高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质第2课时习题

第2课时　不等式的性质的应用

1.已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)

A．a2＞a＞－a2＞－a

B．－a＞a2＞－a2＞a

C．－a＞a2＞a＞－a2

D．a2＞－a＞a＞－a2

2．设实数a＝－，b＝－1，c＝－，则(　　)

A．b>a>c  B．c>b>a

C．a>b>c  D．c>a>b

3．若x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　)

A．M＝N  B．M＜N

C．M≤N  D．M＞N

4.已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.

5．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.

6.已知12<a<60,15<b<36.求a－b和的取值范围．

7．已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．

1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　)

A．ad>bc      B．ac>bd

C．a＋c>b＋d  D．a－c>b－d

2．如果a，b∈R，且a>|b|，那么(　　)

A．a<－b  B．a>b

C．a2<b2   D.>

3．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　)

A.<     B.<

C．a2<b2  D．|a|>|b|

4．已知a，b，c均为正实数，若<<，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＜a＜b  B．b＜c＜a

C．a＜b＜c  D．c＜b＜a

5．若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为(　　)

A．P<Q  B．P＝Q

C．P>Q  D．不能确定

6．(探究题)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(　　)

A．xy＞yz  B．xz＞yz

C．xy＞xz  D．x|y|＞z|y|

7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．

8．给出下列四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，其中能推得＜成立的是________．

9．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．

10．(易错题)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x－3y的取值范围．

1．(多选题)已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有(　　)

A．a2＋b2≥

B．a＋≥2

C．若＞，则a＜b

D．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd

2．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　)

A．d>b>a>c  B．b>c>d>a

C．d>b>c>a  D．c>a>d>b

3．(学科素养—逻辑推理)(1)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.

(2)已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.

第2课时　不等式的性质的应用

必备知识基础练

1．解析：∵a2＋a＜0，∴0＜a2＜－a，∴0＞－a2＞a，

∴a＜－a2＜a2＜－a.故选B.

答案：B

2．解析：－＝，－1＝，

－＝，∵＋1<＋<＋，

∴>>，即b>a>c，故选A.

答案：A

3．解析：∵x＞0，y＞0，

∴x＋y＋1＞1＋x＞0,1＋x＋y＞1＋y＞0，

∴<，<，

故M＝＝＋<＋＝N，即M＜N.故选B.

答案：B

4．证明：证法一(性质法)：∵c<d<0，∴－c>－d>0.

∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，

即a－c>b－d>0，∴0<<.

又e<0，∴>.

证法二(作差法)：－＝－＝＝.

∵a>b>0，c<d<0，e<0，

∴a＋d>b＋c，a－c>0，b－d>0，

∴[(b＋c)－(a＋d)]e>0，(a－c)(b－d)>0.

∴－>0，∴>.

证法三(作商法)：∵a>b>0，c<d<0，e<0，

∴a－c>0，b－d>0，∴<0，<0.

∵c<d<0，∴－c>－d>0.

∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，

即a－c>b－d>0，

∴＝·＝<1，

∴<1，∴>.

5．证明：∵＋－a－b＝(a－b)＝.

∵(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0.

∴≥0.∴＋≥a＋b.

6．解析：∵15<b<36，∴－36<－b<－15，

∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.

又<<，∴<<，即<<4.

故－24<a－b<45，<<4.

7．解析：设x＝a＋b，y＝a－b，

则a＝，b＝，

∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝x＋y.

又≤x≤，－≤y≤，

∴－2≤x＋y≤10.

即－2≤3a－2b≤10.

关键能力综合练

1．解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.

答案：C

2．解析：由a>|b|得，当b≥0时，a>b，当b<0时，a>－b>b.综上可知，如果a>|b|，那么a>b成立．故选B.

答案：B

3．解析：∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<，故选A.

答案：A

4．解析：∵<，∴c(b＋c)＜a(a＋b)，bc＋c2＜a2＋ab，移项后因式分解得，(a－c)(a＋b＋c)＞0，∵a，b，c均为正实数，∴a＞c，同理b＞a.∴c＜a＜b，故选A.

答案：A

5．解析：P2＝2a＋13＋2，

Q2＝2a＋13＋2，

因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，

所以>，

所以P2>Q2，所以P>Q.

答案：C

6．解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，

所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，

所以x＞0，z＜0.所以由可得xy＞xz.故选C.

答案：C

7．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，

∴－4＜－|β|≤0，∴－3＜α－|β|＜3.

答案：(－3,3)

8．解析：＜⇔＜0，∴①②④能使它成立．

答案：①②④

9．解析：＋－＝

∵a2b2＞0，所以只需判断a3＋b3－ab2－a2b的符号．

a3＋b3－ab2－a2b＝a2(a－b)＋b2(b－a)

＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，

等号当a＝b时成立，所以＋≥＋.

答案：＋≥＋

10．解析：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，

∴⇒

∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，

∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，

又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9.

学科素养升级练

1．解析：由于2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥(a＋b)2，故A正确；B中，当a＝－1时显然不成立，B错误；C中：a＝1，b＝－1显然有＞，但a＞b，C错误；D中：若a＜b＜0，c＜d＜0，则－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，则根据不等式的性质可知ac＞bd＞0，故D正确．故选AD.

答案：AD

2．解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c，∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.

答案：A

3．证明：(1)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0，

∴≤，∴＋1≤＋1，∴≤.

(2)2－＝.因为m>0，a，b∈R，所以－m(a－b)2≤0，所以2≤.