江阴市澄江片2020-2021学年第二学期初三数学期中试卷（含答案）

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（满分130分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．－3的相反数是（ ▲ ）
A．3 B． eq \f(1,3) C．－ eq \f(1,3) D．－0.3
2．下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ▲ ）
A．B．C．D．
3．已知 eq \F(a,2)＝ eq \F(b,5)，则 eq \F(a,b)的值为（ ▲ ）
A． eq \F(2,5) B． eq \F(5,2) C． eq \F(3,5) D． eq \F(5,3)
4．下图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y=(x-2) 2﹣5的顶点坐标是（ ▲ ）
A. (-2,-5) B.(2,-5) C. (-2,5) D. (2,5)
6．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ▲ ）
A．两组对边分别平行B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直D．对角线相等
7．下面a、b的取值，能够说明命题“若a＜b，则 eq \b\bc\|(\a(a))＜ eq \b\bc\|(\a(b))”是假命题的是（ ▲ ）
A．a＝2，b＝3B．a＝－2，b＝3 C．a＝－5，b＝－3 D．a＝－3，b＝5
8．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，则BD ׃DC等于（ ▲ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ▲ ）
A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2
10．从数字“3、4、5、6、7、8、9”这七个数中选了21个数字（数字可重复，但每个数字至少选一次）．结果发现这21个数字的平均数、中位数及唯一的众数都是“7”，则数字“8”最多出现的次数是（ ▲ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
第9题图
A
B
C
D
第8题图
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）
11．“学中共党史，庆建党百年” ．截至4月12日，某市共有243156名党员群众参与学习，答题次数达842800次，掀起了党史学习竞赛的热潮．用科学记数法表示842800是 ▲ ．
12．分解因式： x3y2 - x＝ ▲ ．
13．已知m、n是关于x的方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则m+n=▲．
14．某人沿着坡度i=1：2的山坡走了150米，则他离地面的高度上升了 ▲ 米(结果保留根号)．
15．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则这个圆锥的侧面积是 ▲ ．
第16题图
16．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG的度数是 ▲ ．
O
A
B
C
第17题图
17．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是▲ ．
18．已知平面直角坐标系中，点A（5,0）、B（ eq \f(57,5)， eq \f(24,5)）和点P（a， eq \f(3,4)a）．若⊙M是△PAB的内切圆，则⊙M面积的最大值是 ▲ .
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分8分）（1）计算：；（2）化简：．
20．（本题满分8分） (1)解方程：；（2）解不等式组：．
21．（本题满分6分）
已知，如图，平行四边形ABCD中，延长AB到点F使得BF=AB，连接DF交BC于点E，求证：E是BC边的中点．
22．（本题满分8分）
某高级中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级（1）班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6种型号）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该九年级（1）班共有名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，175型校服所对应的扇形圆心角的大小是；
（4）如果该高级中学准备招收1200名高一新生，则估计需要准备多少套180型号的校服？
23．（本题满分8分）
一方有难，八方支援，新冠抗疫的期间，“夕阳红”志愿者协会积极参与基层社区的抗疫执勤．志愿者老张、老王、老李和其他志愿者们在如图所示的朝阳小区出入口执勤(由于老张、老王和老李服务内容相同，故他们不在同一个出入口)．
A
B
C
D
（1）志愿者老张恰好在A出入口执勤的概率是 ▲ ；
（2）求志愿者老王和老李恰好在相邻出入口执勤的概率；（请用画树状图或列表等方法写出分析过程）
（3）若疫情之前该小区共有6个出入口，那么老王和老李恰好在相邻出入口执勤的概率是 ▲ ．
24．（本题满分8分）
如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）．
（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；
B
•
图2
•
Q
O
A
（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．
•
图1
•
P
O
25．（本题满分8分）
已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°．
（1）若⊙O半径为3，求弦CD的长；
（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．
26．（本题满分8分）
某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间有如表关系：
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按照单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价x定为多少才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元，则每天的销售量最少应为多少件？
27．（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y=x+3恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC．若△BCD的面积为6，求点D的坐标；
x
y
C
O
A
B
备用图
x
y
C
O
A
B
（3）设直线AE与直线BC交于点E，连AC，若∠AEB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点E的坐标．
28．（本题满分12分）
阅读理解：如果一个直角与一条折线相交形成一个封闭图形，那么这条折线在封闭图形上的部分就称为这个角的“补美边”．例如：图1中∠QPK=90°，它与折线MNGH形成的“补美边”有三条，分别是线段MN、NG和GH．
解决问题：（1）如图2，∠QPK与矩形ABCD形成“补美边”，点P在边AD上且AP=2．若已知矩形ABCD中AB=4，AD=8．分别记∠QPK的两边PQ和PK交矩形的边于点E和点F，设∠APE=β，0≤β≤90°．
①若β=30°，求∠QPK “补美边”的所有边长之和；
②若∠QPK “补美边”的所有边长之和为9，求tan β的值．
（2）如图3，已知平行四边形ABCD中∠B=60°，AB=6，BC=8．点P在边AD上且AP=2，若∠QPK与平行四边形ABCD形成“补美边”的所有边长之和为10，请直接写出线段AE的长．
图3
P
D
C
B
A
图2
K
Q
P
F
E
D
C
B
A
图1
H
G
N
M
K
P
Q
销售单价x（元）
30
35
40
┄
70
┄
每天的销售量y（件）
100
90
80
┄
20
┄