2020届二轮复习最值问题学案（全国通用）
展开专题二 双层最值问题
双层最值问题，就是以最值的最值形式出现，考查对应函数性质，主要考查方向为函数图象、函数单调性、基本不等式应用、数学思想方法以及函数解析式，题型背景较新，综合要求较高.
类型一 二次函数双层最值问题
典例1 函数满足，.设，（表示中的较大值，表示中的较小值），记的最小值为，的最大值为，则________..
【答案】-16
【解析】 令h（x）=f（x）-g（x）=x 2 -2（a+2）x+a 2 -[-x 2 +2（a-2）x-a 2 +8]=2x 2 -4ax+2a 2 -8
=2（x-a） 2 -8．
① 由2（x-a） 2 -8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
② 由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a-2，此时f（x）＞g（x）；
③ 由h（x）＜0，解得a-2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上可知：（1）当x≤a-2时，则H 1 （x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x-（a+2）] 2 -4a-2，
H 2 （x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=-[x-（a-2）] 2 -4a+12，
（2）当a-2≤x≤a+2时，H 1 （x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H 2 （x）
=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+2时，则H 1 （x）=max{f（x），g（x）}=f（x），
H 2 （x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故A=g（a+2）=-[（a+2）-（a-2）] 2 -4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12，
∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16．
【点睛】实际考查函数图象
类型二 分式函数双层最值问题
典例2设函数最大值为,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
因此的最小值为
【点睛】实际考查函数单调性或基本不等式应用
类型三 实际应用函数双层最值问题
典例3 已知面积为,分别在边上,∥连,设的面积分别为,,则_______.
【答案】
【解析】，由题意得，所以当时，，
根据相似得，即
【点睛】实际考查函数关系
类型四 多元变量函数双层最值问题
典例4. 设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是__________．
【答案】9
【解析】由，所以
当时等号成立，所以最小值为
【点睛】实际考查思想方法
1. 设，，其中表示两数中最小的一个数，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为，所以.
2．已知是正数，且，则函数的最大值为_____.
【答案】
【解析】由题意得，
3．已知是正数，且，则函数的最小值为_____.
【答案】
【解析】由题意得，所以，
因为，所以
4. 已知是区间内的两个实数，把的最小值记为，则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】因为的最小值记为，
所以
5. 对任意实数，不等式恒成立，则的最大值为_______.
【答案】1008
【解析】设，所以，
因为，
所以从而的最大值为1008.
6. 为中的最大值，令，则对任意实数的最小值为________.
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，
从而的最小值为
7. 已知均为正实数，记，则的最小值为_________.
【答案】2．
【解析】
,等于号可以在时取得，
∴M的最小值为2
8. 设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于0，且x1+x2+x3+x4+x5=1，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】设，则，
，即的最小值是
