2020届二轮复习平行线间的一类三角函数问题学案（全国通用）
展开专题09 平行线间的一类三角函数问题
四边形或三角形顶点落在一组平行线上这一类型问题，主要考查解三角形，常涉及分类讨论，综合性较强.
类型一 等边三角形顶点落在一组平行线上
典例1. ：、、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．
（1）如果与间的距离是1，与间的距离也是1，可以把一个正三角形的三顶点分别放在，，上，求这个正三角形的边长；
（2）如图，如果与间的距离是1，与间的距离是2，能否把一个正三角形的三顶点分别放在
，，上，如果能放，求和夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？
（3）如果边长为2的正三角形的三顶点分别在，，上，设与的距离为，与的距离为，求的范围？
【答案】（1）2（2）（3）
【解析】解：不妨设
（1）∵到直线的距离相等，∴过的中点， ∴
∴边长
（2）设边长为与的夹角为，由对称性，不妨设，
∴ 两式相比得：
∴∴
∴边长
（3）
= =
∵，∴∴，∴
类型二 菱形顶点落在一组平行线上
典例2 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养 殖区的最小面积．
【答案】27
【解析】解：（1）如图甲，设与所成夹角为，则与所成夹角为，
对菱形的边长“算两次”得，解得，
所以，养殖区的面积； ……6分
（2）如图乙，设与所成夹角为，，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，解得，所以养殖区的面积由得，经检验得，当时，养殖区的面积．
1. 如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上.若矩形ORTM的边长OR=7，OM=8，试求小正方形的边长.
【答案】
【解析】解法1：因为以AI、AD的方向分别为轴、轴的正向建立平面直角坐标系，设小正方形的边长为得A（0，0）、、、.设直线MDT的斜率为k，则，，，.由此可得直线MDT、OBR之间的距离是，直线MAO、TCR之间的距离是，由此可解得，,，即边长为.
解法2：设锐角∠MAD=，设小正方形的边长为，则由右图可得
相减得消去解得边长为.
解法3：可设，由，可设
由（1）可得：，
所以，所以，所以小正方形的边长为
2. 在平面直角坐标系xOy中，设，B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为___________.
【答案】2
【解析】解法1：设正三角形ABC的边长为a，B(-1+acos(θ+30º)，1+ asin(θ+30º))，
C(-1+acos(θ－30º)，1+ asin(θ－30º)) ，由B、C在y=上，所以
，
两式相减得：a2cos2－asim－acos＝0，得a＝， ①
两式相加得：，a2sin2θ=4 ②
解法2：将直角坐标系旋转45º，则A(0，)，双曲线方程为：.
设BC的方程为：y=kx+b，联立，消去得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2=0.
，BC中点D(，)，而直线AD的方程是：.
所以，=，，AD＝，BC＝|x1－x2|
=，由△ABC为正三角形，所以AD＝BC.k2＝7.
故AD＝=＝2.
3. 某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，，AB＝2百米，BC＝1百米．
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、 CA上取点D，E，F，如图（1）,使得EF‖AB,, 在△DEF喂食，求△DEF 面积S△DEF的最大值；
（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设，则，所以，，
，
由于，当且仅当时取等号
所以百平方米
（2）直角△ABC，
设，则，
设，则，
因为，，
所以，
即△DEF边长的最小值为
