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2019-2020学年湖北省荆州市九年级（上）期中数学试卷 解析版
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2019-2020学年湖北省荆州市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+3）＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．（3分）将一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81
3．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB＝50°，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
6．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
7．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，10）
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
9．（3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
10．（3分）已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，记△＝b2﹣4ac，M＝（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（ ）
A．△＞M B．△＝M
C．△＜M D．无法确定△与M的大小
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于 ．
12．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为 ．
13．（3分）如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于 ．
14．（3分）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为 （万件）．
15．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 ．
16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣1）＝3﹣3x；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（配方法）．
18．（8分）如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C＝60°．
求证：△ABD为等边三角形．
19．（8分）如图，在正方形网格中，每一小正方形的边长为1，格点ABC（三个顶点在相应的正方形的顶点处）在如图所示的位置：
（1）△ABC的面积为： ；
（2）在网格中画出线段AB绕格点P顺时针旋转90°之后的对应线段A1B1；
（3）在（2）的基础上，直接写出＝ ．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
21．（8分）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AC＝8，AB＝10，求AD．
24．（12分）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；
（3）当t在何范围时，点（4，）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．
2019-2020学年湖北省荆州市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+3）＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是x2﹣2x﹣3＝0，
故选：A．
2．（3分）将一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【解答】解：一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式为4x2+5x﹣81＝0，
二次项系数，一次项系数，常数项4，5，﹣81，
故选：B．
3．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选：C．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
5．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB＝50°，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝100°．
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（﹣3，2），
∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故选：D．
7．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，10）
【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可．
【解答】解：因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB＝BC＝5，BD＝5﹣3＝2；
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故选：C．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2+5x+4．
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣＝﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y＝x2+5x+4＝﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；
D、﹣＝﹣，抛物线的对称轴是直线x＝﹣，D正确．
故选：D．
9．（3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
【分析】先根据平行四边形的性质得出AB＝BC，故可得出△OAB是等边三角形，所以∠AOB＝60°，再由OF⊥OA可知∠AOF＝90°，OF⊥BC，故可得出∠BOF的度数，进而得出∠COF的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝BC，OA∥BC．
∵OA＝OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
∵OF⊥OA，
∴∠AOF＝90°，OF⊥BC，
∴∠BOF＝∠COF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CBF＝∠COF＝15°．
故选：B．
10．（3分）已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，记△＝b2﹣4ac，M＝（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（ ）
A．△＞M B．△＝M
C．△＜M D．无法确定△与M的大小
【分析】根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和△的关系，本题得以解决．
【解答】解：∵x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax12+bx1+c＝0，
∴ax12+bx1＝﹣c，
∴M＝（2ax1+b）2＝＝4a（ax12+bx1）+b2＝4a•（﹣c）+b2＝b2﹣4ac＝△，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于 110 ．
【分析】由根与系数的关系找出x1+x2＝﹣100、x1•x2＝10，将代数式x1x2﹣x1﹣x2变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣100，x1•x2＝10，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝10﹣（﹣100）＝110．
故答案为：110．
12．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为 4 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，将该函数的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4，
所以该抛物线顶点坐标是（1，4），
所以所得图象对应函数的最大值为4．
故答案是：4．
13．（3分）如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于 115° ．
【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1＝∠C+∠B＝115°，即可得出结论．
【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠BAB1＝∠C+∠B＝115°，
即旋转角等于115°．
故答案为：115°．
14．（3分）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为 y＝（1+x）2 （万件）．
【分析】根据产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，即可得出2011年的产量y与x间的关系式为y＝（1+x）2．
【解答】解：∵某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，2009年产量为1万件，
∴2010年产量为：1×（1+x）；
2011年的产量y与x间的关系式为：y＝1×（1+x）×（1+x）＝（1+x）2；
即：y＝（1+x）2．
故答案为：y＝（1+x）2．
15．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 60°或120° ．
【分析】连接OB，则AB＝OA＝OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°，据此可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA＝OB＝BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°．
故答案为：60°或120°．
16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 y＝x2﹣x+ ．
【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y＝x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵令x＝0，则y＝，
∴点A（0，），B（﹣b，），
∴抛物线的对称轴为x＝﹣，直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵抛物线的顶点C在直线OB上，
∴y＝
∴顶点C的纵坐标为×＝，
即＝，
解得b1＝3，b2＝﹣3，
由图可知，﹣＞0，
∴b＜0，
∴b＝﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∴点D的坐标为（，0），
设平移后的抛物线的解析式为y＝x2+mx+n，
则，
解得，
所以，y＝x2﹣x+．
故答案为：y＝x2﹣x+．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣1）＝3﹣3x；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（配方法）．
【分析】（1）将原方程移项、合并同类项即可得出（x﹣1）（x+3）﹣0，解之即可得出结论；
（2）利用完全平方公式将原方程边形为2（x﹣1）2﹣3＝0，开方后即可得出结论．
【解答】解：（1）x（x﹣1）＝3﹣3x＝3（1﹣x），
移项、合并同类项，得：（x﹣1）（x+3）﹣0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）2x2﹣4x﹣1＝2（x2﹣2x）﹣1＝2（x﹣1）2﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝，
解得：x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（8分）如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C＝60°．
求证：△ABD为等边三角形．
【分析】根据垂径定理求出AE＝DE，根据线段垂直平分线性质得出BA＝BD，根据圆周角定理求出∠D＝60°，根据等边三角形判定推出即可．
【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴AE＝DE，
∴BD＝BA，
∵∠D＝∠C＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
19．（8分）如图，在正方形网格中，每一小正方形的边长为1，格点ABC（三个顶点在相应的正方形的顶点处）在如图所示的位置：
（1）△ABC的面积为： 3 ；
（2）在网格中画出线段AB绕格点P顺时针旋转90°之后的对应线段A1B1；
（3）在（2）的基础上，直接写出＝ ．
【分析】（1）根据△ABC的位置，运用三角形面积公式求得其面积；
（2）先作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；
（3）先根据勾股定理，求得AA1和BB1的长，再计算其比值即可．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝×3×2＝3；
故答案为：3；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图所示，连接AA1，BB1
∵AA1＝＝，BB1＝＝＝2，
∴＝＝，
故答案为：．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝4k2﹣12k+9，配方得到△＝（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当b＝c时，则△＝（2k﹣3）2＝0，解得k＝，然后解方程得到b＝c＝2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程可解得k＝，则方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，所以a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，然后计算△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，△＝（2k﹣3）2＝0，解得k＝，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，而2+2＝4，故舍去；
当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得k＝，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，即a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，
所以△ABC的周长＝4+4+2＝10．
21．（8分）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；
（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a＝；
故答案为：
（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•＝2430，
解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）．
答：中间通道的宽度为2米．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；
（2）利用点A、B、C的坐标来求线段AB、AC、BC的长度，得到AC2+BC2＝AB2，则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．利用待定系数法求得直线C′D的解析式，然后把y＝0代入直线方程，求得．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，
∴，
解得 ，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点D的坐标为；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），则OC＝2．
当y＝0时，，
∴x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．
设直线C′D的解析式为y＝ax+b（a≠0），则
，
解得，
∴．
当y＝0时，，则，
∴．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AC＝8，AB＝10，求AD．
【分析】（1）由AD平分∠CAB交⊙O于点D，得到∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠D，等量代换得到∠CAD＝∠D，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，BD，根据圆周角定理得到∠C＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
∴AC∥OD；
（2）解：连接BC，BD，BC与OD交于E，
∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，
∴＝，
∴CE＝BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴BC＝＝6，
∴CE＝BE＝3，
∴OE＝＝4，
∴DE＝1，
∴BD＝＝，
∴AD＝＝3．
24．（12分）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；
（3）当t在何范围时，点（4，）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）简单求两直线的交点，得点C的坐标；
（2）求得S与t之间的函数关系式；配方，即可求得二次函数的最大值，即可得出S的最大值；
（3）求出定点在正方形PQMN内部时，t的范围，即可得出点（4，）被正方形PQMN覆盖时t的取值范围．要用到分类讨论．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得：，
∴C（3，）；
（2）∵直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴y＝0时，0＝﹣x+6，解得；x＝8，
∴A点坐标为；（8，0），
根据题意，得AE＝t，OE＝8﹣t．
∴点Q的纵坐标为（8﹣t），点P的纵坐标为﹣（8﹣t）+6＝t，
∴PQ＝（8﹣t）﹣t＝10﹣2t．
当MN在AD上时，10﹣2t＝t，
∴t＝．
当0＜t≤时，S＝t（10﹣2t），即S＝﹣2t2+10t＝﹣2（t﹣）2+，S有最大值为．
当＜t＜5时，S＝（10﹣2t）2，即S＝4t2﹣40t+100＝4（t﹣5）2，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t＝时，S最大值＝，
∵＞，
∴S的最大值为；
（3）当t＝5时，PQ＝0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE＝4时是临界条件，即8﹣t＝4
即t＝4
∴点Q的纵坐标为5＞，
点（4，）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（4，）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为时，OE＝，
∴8﹣t＝，解得：t＝，
此时OE+PN＝+PQ＝+（10﹣2t）＝＞4满足条件，
∴4＜t＜，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t﹣8，0），PQ＝2t﹣10要满足点（4，）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4⇒4＝PQ+OE＝|2t﹣10|+|t﹣8|＝3t﹣18，
即t＝，此时P点的纵坐标为：﹣×＝＞．满足条件，
∴t＞6．
综上所述：4≤t≤或t≥6时，点（4，）被正方形PQMN覆盖．
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+3）＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．（3分）将一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81
3．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB＝50°，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
6．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
7．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，10）
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
9．（3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
10．（3分）已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，记△＝b2﹣4ac，M＝（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（ ）
A．△＞M B．△＝M
C．△＜M D．无法确定△与M的大小
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于 ．
12．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为 ．
13．（3分）如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于 ．
14．（3分）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为 （万件）．
15．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 ．
16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣1）＝3﹣3x；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（配方法）．
18．（8分）如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C＝60°．
求证：△ABD为等边三角形．
19．（8分）如图，在正方形网格中，每一小正方形的边长为1，格点ABC（三个顶点在相应的正方形的顶点处）在如图所示的位置：
（1）△ABC的面积为： ；
（2）在网格中画出线段AB绕格点P顺时针旋转90°之后的对应线段A1B1；
（3）在（2）的基础上，直接写出＝ ．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
21．（8分）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AC＝8，AB＝10，求AD．
24．（12分）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；
（3）当t在何范围时，点（4，）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．
2019-2020学年湖北省荆州市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+3）＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是x2﹣2x﹣3＝0，
故选：A．
2．（3分）将一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【解答】解：一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式为4x2+5x﹣81＝0，
二次项系数，一次项系数，常数项4，5，﹣81，
故选：B．
3．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选：C．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
5．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB＝50°，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝100°．
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（﹣3，2），
∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故选：D．
7．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，10）
【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可．
【解答】解：因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB＝BC＝5，BD＝5﹣3＝2；
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故选：C．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2+5x+4．
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣＝﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y＝x2+5x+4＝﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；
D、﹣＝﹣，抛物线的对称轴是直线x＝﹣，D正确．
故选：D．
9．（3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
【分析】先根据平行四边形的性质得出AB＝BC，故可得出△OAB是等边三角形，所以∠AOB＝60°，再由OF⊥OA可知∠AOF＝90°，OF⊥BC，故可得出∠BOF的度数，进而得出∠COF的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝BC，OA∥BC．
∵OA＝OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
∵OF⊥OA，
∴∠AOF＝90°，OF⊥BC，
∴∠BOF＝∠COF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CBF＝∠COF＝15°．
故选：B．
10．（3分）已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，记△＝b2﹣4ac，M＝（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（ ）
A．△＞M B．△＝M
C．△＜M D．无法确定△与M的大小
【分析】根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和△的关系，本题得以解决．
【解答】解：∵x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax12+bx1+c＝0，
∴ax12+bx1＝﹣c，
∴M＝（2ax1+b）2＝＝4a（ax12+bx1）+b2＝4a•（﹣c）+b2＝b2﹣4ac＝△，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于 110 ．
【分析】由根与系数的关系找出x1+x2＝﹣100、x1•x2＝10，将代数式x1x2﹣x1﹣x2变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣100，x1•x2＝10，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝10﹣（﹣100）＝110．
故答案为：110．
12．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为 4 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，将该函数的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4，
所以该抛物线顶点坐标是（1，4），
所以所得图象对应函数的最大值为4．
故答案是：4．
13．（3分）如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于 115° ．
【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1＝∠C+∠B＝115°，即可得出结论．
【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠BAB1＝∠C+∠B＝115°，
即旋转角等于115°．
故答案为：115°．
14．（3分）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为 y＝（1+x）2 （万件）．
【分析】根据产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，即可得出2011年的产量y与x间的关系式为y＝（1+x）2．
【解答】解：∵某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，2009年产量为1万件，
∴2010年产量为：1×（1+x）；
2011年的产量y与x间的关系式为：y＝1×（1+x）×（1+x）＝（1+x）2；
即：y＝（1+x）2．
故答案为：y＝（1+x）2．
15．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 60°或120° ．
【分析】连接OB，则AB＝OA＝OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°，据此可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA＝OB＝BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°．
故答案为：60°或120°．
16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 y＝x2﹣x+ ．
【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y＝x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵令x＝0，则y＝，
∴点A（0，），B（﹣b，），
∴抛物线的对称轴为x＝﹣，直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵抛物线的顶点C在直线OB上，
∴y＝
∴顶点C的纵坐标为×＝，
即＝，
解得b1＝3，b2＝﹣3，
由图可知，﹣＞0，
∴b＜0，
∴b＝﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∴点D的坐标为（，0），
设平移后的抛物线的解析式为y＝x2+mx+n，
则，
解得，
所以，y＝x2﹣x+．
故答案为：y＝x2﹣x+．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣1）＝3﹣3x；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（配方法）．
【分析】（1）将原方程移项、合并同类项即可得出（x﹣1）（x+3）﹣0，解之即可得出结论；
（2）利用完全平方公式将原方程边形为2（x﹣1）2﹣3＝0，开方后即可得出结论．
【解答】解：（1）x（x﹣1）＝3﹣3x＝3（1﹣x），
移项、合并同类项，得：（x﹣1）（x+3）﹣0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）2x2﹣4x﹣1＝2（x2﹣2x）﹣1＝2（x﹣1）2﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝，
解得：x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（8分）如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C＝60°．
求证：△ABD为等边三角形．
【分析】根据垂径定理求出AE＝DE，根据线段垂直平分线性质得出BA＝BD，根据圆周角定理求出∠D＝60°，根据等边三角形判定推出即可．
【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴AE＝DE，
∴BD＝BA，
∵∠D＝∠C＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
19．（8分）如图，在正方形网格中，每一小正方形的边长为1，格点ABC（三个顶点在相应的正方形的顶点处）在如图所示的位置：
（1）△ABC的面积为： 3 ；
（2）在网格中画出线段AB绕格点P顺时针旋转90°之后的对应线段A1B1；
（3）在（2）的基础上，直接写出＝ ．
【分析】（1）根据△ABC的位置，运用三角形面积公式求得其面积；
（2）先作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；
（3）先根据勾股定理，求得AA1和BB1的长，再计算其比值即可．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝×3×2＝3；
故答案为：3；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图所示，连接AA1，BB1
∵AA1＝＝，BB1＝＝＝2，
∴＝＝，
故答案为：．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝4k2﹣12k+9，配方得到△＝（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当b＝c时，则△＝（2k﹣3）2＝0，解得k＝，然后解方程得到b＝c＝2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程可解得k＝，则方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，所以a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，然后计算△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，△＝（2k﹣3）2＝0，解得k＝，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，而2+2＝4，故舍去；
当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得k＝，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，即a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，
所以△ABC的周长＝4+4+2＝10．
21．（8分）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；
（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a＝；
故答案为：
（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•＝2430，
解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）．
答：中间通道的宽度为2米．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；
（2）利用点A、B、C的坐标来求线段AB、AC、BC的长度，得到AC2+BC2＝AB2，则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．利用待定系数法求得直线C′D的解析式，然后把y＝0代入直线方程，求得．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，
∴，
解得 ，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点D的坐标为；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），则OC＝2．
当y＝0时，，
∴x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．
设直线C′D的解析式为y＝ax+b（a≠0），则
，
解得，
∴．
当y＝0时，，则，
∴．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AC＝8，AB＝10，求AD．
【分析】（1）由AD平分∠CAB交⊙O于点D，得到∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠D，等量代换得到∠CAD＝∠D，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，BD，根据圆周角定理得到∠C＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
∴AC∥OD；
（2）解：连接BC，BD，BC与OD交于E，
∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，
∴＝，
∴CE＝BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴BC＝＝6，
∴CE＝BE＝3，
∴OE＝＝4，
∴DE＝1，
∴BD＝＝，
∴AD＝＝3．
24．（12分）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；
（3）当t在何范围时，点（4，）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）简单求两直线的交点，得点C的坐标；
（2）求得S与t之间的函数关系式；配方，即可求得二次函数的最大值，即可得出S的最大值；
（3）求出定点在正方形PQMN内部时，t的范围，即可得出点（4，）被正方形PQMN覆盖时t的取值范围．要用到分类讨论．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得：，
∴C（3，）；
（2）∵直线y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴y＝0时，0＝﹣x+6，解得；x＝8，
∴A点坐标为；（8，0），
根据题意，得AE＝t，OE＝8﹣t．
∴点Q的纵坐标为（8﹣t），点P的纵坐标为﹣（8﹣t）+6＝t，
∴PQ＝（8﹣t）﹣t＝10﹣2t．
当MN在AD上时，10﹣2t＝t，
∴t＝．
当0＜t≤时，S＝t（10﹣2t），即S＝﹣2t2+10t＝﹣2（t﹣）2+，S有最大值为．
当＜t＜5时，S＝（10﹣2t）2，即S＝4t2﹣40t+100＝4（t﹣5）2，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t＝时，S最大值＝，
∵＞，
∴S的最大值为；
（3）当t＝5时，PQ＝0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE＝4时是临界条件，即8﹣t＝4
即t＝4
∴点Q的纵坐标为5＞，
点（4，）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（4，）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为时，OE＝，
∴8﹣t＝，解得：t＝，
此时OE+PN＝+PQ＝+（10﹣2t）＝＞4满足条件，
∴4＜t＜，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t﹣8，0），PQ＝2t﹣10要满足点（4，）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4⇒4＝PQ+OE＝|2t﹣10|+|t﹣8|＝3t﹣18，
即t＝，此时P点的纵坐标为：﹣×＝＞．满足条件，
∴t＞6．
综上所述：4≤t≤或t≥6时，点（4，）被正方形PQMN覆盖．
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