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2020届二轮复习数列的概念与简单表示法教案（全国通用）
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§6.1 数列的概念与简单表示法
最新考纲 1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数．
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列着的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1
an＋1＝an
概念方法微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示 不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？
提示 数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )
(4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．( × )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.( × )
题组二 教材改编
2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝.
答案 21
解析 由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.
3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝.
答案 5n－4
题组三 易错自纠
4．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是．
答案 (－3，＋∞)
解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，
整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
5．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是．
答案 30
解析 an＝－n2＋11n＝－2＋，
∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝.
答案
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
a1＝2不满足上式．
故an＝
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，，…；
(2)－1，7，－13，19，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5，55，555，5555，….
解 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝.
(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为
an＝(－1)n(6n－5)．
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：
(1)分式中分子、分母的特征．
(2)相邻项的变化特征．
(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．
(4)各项符号特征等．
(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．
跟踪训练1(1)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝.
答案 (－1)n
解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.
(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝.
答案
解析 数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.
题型二 由an与Sn的关系求通项公式
例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝.
答案 4n－5
解析 a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝.
答案 －63
解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝.
答案
解析 当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝.
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝
思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an＝一定要检验a1的情况．
跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝.
答案
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝.
答案
解析 因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
则当n≥2时，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②
①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．
由题意知a1＝符合上式，所以an＝.
(3)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝.
答案 (－2)n－1
解析 当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
故＝－2，故an＝(－2)n－1.
题型三 由数列的递推关系求通项公式
例3设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝.
答案
解析 由条件知an＋1－an＝n＋1，
则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝.
引申探究
1．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝an”，如何求解？
解 ∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，
∴＝.
∴an＝···…···a1
＝···…··2＝.
2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解 设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.
3．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝”，如何求解？
解 ∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，
又a1＝2，则＝，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝.∴an＝.
4．若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？
解 ∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.
即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．
当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1.
当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.
综上所述，an＝n∈N*.
思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列．
(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列．
(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解．
(4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解．
跟踪训练3(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝.
答案 3×2n－1－2
解析 由an＋2＋2an－3an＋1＝0，
得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，
∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，
将以上各式累加，得
an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，
∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足)．
(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝.
答案 4－
解析 原递推公式可化为an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，
a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，
an＝an－1＋－，逐项相加得an＝a1＋1－，
故an＝4－，经验证a1，a2也符合．
题型四 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4已知an＝，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 B
解析 an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列．
命题点2 数列的周期性
例5(2019·钦州质检)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则S2020＝.
答案 0
解析 ∵a1＝0，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝＝－，
a4＝＝0，
即数列{an}的取值具有周期性，周期为3，
且a1＋a2＋a3＝0，
则S2020＝S3×673＋1＝a1＝0.
命题点3 数列的最值
例6(2018·山东、湖北部分重点中学冲刺模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为( )
A．－3B．－5C．－6D．－9
答案 D
解析 由Sm－1＝－2，Sm＝0，
Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，
设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，
∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，
则an＝n－3，Sn＝，nSn＝.
设f(x)＝，x>0，f′(x)＝x2－5x，x>0，
∴f(x)的极小值点为x＝，
∵n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，
∴f(n)min＝－9.
思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．
跟踪训练4(1)(2018·石家庄模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2020的值为( )
A．2 B．－3
C．－ D.
答案 D
解析 因为a1＝2，an＋1＝，
所以a2＝＝－3，a3＝＝－，
a4＝＝，a5＝＝2，
故数列{an}是以4为周期的周期数列，
故a2020＝a505×4＝a4＝.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是( )
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
答案 B
解析 ∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．
1．已知数列，，，，，…，则5是它的( )
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
答案 C
解析 数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为an＝＝，
令＝5，得n＝21.
2．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．
如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，
∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．
3．(2018·三明质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于( )
A．255B．256C．510D．511
答案 C
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，据此可得a1＝2，
当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，
两式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，
据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
其前8项和为S8＝＝29－2＝512－2＝510.
4．(2018·长春五校模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列的前6项和为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，Sn－1＝n2－1，两式作差得到an＝2n＋1(n≥2)，
又当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3，符合上式，所以an＝2n＋1，
＝＝
裂项求和得到S6＝＝，故选A.
5．(2019·长沙雅礼中学、河南实验中学联考)在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an等于( )
A．2＋nlnn B．2n＋(n－1)lnn
C．2n＋nlnn D．1＋n＋nlnn
答案 C
解析 由题意得－＝ln(n＋1)－lnn，n分别用1，2，3，…，(n－1)取代，累加得－＝lnn－ln1＝lnn，＝2＋lnn，∴an＝(lnn＋2)n，故选C.
6．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于( )
A．2n－1 B．n2
C. D.
答案 D
解析 设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，
当n≥2时，an＝＝.
7．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝.
答案
解析 借助递推关系，由a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.
8．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝.
答案
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝
9．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝.
答案 －
解析 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
又由a1＝－1，知Sn≠0，
∴－＝1，
∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝.
答案
解析 由an－an＋1＝nanan＋1，得－＝n，
则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
又因为a1＝1，所以＝＋1＝，
所以an＝(n∈N*)．
11．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解 (1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3；
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理，得an＝an－1.
于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，
an－1＝an－2，an＝an－1，
将以上n个等式两端分别相乘，
整理，得an＝，n≥2，
又a1＝1＝，也满足上式．
综上，{an}的通项公式an＝.
12．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
解 (1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.
令cn＝，
即＝·＝>1.
∴{cn}为递增数列，∴λ
13．(2018·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2019等于( )
A．－22019－1 B．32019－6
C.2019－ D.2019－
答案 A
解析 由题意可得，3Sn＝2an－3n，
3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3，
即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1)，
结合3S1＝2a1－3＝3a1可得a1＝－3，a1＋1＝－2，
则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，
据此有a2019＋1＝(－2)×(－2)2018＝－22019，
∴a2019＝－22019－1.故选A.
14．(2018·福州模拟)已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，an
C. D．(3，5)
答案 D
解析 ∵Sn＋Sn－1＝4n2，Sn＋1＋Sn＝4(n＋1)2，
∴当n≥2时，Sn＋1－Sn－1＝8n＋4，即an＋1＋an＝8n＋4，
即an＋2＋an＋1＝8n＋12，故an＋2－an＝8(n≥2)，
由a1＝a知a2＋2a1＝4×22＝16，
∴a2＝16－2a1＝16－2a，
a3＋2S2＝4×32＝36，
∴a3＝36－2S2＝36－2(16－a)＝4＋2a，a4＝24－2a；
若对任意n∈N*，an
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝15，且满足＝＋1，已知n，m∈N*，n>m，则Sn－Sm的最小值为( )
A．－B．－C．－14D．－28
答案 C
解析 因为＝＋1，且＝＝－5，
所以数列是以－5为首项、1为公差的等差数列，
则＝－5＋(n－1)＝n－6，
即an＝(2n－5)(n－6)，
令an≤0，得≤n≤6，
又∵n∈N*，∴n＝3，4，5，6，
则Sn－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an的
最小值为a3＋a4＋a5＋a6＝－3－6－5－0＝－14.
16．已知数列{an}是递增的等比数列且a1＋a4＝9，a2a3＝8，设Sn是数列{an}的前n项和，数列前n项和为Tn，若不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
解 ∵数列{an}是递增的等比数列，
且a1＋a4＝9，a2a3＝8，a1a4＝a2a3，
∴a1，a4是方程x2－9x＋8＝0的两个根，且a1
得a1＝1，a4＝8，
∴q3＝＝＝8，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n－1.
∴Sn＝＝＝2n－1，
令bn＝＝
＝－，
∴数列{bn}的前n项和
Tn＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－在正整数集上单调递增，
∴Tn≥T1＝，
∵λ≤Tn，且对一切n∈N*成立，
∴λ≤，
∴实数λ的最大值是.
最新考纲 1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数．
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列着的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1
an＋1＝an
概念方法微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示 不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？
提示 数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )
(4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．( × )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.( × )
题组二 教材改编
2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝.
答案 21
解析 由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.
3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝.
答案 5n－4
题组三 易错自纠
4．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是．
答案 (－3，＋∞)
解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，
整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
5．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是．
答案 30
解析 an＝－n2＋11n＝－2＋，
∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝.
答案
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
a1＝2不满足上式．
故an＝
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，，…；
(2)－1，7，－13，19，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5，55，555，5555，….
解 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝.
(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为
an＝(－1)n(6n－5)．
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：
(1)分式中分子、分母的特征．
(2)相邻项的变化特征．
(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．
(4)各项符号特征等．
(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．
跟踪训练1(1)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝.
答案 (－1)n
解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.
(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝.
答案
解析 数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.
题型二 由an与Sn的关系求通项公式
例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝.
答案 4n－5
解析 a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝.
答案 －63
解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝.
答案
解析 当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝.
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝
思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an＝一定要检验a1的情况．
跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝.
答案
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝.
答案
解析 因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
则当n≥2时，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②
①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．
由题意知a1＝符合上式，所以an＝.
(3)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝.
答案 (－2)n－1
解析 当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
故＝－2，故an＝(－2)n－1.
题型三 由数列的递推关系求通项公式
例3设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝.
答案
解析 由条件知an＋1－an＝n＋1，
则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝.
引申探究
1．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝an”，如何求解？
解 ∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，
∴＝.
∴an＝···…···a1
＝···…··2＝.
2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解 设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.
3．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝”，如何求解？
解 ∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，
又a1＝2，则＝，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝.∴an＝.
4．若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？
解 ∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.
即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．
当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1.
当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.
综上所述，an＝n∈N*.
思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列．
(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列．
(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解．
(4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解．
跟踪训练3(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝.
答案 3×2n－1－2
解析 由an＋2＋2an－3an＋1＝0，
得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，
∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，
将以上各式累加，得
an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，
∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足)．
(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝.
答案 4－
解析 原递推公式可化为an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，
a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，
an＝an－1＋－，逐项相加得an＝a1＋1－，
故an＝4－，经验证a1，a2也符合．
题型四 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4已知an＝，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 B
解析 an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列．
命题点2 数列的周期性
例5(2019·钦州质检)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则S2020＝.
答案 0
解析 ∵a1＝0，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝＝－，
a4＝＝0，
即数列{an}的取值具有周期性，周期为3，
且a1＋a2＋a3＝0，
则S2020＝S3×673＋1＝a1＝0.
命题点3 数列的最值
例6(2018·山东、湖北部分重点中学冲刺模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为( )
A．－3B．－5C．－6D．－9
答案 D
解析 由Sm－1＝－2，Sm＝0，
Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，
设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，
∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，
则an＝n－3，Sn＝，nSn＝.
设f(x)＝，x>0，f′(x)＝x2－5x，x>0，
∴f(x)的极小值点为x＝，
∵n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，
∴f(n)min＝－9.
思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．
跟踪训练4(1)(2018·石家庄模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2020的值为( )
A．2 B．－3
C．－ D.
答案 D
解析 因为a1＝2，an＋1＝，
所以a2＝＝－3，a3＝＝－，
a4＝＝，a5＝＝2，
故数列{an}是以4为周期的周期数列，
故a2020＝a505×4＝a4＝.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是( )
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
答案 B
解析 ∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．
1．已知数列，，，，，…，则5是它的( )
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
答案 C
解析 数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为an＝＝，
令＝5，得n＝21.
2．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．
如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，
∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．
∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．
3．(2018·三明质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于( )
A．255B．256C．510D．511
答案 C
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，据此可得a1＝2，
当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，
两式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，
据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
其前8项和为S8＝＝29－2＝512－2＝510.
4．(2018·长春五校模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列的前6项和为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，Sn－1＝n2－1，两式作差得到an＝2n＋1(n≥2)，
又当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3，符合上式，所以an＝2n＋1，
＝＝
裂项求和得到S6＝＝，故选A.
5．(2019·长沙雅礼中学、河南实验中学联考)在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an等于( )
A．2＋nlnn B．2n＋(n－1)lnn
C．2n＋nlnn D．1＋n＋nlnn
答案 C
解析 由题意得－＝ln(n＋1)－lnn，n分别用1，2，3，…，(n－1)取代，累加得－＝lnn－ln1＝lnn，＝2＋lnn，∴an＝(lnn＋2)n，故选C.
6．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于( )
A．2n－1 B．n2
C. D.
答案 D
解析 设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，
当n≥2时，an＝＝.
7．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝.
答案
解析 借助递推关系，由a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.
8．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝.
答案
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝
9．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝.
答案 －
解析 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
又由a1＝－1，知Sn≠0，
∴－＝1，
∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝.
答案
解析 由an－an＋1＝nanan＋1，得－＝n，
则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
又因为a1＝1，所以＝＋1＝，
所以an＝(n∈N*)．
11．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解 (1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3；
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理，得an＝an－1.
于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，
an－1＝an－2，an＝an－1，
将以上n个等式两端分别相乘，
整理，得an＝，n≥2，
又a1＝1＝，也满足上式．
综上，{an}的通项公式an＝.
12．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
解 (1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.
令cn＝，
即＝·＝>1.
∴{cn}为递增数列，∴λ
13．(2018·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2019等于( )
A．－22019－1 B．32019－6
C.2019－ D.2019－
答案 A
解析 由题意可得，3Sn＝2an－3n，
3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3，
即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1)，
结合3S1＝2a1－3＝3a1可得a1＝－3，a1＋1＝－2，
则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，
据此有a2019＋1＝(－2)×(－2)2018＝－22019，
∴a2019＝－22019－1.故选A.
14．(2018·福州模拟)已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，an
C. D．(3，5)
答案 D
解析 ∵Sn＋Sn－1＝4n2，Sn＋1＋Sn＝4(n＋1)2，
∴当n≥2时，Sn＋1－Sn－1＝8n＋4，即an＋1＋an＝8n＋4，
即an＋2＋an＋1＝8n＋12，故an＋2－an＝8(n≥2)，
由a1＝a知a2＋2a1＝4×22＝16，
∴a2＝16－2a1＝16－2a，
a3＋2S2＝4×32＝36，
∴a3＝36－2S2＝36－2(16－a)＝4＋2a，a4＝24－2a；
若对任意n∈N*，an
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝15，且满足＝＋1，已知n，m∈N*，n>m，则Sn－Sm的最小值为( )
A．－B．－C．－14D．－28
答案 C
解析 因为＝＋1，且＝＝－5，
所以数列是以－5为首项、1为公差的等差数列，
则＝－5＋(n－1)＝n－6，
即an＝(2n－5)(n－6)，
令an≤0，得≤n≤6，
又∵n∈N*，∴n＝3，4，5，6，
则Sn－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an的
最小值为a3＋a4＋a5＋a6＝－3－6－5－0＝－14.
16．已知数列{an}是递增的等比数列且a1＋a4＝9，a2a3＝8，设Sn是数列{an}的前n项和，数列前n项和为Tn，若不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
解 ∵数列{an}是递增的等比数列，
且a1＋a4＝9，a2a3＝8，a1a4＝a2a3，
∴a1，a4是方程x2－9x＋8＝0的两个根，且a1
得a1＝1，a4＝8，
∴q3＝＝＝8，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n－1.
∴Sn＝＝＝2n－1，
令bn＝＝
＝－，
∴数列{bn}的前n项和
Tn＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－在正整数集上单调递增，
∴Tn≥T1＝，
∵λ≤Tn，且对一切n∈N*成立，
∴λ≤，
∴实数λ的最大值是.
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