2019-2020学年湖北省武汉市江夏一中九年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年湖北省武汉市江夏一中九年级（下）期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年湖北省武汉市江夏一中九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的选项涂黑.
1．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x≥0
3．（3分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）
A．任意画一个四边形，其内角和为180°
B．明天太阳从东方升起
C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D．过平面内任意三点画一个圆
4．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，一个由6个相同小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）“江城读书月”活动结束后，对八年级（三）班45人所阅读书籍数量情况的统计结果如下表所示：
阅读数量
1本
2本
3本
3本以上
人数（人）
10
18
13
4
根据统计结果，这里的数据2是这组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．中位数与众数
7．（3分）甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+m（m是常数），点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1＜1＜x2，x1+x2＞2，则下列大小比较正确的是（　　）
A．m＞y1＞y2 B．m＞y2＞y1 C．y1＞y2＞m D．y2＞y1＞m
9．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．
10．（3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）

A．2017 B．2016 C．191 D．190
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：的结果是　 　．
12．（3分）计算：＝　 　．
13．（3分）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，则摸出两个颜色不同小球的概率是　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，且BD＝AB，AD＝CD，则∠BAC的度数是　 　．

15．（3分）如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将该函数的图象平移得到的曲线是函数（k＞0，x＞0）的图象，点A、B的对应点是A′、B′．若图中阴影部分的面积为8，则k的值为　 　

16．（3分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD边BC、CD的中点，若∠MAN＝∠B，则的值为　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：3a2•2a4﹣（3a3）2+4a6．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，G在BC的延长线上．若∠A+∠DCG＝180°，AB∥CD，EF∥AD，求证：EF∥BC．

19．（8分）选好志愿者，支持军运会．武汉市某校团委组织了一次八年级600名学生参加的“武汉军运知多少”知识大赛．为了了解本次大赛的成绩，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成如下不完整的统计图．
（说明：A级80分﹣100分，B级70分﹣79分，C级60﹣69分，D级0分﹣59分）

根据所给信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，C级对应的扇形的圆心角是　 　度；
（2）直接写出条形统计图B级的频数　 　；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　 　等级；
（4）若成绩达到A级的学生可以选为志愿者，请估计该校八年级600名学生中可以选为志愿者学生有多少人？
20．（8分）要求在下列问题中仅用无刻度的直尺作图．
如图，在下列10×12的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如正方形ABCD的顶点A（0，7），C（5，2）都是格点．
①找一个格点M，连接AM交边CD于F，使DF＝FC，画出图形写出点M的坐标为　 　；
②找一个格点N，连接ON交边BC于E，使BE＝BC，画出图形写出点N的坐标为　 　；
③连接AE、EF得△AEF．请按步骤完成作图，并写出△AEF的面积．

21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，n）（m＞0）在双曲线y＝上．
（1）如图1，m＝1，∠AOB＝45°，点B正好在y＝（x＞0）上，求B点坐标；
（2）如图2，线段OA绕O点旋转至OC，且C点正好落在y＝上，C（a，b），试求m与a的数量关系．
23．（10分）如图1，在等边△ABC中，D，E分别是射线BC、AB上的点，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ADE∽△ABD；
（2）点D在BC延长线上，延长AC交DE于M，
①如图2，若＝，求；
②如图3，点N在DE上，AD＝DN，且AN交BD于点H，若＝，直接写出的值．
24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4m+4经过定点A．
（1）求A点坐标；
（2）直线y＝t（t＜6）与抛物线交于B，C两点（B在C的左边），过点A作AD⊥BC于点D，是否存在t的值，使得对于任意的m，∠DAC＝∠ABD恒成立，若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图，当m＝1时，直线y＝2x交对称轴于点E，在直线OE的右侧作∠EOP交抛物线于点P，使得tan∠EOP＝，已知x轴上有一个点M（t，0），EM+PM是否存在最小值？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．


2019-2020学年湖北省武汉市江夏一中九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的选项涂黑.
1．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
2．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x≥0
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0时，二次根式有意义．即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣5≥0，即x≥5．故选：B．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（3分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）
A．任意画一个四边形，其内角和为180°
B．明天太阳从东方升起
C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D．过平面内任意三点画一个圆
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A．任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件；
B．明天太阳从东方升起是必然事件；
C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件；
D．过平面内任意三点画一个圆是随机事件；
故选：D．
【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
5．（3分）如图，一个由6个相同小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，2，1，据此可得出图形，从而求解．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图是．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
6．（3分）“江城读书月”活动结束后，对八年级（三）班45人所阅读书籍数量情况的统计结果如下表所示：
阅读数量
1本
2本
3本
3本以上
人数（人）
10
18
13
4
根据统计结果，这里的数据2是这组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．中位数与众数
【分析】根据平均数、中位数、众数的定义求出结果即可求解．
【解答】解：3本以上的本数不确定，无法得到平均数；
按照从小到大排列，数据2处在第23位为中位数；
数据2出现了18次最多为众数．
故这里的数据2是这组数据的中位数与众数．
故选：D．
【点评】本题考查众数、平均数、中位数等知识、解题的关键是熟练掌握这些基本概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，属于中考常考题型．
7．（3分）甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8．（3分）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+m（m是常数），点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1＜1＜x2，x1+x2＞2，则下列大小比较正确的是（　　）
A．m＞y1＞y2 B．m＞y2＞y1 C．y1＞y2＞m D．y2＞y1＞m
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x﹣1）2+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线x＝1，设A（x1，y1）的对称点为A′（x0，y1），从而求得x1+x0＝2，由x1＜1＜x2，x1+x2＞2，得出1＜x0＜x2，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以1＜x0＜x2时，m＞y1＞y2．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+m，
∴a＝﹣1＜0，有最大值为m，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+m对称轴为直线x＝1，
设A（x1，y1）的对称点为A′（x0，y1），
∴＝1，
∴x1+x0＝2，
∵x1+x2＞2，
∵x1＜1＜x2，
∴1＜x0＜x2，
∴m＞y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x＝﹣，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
9．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A＝30°，AD＝2，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB＝OD可得
OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
【解答】解：连接OD
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A＝30°，AD＝2，
∴OD＝OB＝2，AO＝4，
∴∠ODB＝∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD
∴∠ODB＝∠CBD
∴OD∥CB，
∴
即
∴CD＝．
故选：B．

【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C＝90°，利用∠A＝30°，AB＝6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
10．（3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）

A．2017 B．2016 C．191 D．190
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数．
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；
（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，
故选：D．
【点评】此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：的结果是　5　．
【分析】利用算术平方根定义判断即可．
【解答】解：＝5，
故答案为：5
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．
12．（3分）计算：＝　　．
【分析】根据分式的运算法则，先将分式通分再化简．
【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．
13．（3分）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，则摸出两个颜色不同小球的概率是　　．
【分析】根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与两次取出的小球颜色不同的情况，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球颜色不同的有12种结果，
∴两次取出的小球颜色不同的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，且BD＝AB，AD＝CD，则∠BAC的度数是　108°　．

【分析】由AD＝CD得∠DAC＝∠DCA，由AB＝AC＝BD得∠BDA＝∠BAD＝2∠C，∠DAC＝∠C，从而可推出∠BAC＝3∠C，根据三角形的内角和定理即可求得∠C的度数，从而不难求得各个内角的度数．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴设∠DAC＝∠DCA＝x°，
∵AB＝AC＝BD，
∴∠BDA＝∠BDA＝∠DAC+∠C＝2x°，∠B＝∠C＝x°，
∴∠BAC＝3∠C＝3x°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴5x＝180，
∴∠C＝36°，
∴∠BAC＝3∠C＝108°，
故答案为：108°．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．
15．（3分）如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将该函数的图象平移得到的曲线是函数（k＞0，x＞0）的图象，点A、B的对应点是A′、B′．若图中阴影部分的面积为8，则k的值为　5　

【分析】图象向上平移了2个单位，即BB′＝2，由图象平移知，阴影部分的面积等于平行四边形ABB′A的面积，点A、B两点间的距离为h，则h×BB′＝8，求出h＝4，进而求解；
【解答】解：平移后曲线是函数＝+2，即图象向上平移了2个单位，即BB′＝2，

由图象平移知，阴影部分的面积等于平行四边形ABB′A的面积，
点A、B两点间的距离为h，则h×BB′＝8，解得：h＝4，
∵直线y＝﹣x+6与x轴负半轴的夹角为45°，则A、B之间的垂直距离也为4，
设点A（m，6﹣m），则点B（m+4，2﹣m），
将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝m（6﹣m）＝（m+4）（2﹣m），
解得：m＝1，k＝5，
故答案为5．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是确定阴影部分的面积等于平行四边形ABB′A的面积，本题有一定的综合性，难度适中．
16．（3分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD边BC、CD的中点，若∠MAN＝∠B，则的值为　　．

【分析】延长AM与DC的延长线交于点E，先证明△ABM≌△ECM，得AM与AE的关系，AB与EN和ED的关系，再证明△EAN∽△EDA，由相似三角形比例线段便可得结论．
【解答】解：延长AM与DC的延长线交于点E，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，
∵∠B＝∠MAN，
∴∠ECM＝∠B＝∠MAN＝∠D，
∵M是BC的中点，N是CD的中点，
∴BM＝CM，CN＝DN＝CD，
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（ASA），
∴AB＝CE，AM＝EM，
∴AE＝2AM，EN＝AB，ED＝2AB，
∵∠EAN＝∠D，∠E＝∠E，
∴△EAN∽△EDA，
∴＝，即EA2＝ED•EN，
∴（2AM）2＝2AB•AB，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形与相似三角形，已知中点，往往倍长中线作为辅助线．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：3a2•2a4﹣（3a3）2+4a6．
【分析】先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝6a6﹣9a6+4a6
＝a6．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项等知识点，能正确运用知识点进行化简是解此题的关键．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，G在BC的延长线上．若∠A+∠DCG＝180°，AB∥CD，EF∥AD，求证：EF∥BC．

【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DCG，由∠A+∠DCG＝180°得出∠A+∠B＝180°，根据平行线的判定得出AD∥BC，由EF∥AD，再推出EF∥BC即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCG，
∵∠A+∠DCG＝180°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
19．（8分）选好志愿者，支持军运会．武汉市某校团委组织了一次八年级600名学生参加的“武汉军运知多少”知识大赛．为了了解本次大赛的成绩，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成如下不完整的统计图．
（说明：A级80分﹣100分，B级70分﹣79分，C级60﹣69分，D级0分﹣59分）

根据所给信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，C级对应的扇形的圆心角是　117　度；
（2）直接写出条形统计图B级的频数　18　；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　B　等级；
（4）若成绩达到A级的学生可以选为志愿者，请估计该校八年级600名学生中可以选为志愿者学生有多少人？
【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，从而可以计算出在扇形统计图中，C级对应的扇形的圆心角的度数；
（2）根据条形统计图给出的数据可直接得出答案；
（3）根据统计图中的数据，可以得到中位数落在哪一个等级；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校八年级600名学生中可以选为志愿者学生有多少人．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：18÷45%＝40（人），
在扇形统计图中，C级对应的扇形的圆心角是：360°×＝117°，
故答案为：117；

（2）根据条形统计图可得，B级的频数是18；
故答案为：18；

（3）∵本次抽取了40名同学，
∴所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，
故答案为：B；

（4）根据题意得：600×＝60（人），
答：估计该校八年级600名学生中可以选为志愿者学生约有60人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）要求在下列问题中仅用无刻度的直尺作图．
如图，在下列10×12的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如正方形ABCD的顶点A（0，7），C（5，2）都是格点．
①找一个格点M，连接AM交边CD于F，使DF＝FC，画出图形写出点M的坐标为　（10，2）　；
②找一个格点N，连接ON交边BC于E，使BE＝BC，画出图形写出点N的坐标为　（5，6）　；
③连接AE、EF得△AEF．请按步骤完成作图，并写出△AEF的面积．

【分析】①根据A（0，7），C（5，2）可得正方形的边长为5，再根据DF＝FC，即可画出图形并写出点M的坐标；
②根据BE＝BC，即可画出图形并写出点N的坐标；
③结合①和②的结论，根据割补法即可求出△AEF的面积．
【解答】解：①如图，点M的坐标为（10，2）；

②如图，点N的坐标为（5，6）；
③△AEF的面积＝5×5﹣5×5﹣××5﹣×5＝．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、坐标与图形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是综合运用以上知识．
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．

【分析】（1）连接OA，求BE＝3，设OA＝x，则OB＝x，OE＝x﹣3，得出（x﹣3）2+42＝x2，易求出半径；
（2）连接CD，先证OA⊥BC，再得OA∥CD，设OA与BC交于点H，OH＝a，则CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH＝a，求出AB＝2a，则可得出sin∠ACB＝．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，

∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，AB＝5，
∴BE＝＝＝3，
设OA＝x，则OB＝x，
∴OE＝x﹣3，
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
解得x＝，
∴⊙O的半径为；
（2）如图2，连接CD，设OA与BC交于点H，

∵AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BHO＝90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHO＝∠BCD，
∴OA∥CD，
设OH＝a，则CD＝2a，
∵BD＝2DF，BD＝2OD，
∴DF＝OD，
∴OA＝2CD＝4a，
∴AH＝3a，
∴BH＝＝＝a，
∴AB＝＝2a，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝＝＝．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，n）（m＞0）在双曲线y＝上．
（1）如图1，m＝1，∠AOB＝45°，点B正好在y＝（x＞0）上，求B点坐标；
（2）如图2，线段OA绕O点旋转至OC，且C点正好落在y＝上，C（a，b），试求m与a的数量关系．
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥OA，交OB于D，作DF⊥AE于点F，由△AOE≌△DAF，可得AE＝DF＝1，OE＝AF＝4，可得点D坐标，可求直线OD解析式，联立方程组可求点B坐标；
（2）由旋转的性质可得OA＝OC，由两点距离公式可得m2+＝a2+，即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥OA，交OB于D，作DF⊥AE于点F，

∵点A（m，n）（m＞0）在双曲线y＝上，
∴mn＝4，
∵m＝1，
∴n＝4，
∴A（1，4），
∴AE＝1，OE＝4，
∵AO⊥AD，∠AOD＝45°，
∴∠AOD＝∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∵∠AOE+∠EAO＝90°，∠EAO+∠DAF＝90°，
∴∠AOE＝∠DAF，
又∵∠AEO＝∠F＝90°，AO＝AD，
∴△AOE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF＝1，OE＝AF＝4，
∴EF＝5，
∴点D（5，3），
∴直线OD解析式为：y＝x，
联立方程组可得
∴x＝，
∴点B（，）；
（2）∵点A（m，n），点C（a，b）在反比例函数图象上，
∴A（m，），B（a，），
∵线段OA绕O点旋转至OC，
∴OA＝OC，
∵OA2＝OC2，
∴m2+＝a2+，
∴（m2﹣a2）（1﹣）＝0，
∵m≠a，
∴m+a＝0或ma＝4或ma＝﹣4．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，求出点D坐标是本题的关键．
23．（10分）如图1，在等边△ABC中，D，E分别是射线BC、AB上的点，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ADE∽△ABD；
（2）点D在BC延长线上，延长AC交DE于M，
①如图2，若＝，求；
②如图3，点N在DE上，AD＝DN，且AN交BD于点H，若＝，直接写出的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，求得∠ABC＝∠ADE，得到∠E＝∠ADB，根据相似三角形的性质得到＝，设AD＝4a，AB＝3a，于是得到结论；
②根据相似三角形的性质得到＝，设AD＝3a，AB＝2a，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵∠ADE＝60°，
∴∠B＝∠ADE，
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABD．
（2）解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝60°，∠ABD＝∠BDE+∠E＝60°，
∴∠E＝∠ADB，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
设AD＝4a，AB＝3a，
∴AE＝a，
∴＝，
∴＝；
②∵AD＝AN，∠ADM＝60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴∠DAN＝60°，
∴∠BAH＝∠DAC，
∵∠ABH＝∠ADM＝60°，
∴△ABH∽△ADM，
∴＝，
由①知△ABD∽△ADE，
∴＝，
设AD＝3a，AB＝2a，
∴AE＝a，
∴＝，
∴＝．
【点评】本题考查了相似形的综合题，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4m+4经过定点A．
（1）求A点坐标；
（2）直线y＝t（t＜6）与抛物线交于B，C两点（B在C的左边），过点A作AD⊥BC于点D，是否存在t的值，使得对于任意的m，∠DAC＝∠ABD恒成立，若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图，当m＝1时，直线y＝2x交对称轴于点E，在直线OE的右侧作∠EOP交抛物线于点P，使得tan∠EOP＝，已知x轴上有一个点M（t，0），EM+PM是否存在最小值？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由y＝x2﹣2mx﹣4m+4＝x2﹣2m（x+2）+4，即可得到抛物线y＝x2﹣2mx﹣4m+4经过定点（﹣2，6）；
（2）先求得xB+xC＝4m，xB•xC＝8﹣8m﹣2t，然后通过证得△ADB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到36﹣12t+t2＝8﹣8m﹣2t+8m+4，整理后得到t2﹣10t+24＝0，解方程即可；
（3）先求得对称轴，即可求得E的坐标，过E点作EF⊥OE，EH⊥y轴，交OP于F，交y轴于H，作FG⊥EH于G，通过证得△EOH∽△FEG，得到＝，即可求得F的坐标，利用待定系数法求得直线OP的解析式，解析式联立，解方程组求得P的坐标，作E关于x轴的对称点E′，连接PE′，与x轴的交点，即为M点，利用待定系数法求得直线PE′的解析式，进而即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx﹣4m+4＝x2﹣2m（x+2）+4，
∴当x＝﹣2时，y＝6，
∴抛物线y＝x2﹣2mx﹣4m+4经过定点（﹣2，6），
∴A（﹣2，6）；
（2）∵y＝t（t＜6），
∴x2﹣2mx﹣4m+4＝t，
∴x2﹣4mx﹣8m+8﹣2t＝0，
∴xB+xC＝4m，xB•xC＝8﹣8m﹣2t，
∵∠DAC＝∠ABD，∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△CBA，
∴，
∴AD2＝BD•CD，
∴（6﹣t）2＝（xB+2）（xC+2），
∴36﹣12t+t2＝xB•xC+2（xB+xC）+4，
∴36﹣12t+t2＝8﹣8m﹣2t+8m+4，
整理得t2﹣10t+24＝0，
解得t＝4或t＝6（舍去），
∴t＝4；
（3）存在，理由如下，
当m＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝2，
∵直线y＝2x交对称轴于点E，
∴E（2，4），
过E点作EF⊥OE，EH⊥y轴，交OP于F，交y轴于H，作FG⊥EH于G，
∴OH＝4，EH＝2，
∵tan∠EOP＝，
∴＝，
∵∠OEF＝90°，
∴∠HEO+∠GEF＝90°＝∠GEF+∠GFE，
∴∠HEO＝∠GFE，
∵∠EHO＝∠FGE＝90°，
∴△EOH∽△FEG，
∴＝，
∴EG＝2，FG＝1，
∴F（4，3），
∴直线OP的解析式为y＝x，
解得或，
∴P（，），
∵E（2，4），
∴E点关于x轴的对称点E′（2，﹣4），连接PE′，交x轴于M，此时ME+MP＝PE′，EM+PM的值最小，
设直线PE′的解析式为y＝kx+b，
∴，解得k＝，b＝﹣，
∴直线PE′的解析式为y＝x﹣，
令y＝0，则x+＝0，
解得x＝，
∴M（，0），
∴t＝．


【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、轴对称﹣最短路线问题等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
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