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    2020届二轮复习集合、复数、常用逻辑用语学案(全国通用)

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    第2讲 集合、复数、常用逻辑用语


    集 合
    [考法全练]
    1.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4 A.{x|-4 C.{x|-2 解析:选C.由x2-x-6<0,得(x-3)(x+2)<0,解得-2 2.(2019·高考天津卷)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=(  )
    A.{2} B.{2,3}
    C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
    解析:选D.因为A∩C={-1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故选D.
    3.(2019·郑州市第二次质量预测)已知全集U=R,A={x|y=ln(1-x2)},B={y|y=4x-2},则A∩(∁UB)=(  )
    A.(-1,0) B.[0,1)
    C.(0,1) D.(-1,0]
    解析:选D.A={x|1-x2>0}=(-1,1),B={y|y>0},所以∁UB={y|y≤0},所以A∩(∁UB)=(-1,0],故选D.
    4.(一题多解)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(  )
    A.9 B.8
    C.5 D.4
    解析:选A.法一:由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤,又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为CC=9,故选A.
    法二:根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.

    5.已知集合M={x|y=lg(2-x)},N={y|y=+},则(  )
    A.M⊆N B.N⊆M
    C.M=N D.N∈M
    解析:选B.因为集合M={x|y=lg(2-x)}=(-∞,2),N={y|y=+}={0},所以N⊆M.故选B
    6.(一题多解)(2019·安徽省考试试题)已知集合A={x|x-a≤0},B={1,2,3},若A∩B≠∅,则a的取值范围为(  )
    A.(-∞,1] B.[1,+∞)
    C.(-∞,3] D.[3,+∞)
    解析:选B.法一:集合A={x|x≤a},集合B={1,2,3},若A∩B≠∅,则1,2,3这三个元素至少有一个在集合A中,若2或3在集合A中,则1一定在集合A中,因此只要保证1∈A即可,所以a≥1,故选B.
    法二:集合A={x|x≤a},B={1,2,3},a的值大于3时,满足A∩B≠∅,因此排除A,C.当a=1时,满足A∩B≠∅,排除D.故选B.

    集合问题的求解策略
    (1)连续数集借助数轴,不连续数集借助Venn图.
    (2)图形或图象问题用数形结合法.
    (3)新定义问题要紧扣定义进行逻辑推理或运算.
    [提醒] 解决集合问题要注意以下几点.
    (1)集合元素的互异性.
    (2)不能忽略空集.
    (3)注意端点的取值,如题3中,A∩(∁UB)中含有元素0.
    (4)理解代表元素的意义,如题4为点集,其他各题均为数集.

    复 数
    [考法全练]
    1.(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z=(  )
    A.-1-i B.-1+i
    C.1-i D.1+i
    解析:选D.由z(1+i)=2i,得z====i(1-i)=1+i.
    故选D.
    2.(2019·高考全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则=(  )
    A.1+2i B.-1+2i
    C.1-2i D.-1-2i
    解析:选D.因为z=i(2+i)=-1+2i,所以=-1-2i,故选D.
    3.(一题多解)(2019·南宁模拟)设z=+2i,则|z|=(  )
    A.0 B.
    C.1 D.
    解析:选C.法一:因为z=+2i=+2i==-i+2i=i,所以|z|=1,故选C.
    法二:因为z=+2i==,所以|z|=||===1.故选C.
    4.(2019·漳州模拟)已知i是虚数单位,且z=,则z的共轭复数在复平面内对应的点在(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    解析:选A.z=====2-i,则=2+i,所以对应的点在第一象限.故选A.
    5.(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(  )
    A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
    C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
    解析:选C.由已知条件,可得z=x+yi(x,y∈R),因为|z-i|=1,所以|x+yi-i|=1,所以x2+(y-1)2=1.
    故选C.
    6.(2019·高考江苏卷)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是________.
    解析:(a+2i)(1+i)=a-2+(a+2)i,因为其实部是0,故a=2.
    答案:2

    复数代数形式的2种运算方法
    (1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可.
    (2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”.
    [提醒] (1)复数运算的重点是除法运算,其关键是进行分母实数化.
    (2)对一些常见的运算,如(1±i)2=±2i,=i,=-i等要熟记.
    (3)利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.

    常用逻辑用语
    [考法全练]
    1.(2019·沈阳市质量监测(一))设命题p:∀x∈R,x2-x+1>0,则﹁p为(  )
    A.∃x∈R,x2-x+1>0
    B.∀x∈R,x2-x+1≤0
    C.∃x∈R,x2-x+1≤0
    D.∀x∈R,x2-x+1<0
    解析:选C.已知原命题p:∀x∈R,x2-x+1>0,全称命题的否定是将全称量词改为存在量词,并否定命题的结论,故原命题的否定﹁p为∃x∈R,x2-x+1≤0.
    2.(2019·广州市调研测试)下列命题中,为真命题的是(  )
    A.∃x0∈R,e≤0
    B.∀x∈R,2x>x2
    C.a+b=0的充要条件是=-1
    D.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1
    解析:选D.因为ex>0恒成立,所以选项A错误.取x=2,则2x=x2,所以选项B错误.当a+b=0时,若b=0,则a=0,此时无意义,所以也不可能推出=-1;当=-1时,变形得a=-b,所以a+b=0,故a+b=0的充分不必要条件是=-1,故选项C错误.假设x≤1且y≤1,则x+y≤2,这显然与已知x+y>2矛盾,所以假设错误,所以x,y中至少有一个大于1,故选项D正确.综上,选D.
    3.(2019·高考浙江卷)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(  )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充分必要条件
    D.既不充分也不必要条件
    解析:选A.因为a>0,b>0,若a+b≤4,所以2≤2+b≤4.
    所以ab≤4,此时充分性成立.当a>0,b>0,ab≤4时,令a=4,b=1,则a+b=5>4.
    这与a+b≤4矛盾,因此必要性不成立.
    综上所述,当a>0,b>0时,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.
    4.(2019·高考天津卷)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(  )
    A.充分而不必要条件
    B.必要而不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    解析:选B.由“x2-5x<0”可得“0 5.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(  )
    A.m> B.0 C.m>0 D.m>1
    解析:选C.若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=(-1)2-4m<0,解得m>,因此当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m>0,故选C.
    6.(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题
    ①p∨q ②﹁p∨q ③p∧﹁q ④﹁p∧﹁q
    这四个命题中,所有真命题的编号是(  )
    A.①③ B.①②
    C.②③ D.③④
    解析:选A.通解:作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示,直线2x+y=9和直线2x+y=12均穿过了平面区域D,不等式2x+y≥9表示的区域为直线2x+y=9及其右上方的区域,所以命题p正确;不等式2x+y≤12表示的区域为直线2x+y=12及其左下方的区域,所以命题q不正确.所以命题p∨q和p∧﹁q正确.故选A.

    优解:在不等式组表示的平面区域D内取点(7,0),点(7,0)满足不等式2x+y≥9,所以命题p正确;点(7,0)不满足不等式2x+y≤12,所以命题q不正确.所以命题p∨q和p∧﹁q正确.故选A.

    (1)充分条件与必要条件的三种判定方法
    定义法
    正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且qp,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)
    集合法
    利用集合间的包含关系,例如p:A,q:B,若A⊆B,则p是q的充分条件(q是p的必要条件);若A=B,则p是q的充要条件
    等价法
    将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题
    (2)全称命题与特称命题真假的判定方法
    ①全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立,要判定其为假命题,只需举出一个反例即可.
    ②特称命题:要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
    [提醒] 求解简易逻辑问题有以下几个易失分点:
    (1)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念.
    (2)命题的否定与否命题是有区别的,“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
    (3)全称或特称命题的否定,要否定结论并改变量词.
    (4)复合命题的真假判断依赖真值表.

    一、选择题
    1.(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=(  )
    A.(-∞,1) B.(-2,1)
    C.(-3,-1) D.(3,+∞)
    解析:选A.A∩B={x|x2-5x+6>0}∩{x|x-1<0}={x|x<2或x>3}∩{x|x<1}={x|x<1}.
    故选A.
    2.命题“∀x>0,ln x≥1-”的否定是(  )
    A.∃x0≤0,ln x0≥1-
    B.∃x0≤0,ln x0<1-
    C.∃x0>0,ln x0≥1-
    D.∃x0>0,ln x0<1-
    解析:选D.若命题为∀x∈M,p(x),则其否定为∃x0∈M,﹁p(x0).所以“∀x>0,ln x≥1-”的否定是∃x0>0,ln x0<1-,故选D.
    3.(2019·郑州市第一次质量预测)设全集U=R,集合A={x|-3 A.{x|x≤-3或x≥1}
    B.{x|x<-1或x≥3}
    C.{x|x≤3}
    D.{x|x≤-3}
    解析:选D.因为B={x|x≥-1},A={x|-3-3},所以∁U(A∪B)={x|x≤-3}.故选D.
    4. (2019·沈阳市质量监测(一))已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为(  )

    A.{3} B.{7}
    C.{3,7} D.{1,3,5}
    解析:选B.由图可知,阴影区域为∁U(A∪B),由并集的概念知,A∪B={1,3,5},又U={1,3,5,7},于是∁U(A∪B)={7},故选B.
    5.若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为(  )
    A.- B.
    C.i D.-i
    解析:选B.因为==+i,所以其实部为,虚部为,实部与虚部之积为.故选B.
    6.已知(1+i)·z=i(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    解析:选A.因为(1+i)·z=i,所以z===,则复数z在复平面内对应的点的坐标为,所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.
    7.(2019·高考北京卷)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的(  )
    A.充分而不必要条件
    B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件
    D.既不充分也不必要条件
    解析:选C.因为f(x)=cos x+bsin x为偶函数,所以对任意的x∈R都有f(-x)=f(x),
    即cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x,
    所以2bsin x=0.由x的任意性,得b=0.
    故f(x)为偶函数⇒b=0.必要性成立.
    反过来,若b=0,则f(x)=cos x是偶函数.充分性成立.
    所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.
    8.下列命题错误的是(  )
    A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
    B.命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1”
    C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
    D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
    解析:选C.若<1,则a>1或a<0,则“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确;根据特称命题的否定为全称命题,得“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1”,故B正确;当x≥2且y≥2时,x2+y2≥4,当x2+y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2,如x=5,y=0,因此“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误;因为“ab=0”是“a=0”的必要不充分条件,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.
    9.(2019·贵阳市第一学期监测)命题p:若x>y,则x2>y2,命题q:若x-y.在命题①p∧q;②p∨q;③p∨(﹁q);④(﹁p)∧q中,真命题是(  )
    A.①③ B.①④
    C.②③ D.②④
    解析:选D.命题p:当x=0,y=-2时,x2 10.(2019·福州模拟)给出下列命题:
    ①“x=”是“tan x=1”的充分不必要条件;
    ②定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x2+(a+5)x+b的最大值为30;
    ③命题“∃x0∈R,x0+≥2”的否定是“∀x∈R,x+>2”.其中正确命题的个数为(  )
    A.0 B.1
    C.2 D.3
    解析:选C.由x=,得tan x=1,但由tan x=1推不出x=,所以“x=”是“tan x=1”的充分不必要条件,所以命题①是正确的;若定义在[a,b]上的函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,则,则,则f(x)=x2+5在[-5,5]上的最大值为30,所以命题②是正确的;命题“∃x0∈R,x0+≥2”的否定是“∀x∈R,x+<2”,所以命题③是错误的.故正确命题的个数为2,故选C.
    11.已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为(  )
    A.(-∞,0) B.[0,4]
    C.[4,+∞) D.(0,4)
    解析:选D.因为命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以其否定“∀x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题,则Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得0<a<4,故选D.
    12.(2019·南昌市第一次模拟测试)已知r>0,x,y∈R,p:“|x|+≤1”,q:“x2+y2≤r2”,若p是q的必要不充分条件,则实数r的取值范围是(  )
    A. B.(0,1]
    C. D.[2,+∞)
    解析:选A.由题意,命题p对应的是菱形及其内部,当x>0,y>0时,可得菱形的一边所在的直线方程为x+=1,即2x+y-2=0,由p是q的必要不充分条件,可得圆x2+y2=r2的圆心到直线2x+y-2=0的距离d==≥r,又r>0,所以实数r的取值范围是,故选A.
    二、填空题
    13.已知复数z满足z(1-i)2=1+i(i为虚数单位),则|z|=________.
    解析:因为z=-=,所以|z|=.
    答案:
    14.以下四个说法中,正确的是________(填序号).
    ①双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x;
    ②命题p:∀x>0,x3>0,那么﹁p:∃x0>0,x≤0;
    ③已知x,y∈R,若x2+y2≠0,则x,y不全为0;
    ④△ABC中,若AB>AC,则sin C>sin B.
    解析:①是正确的;对于②,命题p:∀x>0,x3>0,﹁p:∃x0>0,x≤0,所以②是正确的;对于③,若x,y同时为0,则x2+y2=0,与已知矛盾,故x,y不全为0;③正确;对于④,在△ABC中,大边对大角,所以④正确.
    答案:①②③④
    15.(一题多解)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={1,2},Q={-1,0,1},则集合P*Q中元素的个数为________.
    解析:法一(列举法):当b=0时,无论a取何值,z=ab=1;当a=1时,无论b取何值,ab=1;当a=2,b=-1时,z=2-1=;当a=2,b=1时,z=21=2.故P*Q=,该集合中共有3个元素.
    法二(列表法):因为a∈P,b∈Q,所以a的取值只能为1,2;b的取值只能为-1,0,1.z=ab的不同运算结果如下表所示:
    ba
    -1
    0
    1
    1
    1
    1
    1
    2

    1
    2
    由上表可知P*Q=,显然该集合中共有3个元素.
    答案:3
    16.已知命题p:∀x∈[0,1],a≥2x;命题q:∃x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题“p∨q”是真命题,“﹁p∧q”是假命题,则实数a的取值范围为________.
    解析:命题p为真,则a≥2x(x∈[0,1])恒成立,
    因为y=2x在[0,1]上单调递增,所以2x≤21=2,
    故a≥2,即命题p为真时,实数a的取值集合为P={a|a≥2}.
    若命题q为真,则方程x2+4x+a=0有解,所以Δ=42-4×1×a≥0,解得a≤4.
    故命题q为真时,实数a的取值集合为Q={a|a≤4}.
    若命题“p∨q”是真命题,则命题p,q至少有一个是真命题;
    由“﹁p∧q”是假命题,可得﹁p与q至少有一个是假命题.
    ①若p为真命题,则﹁p为假命题,q可真可假,
    此时实数a的取值范围为[2,+∞);
    ②若p为假命题,则q必为真命题,此时,“﹁p∧q”为真命题,不合题意.
    综上,实数a的取值范围为[2,+∞).
    答案:[2,+∞)



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