2019-2020学年湖北省黄冈市蕲春县九年级（下）期中数学试卷 解析版

2019-2020学年湖北省黄冈市蕲春县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣2020的负倒数是（　　）
A．﹣2020 B． C．2020 D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．3a2•a3＝6a6
C．（﹣a3）2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．（3分）“一带一路”贯穿欧亚大陆，东边连接亚太经济圈，西边进入欧洲经济圈，大致涉及65个国家，总人口44亿，生产总值23万亿美元．将23万用科学记数法表示应为（　　）
A．23×104 B．2.3×105 C．2.3×104 D．0.23×106
4．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）如图，将正方形ABCD放于平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣2，2），以原点O为位似中心把正方形ABCD缩小得到正方形A′B′C′D′，使OA′：OA＝1：2，则点D的对应点D′的坐标是（　　）

A．（﹣8，8） B．（﹣8，8）或（8，﹣8）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）或（2，﹣2）
6．（3分）五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．2、40 B．42、38 C．40、42 D．42、40
7．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x﹣+与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点之间的距离，则A2B2+…+A2019B2019的值是（　　）
A． B． C． D．1
8．（3分）直线y1＝x+1与双曲线y2＝（k＞0）交于A（2，m），B（﹣3，n）两点，则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣3或0＜x＜2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜2
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
10．（3分）因式分解：a3﹣9ab2＝　 　．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE＝2，则AB的长为　 　．

12．（3分）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD，连接AB、AC、OC，若∠COD＝60°，则∠BAD＝　 　．

13．（3分）化简的结果是　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝，则线段CE的最大值为　 　．

15．（3分）已知圆锥的高h＝2cm，底面半径r＝2cm，则圆锥的全面积是　 　．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有　 　个．
三、解答题（共7小题，共72分）
17．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．
18．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．
（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF＝DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．

19．（10分）若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
（1）请用列表法或树状图写出所有的等可能性结果，写出所有个位数字是6的“两位递增数”；
（2）求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被5整除的概率．
20．（10分）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的平分线于点C，交AD于点F，过点C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若＝，求cos∠DAB的值．

21．（10分）为做好汉江防汛工作，防汛指挥部决定对一段长为2500m重点堤段利用沙石和土进行加固加宽．专家提供的方案是：使背水坡的坡度由原来的1：1变为1：1.5，如图，若CD∥BA，CD＝4米，铅直高DE＝8米．
（1）求加固加宽这一重点堤段需沙石和土方数是多少？
（2）某运输队承包这项沙石和土的运送工程，根据施工方计划在一定时间内完成，按计划工作5天后，增加了设备，工效提高到原来的1.5倍，结果提前了5天完成任务，问按原计划每天需运送沙石和土多少m3？

22．（12分）受“新冠肺炎疫情”的影响，某经营店欠下了38400元的无息贷款，想转行经营服装店，又缺少资金，扶贫工作组筹集了资金，决定借给该店30000元资金，并约定利润还债务（所有债务均不计利息），已知该店代理的品牌服装的进价为40元/件，该品牌日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系，可用图中的折线（实线）来表示，该店支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不含债务）．
（1）求日销售量y与x之间的函数关系式；
（2）该店不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件，当天正好收支平衡，求该店员工的人数；
（3）若该店只有两名员工，则该店最早需要多少天能偿还清所有债务，此时每件服装的价格定为多少？

23．（12分）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．
（1）直接写出抛物线C1的解析式　 　；
（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；
（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为　 　．


2019-2020学年湖北省黄冈市蕲春县九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．【解答】解：﹣2020的负倒数是：．
故选：D．
2．【解答】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.3a2•a3＝3a5，故本选项不合题意；
C．（﹣a3）2＝a6，故本选项符合题意；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项符合题意．
故选：C．
3．【解答】解：23万用科学记数法表示应为2.3×105．
故选：B．
4．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：A．
5．【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣2，2），以原点O为位似中心把正方形ABCD缩小得到正方形A′B′C′D′，使OA′：OA＝1：2，
∴点D的坐标是：（﹣4，4），
∴点D的对应点D′的坐标是：（﹣2，2）或（2，﹣2）．
故选：D．
6．【解答】解：这组数据的众数和中位数分别42，40．
故选：D．
7．【解答】解：将n＝2，3，4…分别代入抛物线y＝x2﹣x﹣+得：
y＝x2﹣x+
y＝x2﹣x+
y＝x2﹣x+
…
分别解得：x1＝，x2＝；x3＝，x4＝；x5＝，x6＝…
∴A2B2＝﹣
A3B3＝﹣
A4B4＝﹣
…
∴A2019B2019＝﹣
∴A2B2+…+A2019B2019＝﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝
故选：B．
8．【解答】解：画出函数的大致图象如下：

从图象看，﹣3＜x＜0或x＞2时，y1在y2的上方，
即当y1＞y2时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞2，
故选：C．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3．
故答案是：x≥2且x≠3．
10．【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
11．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵DE＝2，AB＝AC，
∴AB＝4．
故答案为：4．
12．【解答】解：∵∠COD＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD，
∴＝，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
故答案为：30°．
13．【解答】解：原式＝[﹣]•
＝﹣
＝
＝
＝．
故答案为：．
14．【解答】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴cosB＝cosα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴CE＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4．

15．【解答】解：∵圆锥的高为2cm，底面半径为2cm，
∴圆锥的母线长为：＝4（cm），
底面周长是：2×2π＝4π（cm），
则侧面积是：×4π×4＝8π（cm2），
底面积是：π×22＝4π（cm2），
则全面积是：8π+4π＝12π（cm2）
故答案为12πcm2．
16．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1
∴﹣＝﹣1，解得b＝2a．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．
把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c
解得，c＝﹣8a．
∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0）
对称轴h＝﹣1，最大值k＝＝﹣9a
如图所示，

顶点坐标为（﹣1，﹣9a）
令ax2+2ax﹣8a＝0
即x2+2x﹣8＝0
解得x＝﹣4或x＝2
∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（﹣4，0）与（2，0）
∴ax2+bx+c＝p
即常函数直线y＝p，由p＞0
∴0＜y≤﹣9a
由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1
∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有5个．
又∵x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于直线x＝﹣1轴对称
当x＝﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有3个．
故答案为3．
三、解答题（共7小题，共72分）
17．【解答】（1）证明：依题意，得△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；

（2）x2﹣mx+m﹣1＝0，
（x﹣1）（x﹣m+1）＝0，
∴x1＝1，x2＝m﹣1，
∵方程有一个根大于3，
∴m﹣1＞3，
∴m＞4．
∴m的取值范围是m＞4．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠FBH＝∠EDG，
∵AE＝CF，
∴BF＝DE，
∵EG∥FH，
∴∠OHF＝∠OGE，
∴∠BHF＝∠DGE，
在△BFH和△DEG中，
，
∴BFH≌△DEG（AAS）；
（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：
连接DF，设EF交BD于O．如图所示：
由（1）得：BFH≌△DEG，
∴FH＝EG，
又∵EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵DE＝BF，∠EOD＝∠BOF，∠EDO＝∠FBO，
∴△EDO≌△FBO，
∴OB＝OD，
∵BF＝DF，OB＝OD，
∴EF⊥BD，
∴EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形．

19．【解答】解：（1）根据题意画树状为：

所有个位数字是6的“两位递增数”是16，26，36，46，56这5个；
（2）共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被5整除的结果数为5，
所以个位数字与十位字之积能被5整除的概率＝．
20．【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥AD于H，如图，则AH＝HF，
易得四边形OCDH为矩形，
∴OH＝CD，OC＝DH，
∵＝，
∴设CD＝x，则AD＝2x，
设⊙O的半径为r，
∴AH＝2x﹣r，OA＝r，
在Rt△OAH中，x2+（2x﹣r）2＝r2，解得x＝r，
∴AH＝r，
在Rt△OAH中，cos∠HAO＝＝＝．

21．【解答】解：（1）∵DE：AE＝1：1，且DE＝8m，
∴AE＝8m，
过点C作CF⊥AE于F，则四边形CDEF是矩形，
∴FE＝CD＝4m，CF＝DE＝8m．
∵CF：BF＝1：1.5，
∴BF＝12m．
∴BA＝12m﹣4m＝8m．
∴
＝＝48（m2）
加固加宽这段长为2500m重点堤段需要沙石和土：48×2500＝120000（m3）．

（2）设该运输队原计划每天运送沙石和土xm3，则工效提高后每天运送沙石和土1.5xm3．
依题意得：
解得：x＝6000．
检验：经检验知，x＝6000是原方程的解
答：该运输队原计划每天运送沙石和土6000m3．

22．【解答】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y═k1x+b1，
由图象可得，
解得，
∴y＝2x+140，
当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y═k2x+b2，
由图象可得，
解得，
∴y＝﹣x+82，
综上所述：，
（2）设有员工a人，当x＝48时，y＝﹣2×48+140＝44，
∴（48﹣40）×44＝106+82a，
解得：a＝3，
答：该店有员工3人．
（3）设需要b天，则b[（x﹣40）y﹣82×2﹣106]≥68400，b≥
①当40≤x≤58时，b≥，
∴b≥，
∴b≥＝380；
②58＜x≤71时，b≥，
∴b≥＝400，
综上所述，最早要380天，此时售价为55元．
23．【解答】解：（1）由已知可知，抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C1：y＝ax2+bx+c，
∴抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，
故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵点P（，t）在抛物线C1上，
∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，
∴P（，﹣），
设Q（t，t2﹣2t﹣3），
过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，
∵BQ⊥BP，
∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，
∴∠BQN＝∠PBM，
∴△BNQ∽△QMP，
∴＝，
∴＝，
∴t＝﹣或t＝3，
∵Q点在第二象限，
∴t＝﹣，
∴Q（﹣，）；
（3）∵点M与N在y＝x2上，
∴M（m，m2），N（n，n2）
∵EM∥x轴，
∴E（﹣m，m2），
设MD的解析式为y＝kx+b，
∴m2＝km+b，
∴b＝m2﹣km，
∴y＝kx+m2﹣km，
∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，
∴kx+m2﹣km＝x2，
∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，
∴k＝2m，
∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，
∵NE＝DE，
∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），
∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，
整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，
∴n＝（1±2）m，
故答案为n＝（1±2）m．