nb+n-ab<0,∴a+nb+n

    综上可知,ba

    8.☉%#@73¥53*%☉(2020·安庆一中检测)若a∈R,p=a2-a+1,q=1a2+a+1,试比较p与q的大小。


    答案:解: p-q=a2-a+1-1a2+a+1=a2(a2+1)a2+a+1=a2(a2+1)a+122+34,由于a+122+34≥34>0,a2+1>0,a2≥0,


    故p-q≥0,即p≥q,当且仅当a=0时,等号成立。


    9.☉%@27#5@3@%☉(2020·合肥一中周练)已知a,b,x,y都是正数,且1a>1b,x>y,求证:xx+a>yy+b。


    答案:解:∵a,b,x,y都是正数,且1a>1b,x>y,


    ∴xa>yb,∴ax

    ∴xx+a>yy+b。


    题型1 利用不等式性质判断命题的真假


    10.☉%1@5@@7@4%☉(2020·湖北孝感八校联考)对于任意实数a,b,c,d,给出下列叙述:


    ①若a>b,c≠0,则ac>bc;②若a>b,则ac2>bc2;③若ac2>bc2,则a>b。其中正确叙述的个数是( )。


    A.0B.1C.2D.3


    答案:B


    解析:对于①,c<0⇒ac

    对于②,c=0⇒ac2=bc2,②不正确;


    若ac2>bc2,则c2>0,


    不等式两边同乘1c2可得a>b,③正确。故选B。


    11.☉%53¥8*6**%☉(2020·合肥168中学期中)如果a,b,c满足c

    A.ab>acB.bc>ac


    C.cb2

    答案:C


    解析: ∵c0,c<0,


    ∴ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0。


    ∴A,B,D中的不等式均恒成立。


    ∵b可能等于0,也可能不等于0,


    ∴cb2

    12.☉%763@*0@*%☉(2020·安庆二中月考)已知a,b,c,d∈R,则下列说法中一定正确的是( )。


    A.若a>b,c>b,则a>cB.若a>-b,则c-a

    C.若a>b,cbdD.若a2>b2,则-a<-b


    答案:B


    解析:对于A,若a=4,b=2,c=5,显然a>c不成立;


    对于B,若a>-b,则-a

    对于C,若a>b>0,c<0bd不成立;


    对于D,若a=-1,b=0,有a2>b2,但-a<-b不成立。故选B。


    13.☉%*47*¥¥94%☉(多选)(2020·芜湖一中检测)若a>0>b,0>c>d,则以下不等式中成立的是( )。


    A.a+c>b+dB.bc

    C.acbc


    答案:ABC


    解析:∵a>b,c>d,∴a+c>b+d,故A成立;


    ∵0>c>d,又b<0,∴bc

    ∵a>0>b,0>c>d,∴ac<0,bd>0,∴ac

    若a=1,b=-1,c=-2,d=-4,ad=-14

    14.☉%6@56¥#*5%☉(2020·江西师大附中检测)若-1<α<β<1,则下面各式中恒成立的是( )。


    A.-2<α-β<0B.-2<α-β<-1


    C.-1<α-β<0D.-1<α-β<1


    答案:A


    解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<-β<1,α-β<0,∴-2<α-β<0。


    15.☉%375##*0¥%☉(2020·铜川一中调考)设a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式成立的是( )。


    A.a2>b2B.ac2>bc2


    C.a+c>b+cD.1a<1b


    答案:C


    解析:∵1>-2,但是11<1-2不成立,故D不正确;


    ∵-1>-2,但是(-1)2>(-2)2不成立,故A不正确;


    ∵a>b,∴a+c>b+c,C正确;


    c=0时,0=ac2>bc2=0不成立,故B不正确。故选C。


    16.☉%¥#99@33@%☉(2020·南郡中学周练)若a,b∈R,则下列命题正确的是( )。


    A.若a>b,则a2>b2B.若|a|>b,则a2>b2


    C.若a>|b|,则a2>b2D.若a≠|b|,则a2≠b2


    答案:C


    解析:因为a=1>b=-1,a2=b2,所以A错;因为|a|=1>b=-1,a2=b2,所以B错;因为a>|b|,所以a2>|b|2=b2,所以C对;因为a=-1,b=1,a≠|b|,a2=b2,所以D错。


    17.☉%1¥#70*0¥%☉(多选)(2020·合肥一中周练)下列条件能成为a>b的充分条件的是( )。


    A.a>b+1B.ac2>bc2


    C.ac>bcD.a2>b2


    答案:AB


    解析:A.由a>b+1⇒a>b,故a>b+1是a>b的充分条件,故符合题意;B.ac2>bc2,两边同除以c2可得到a>b,故ac2>bc2是a>b的充分条件,故符合题意;C.ac>bc,c<0时a>b不成立,故不符合题意;D.a2>b2,a=-2,b=-1时a>b不成立,故不符合题意。


    题型2 不等式的性质的实际应用


    18.☉%*¥7243@¥%☉(2020·太和一中单元测试)b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g糖(m>0),则糖水变甜了,根据这个事实提炼的一个不等式为( )。


    A.a+mb+mab


    C.a-mb-mab


    答案:B


    解析: ∵b g糖水中有a g糖,糖水的浓度为ab;b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添m g糖(m>0),则糖水的浓度为a+mb+m;又糖水变甜了,说明浓度变大了,∴a+mb+m>ab。


    19.☉%2@9@09¥@%☉(2020·丰城中学检测)完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设请木工x人,瓦工y人,则工人数满足的关系式是( )。


    A.5x+4y<200B.5x+4y≥200


    C.5x+4y=200D.5x+4y≤200


    答案:D


    解析: 据题意知,500x+400y≤20 000,即5x+4y≤200,故选D。


    题型3 利用不等式性质求变量的取值范围


    20.☉%@2¥#145@%☉(2020·黄冈中学周练)已知函数f(x)=ax+b,0

    答案:-32,52


    解析: 由函数的解析式可知0

    21.☉%@71¥#¥98%☉(2020·团风中学月考)完成下列题目。


    (1)已知-90°≤α<β≤90°,试求α-β2的取值范围;


    答案:解:∵-90°≤α<β≤90°,


    ∴-45°≤α2<45°,-45°<β2≤45°,


    ∴-45°≤-β2<45°,∴-90°≤α-β2<90°。


    又α<β,∴α-β2<0°,∴-90°≤α-β2<0°,


    ∴α-β2的取值范围是[-90°,0°)。


    (2)设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求4a-2b的取值范围。


    答案:设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)(m,n为待定系数),


    则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,


    于是得m+n=4,n-m=-2,解得m=3,n=1,


    ∴4a-2b=3(a-b)+(a+b)。


    又由题意知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,


    ∴5≤3(a-b)+a+b≤10,即4a-2b的取值范围是[5,10]。


    22.☉%9##4¥50¥%☉(2020·九江一中月考)已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求9a-c的取值范围。


    答案:解: 由题意得-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,


    又a=(4a-c)-(a-c)3,c=-43(a-c)+13(4a-c),


    所以9a-c=-53(a-c)+83(4a-c)。


    因为-4≤a-c≤-1,所以53≤-53(a-c)≤203;


    因为-1≤4a-c≤5,所以-83≤83(4a-c)≤403。


    两式相加得-1≤9a-c≤20,故9a-c的取值范围是[-1,20]。
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