2020届二轮复习集合的概念及其基本运算学案（全国通用）
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知识点1．元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集及其符号表示
数集 | 自然数集 | 正整数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 |
符号 | N | N*或N＋ | Z | Q | R |
【典例1】【2018课标II理2】已知集合，则中元素的个数为 （ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【易混辨析】描述法中，集合的“代表元素”可是单个字母、有序数对（点的坐标）等，解题过程中要注意区分.本题考查集合与元素关系，点与圆的位置关系，重点考查学生对概念的理解与识别．
【变式1】【2016年四川卷文】设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】
，故中元素的个数为5，选B.
知识点2．集合间的基本关系
（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集．记为或．
（2）真子集：对于两个集合A与B，如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集．记为．
（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．
（4）若一个集合含有n个元素，则子集个数为个，真子集个数为．
【典例2】【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意知：，则
本题正确选项：
【重点总结】近几年高考命题中，较多的考查集合的运算，集合的呈现往往涉及不等式、函数的定义域或值域，应注意首先明确集合中元素的“特征性质”，化简集合，再判断集合的关系或进行集合的运算.
【变式2】【2018山东实验中学二模】若集合， 则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
求解二次不等式可得：，则．
据此可知：，选项A错误；
，选项B错误；
且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误．
本题选择C选项．
知识点3．集合的运算
（1）三种基本运算的概念及表示
运算 | 自然语言 | 符号语言 | Venn图 |
交集 | 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 | A∩B＝{x|x∈A且x∈B} | |
并集 | 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 | A∪B＝{x|x∈A或x∈B} | |
补集 | 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 | ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} |
（2）三种运算的常见性质
， ， ，，，．
，，．
，，，．
【典例3】【2019年浙江卷】已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，则
【易错提醒】
本题根据交集、补集的定义可得.易于因对补集、交集的概念理解有误，二导致误选.
【变式3】【2018年天津卷理】设全集为R，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
考点1 集合的概念
【典例4】【2018山西高三一模】已知单元素集合，则（ ）
A．0 B．-4 C．-4或1 D．-4或0
【答案】D
【解析】由于只有一个元素，故判别式为零，即，故选D．
【规律方法】
与集合元素有关问题的思路：
(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
【变式4】【2018豫南九校联考一】已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D．
考点2 集合间的基本关系
【典例5】【宁夏石嘴山市第三中学2019届三模】若集合，且，则( )
A．2 B．2，-2
C．2，，0 D．2，-2，0，1
【答案】C
【解析】
因为，所以
当时，与矛盾.
当时，或（舍去），即：时，满足
当时，或，都满足.
所以或或.
故选：C
【总结提高】1.判断两集合的关系常用两种方法：一是寻找两集合元素“特征性质”间的关系；二是化简集合，用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．
【变式5】【辽宁省葫芦岛市2019届二模】已知集合，集合.若，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
若，则，符合，排除B,D两个选项.若，则，符合，排除A选项.故本小题选C.
考点3 集合的基本运算
【典例6】【2019年新课标Ⅰ理】已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意得，，则
．故选C．
【思路点拨】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．涉及不等式的解集问题，往往借助数轴，利用数形结合的思想解题．要注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
【变式6】【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知全集，则＝( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由，，可得.故选C.
