2020届二轮复习数列中一类元素交并问题学案（全国通用）

专题14  数列中一类元素交并问题

数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用.

类型一  两个等差数列取交集数列问题

典例1. 若数列的通项公式为，数列的通项公式为．

设集合，．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．

【答案】

【解析】对任意，，∴，∴

 ∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则

∴，即，又是一个以为公差等差数列，

∴，∴，∴．

类型二  一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题

典例2已知数列{}的通项公式为，数列{}的通项公式为．若将数列{}，{}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}，则数列的通项公式为____．

【答案】

【解析】解：设，考察模7的余数问题；

若时经验证可得：

当时，存在满足条件的存在

故{}中的项目依次为：

可求得数列{}的通项公式为：

类型三  一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题

典例3  已知数列和的通项公式分别为，.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为.

（1）试写出，，，的值，并由此归纳数列的通项公式； 

（2）证明你在（1）所猜想的结论.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】解：（1），，，，

由此归纳：.

（2） 由，得，

，由二项式定理得

，

当为奇数时，有整数解， .

1. 设数列{an}的通项公式为，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－2．集合A

＝{x∣x＝an，n∈N*}，B＝{x∣x＝bn，n∈N*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，

构成数列c1，c2，c3，…，则{cn}的通项公式为___________.

【答案】

【解析】解：因为 ，

；

所以   ，

即当时，；当

，当时，，

当时，

所以的通项公式是

即：

2. 已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等比数列的前三项，

（1）若k=7， 

（i）求数列的前n项和Tn；

（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为Sn，求的值；

（2）若存在m>k,使得成等比数列，求证k为奇数.

【答案】(1) （i）（ii）1（2）见解析

【解析】

(1) 因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，

所以，整理得，又，所以，

，，所以，

①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为；

①       因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，所以.

所以=1．                  

(2) 由，整理得，

因为，所以，所以. 

因为存在m＞k,m∈N*使得成等比数列，所以，    

又在正项等差数列{an}中，，

所以，又因为，有，          

因为是偶数，所以也是偶数，即为偶数，所以k为奇数. 

3. 设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.

① 当时，求的数值；②求的所有可能值；

（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列.

【答案】(1) ①或②（2）见解析

【解析】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0

若删去，则，即化简得，得

若删去，则，即化简得，得

综上，得或

②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。

若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；

当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得   （*）

由知，与同时为0或同时不为0

当与同时为0时，有与题设矛盾

故与同时不为0，所以由（*）得

因，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数

于是对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列

例如n项数列1，，，……，满足要求

4.在数列中，，且对任意的，成等比数列，其公比为

，成等差数列，其公差为，设.

（1）若，求的值；

（2）求证：数列为等差数列；

（3）若，设，是否存在、，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) 或.（2）见解析（3），

【解析】解：（1）∵，∴, 又，

解得或.                       

（2）∵成等差数列, ∴，

而,故，则. 

得，所以，即.

故数列是公差为1的等差数列.                  

（3）由得，则.

    ∴. 则．

假设存在、，使得、、成等比数列，

则，即．

整理得 ．             

因为，所以． 

解得．    

因为，所以，此时．

故存在，，使得、、成等比数列． 

5. 在数列中，,且对任意的,成等比数列，其公比为.

（1）若，求；

（2）若对任意的,，，成等差数列，其公差为，设

① 求证：成等差数列，并指出其公差；

  ② 若,试求数列的前项的和.

【答案】(1) （2）①见解析②或

【解析】解：(1) 因为,所以,故是首项为1,公比为4的等比数列,所以

(2) ① 因为成等差数列,所以,

而,所以,则

得,所以,即,

所以是等差数列,且公差为1

② 因为,所以,则由,解得或

(ⅰ)当时, ,所以,则,即,

得,所以,

则

所以,则,故

(ⅱ)当时, ,所以,则,即得,

所以,

则,所以,从而.

综上所述,或

6. 数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列.

（1）若数列是“型”数列，且，求；

（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明：数列是等比数列.

【答案】(1) （2）见解析

【解析】解：（1）由题意得，，，，…成等比数列，且公比，．

（2）证明：由{}是“型”数列，得

，，，，，，…成等比数列，设公比为.

由{}是“型”数列，得

，，，，，…成等比数列，设公比为；

，，，，，…成等比数列，设公比为；

，，，，，…成等比数列，设公比为；

则，，．

所以，不妨记，且．

于是，

，

，

 所以，故{}为等比数列．

7. 设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立．

（1）设，，求的值；

（2）设，求数列的通项公式

【答案】(1)8 （2）

【解析】解：（1）由题设，当，，

从而的值为8

（2）由题设知，当

，两式相减

所以当成等差数列，且也成等差数列

从而当时， （*）

且，

即成等差数列，

从而，

故由（*）式知

当时，设

当，从而由（*）式知

故

从而，于是

因此，对任意都成立，又由可知，

解得

因此，数列为等差数列，由

所以数列的通项公式为