2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．设，实数，满足，若，则实数的取值范围是（  ）A．             B．  C．           D．【答案】A【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，由题意可知，不等式组所表示的区域应为所表示的平面区域的子集，从而可知，故选A．考点：线性规划的运用．【思路点睛】线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题角度有：1．求线性目标函数的最值；2．求非线性目标的最值；3．求线性规划中的参数，本题即利用区域的包含，求解参数的取值范围．2．已知命题p：若x∈N*，则x∈Z.命题q：∃x0∈R，.则下列命题为真命题的是（ ）A． B．p∧q C． D．【答案】D【解析】试题分析：命题p：若x∈N*，则x∈Z是真命题，命题q：∃x0∈R，是假命题，所以是真命题考点：复合命题的判定3．已知集合，则如图所示阴影部分表示的集合为（   ） A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】试题分析：,,图中阴影部分所表示的集合为，故选C.考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）.4．（2018天津市部分区高三二模文数）已知全集，集合，集合，则集合（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：根据交集与补集的定义计算即可．试题解析：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={2，3，4，5}，集合N={4，5，6}，∴M∩N={4，5}，集合={1，2，3，6，7}，故选D．【名师点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题．5．用二分法计算函数的一个正数零点的近似值(精确到0.1)为（　　）参考数据：





  A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】试题分析：解：由表中数据f（1）=-2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=-0.984， f（1.375）=-0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=-0.054．中结合二分法的定义得f（1.375）•f（1.4375）＜0，零点应该存在于区间（1.375，1.4375）中，观察四个选项，方程x3+x2-2x-2=0的一个近似值（精确到0.1）为1.4，与其最接近的是C，故选C；考点：二分法求方程的近似解点评：本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题6．已知集合，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】=,所以故选B7．定义区间的长度均为．用表示不超过x的最大整数．记，其中．设，若用d表示不等式解集区间的长度，则当时，有( )A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】试题分析：故令f(x)－g(x)<0，可得2≤x≤3，故d＝3－2＝1．选A考点：新定义问题8．已知集合， ，则 (    )A． B． C． D．【答案】B【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B.详解：由题得，所以 .故答案为：B点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.  二、填空题9．命题“如果，那么”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是________个．【答案】1【解析】【分析】将表达式变形，判断出原命题为真命题，可知逆否命题为真名题；根据其逆命题为假命题，可知否命题也为假命题。【详解】由，得且所以原命题是正确的．所以逆否命题也是正确的．又因为“若，则”是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．所以正确的命题只有1个．【点睛】本题考查了四种命题真假的关系及判断，属于基础题。10．已知集合，，若，则实数的值为______．【答案】0或3【解析】【分析】由集合交集的运算及集合元素的互异性可得或 ，求解即可得解.【详解】解：由集合，，又，则有：或 ，解得或，故答案为：或.【点睛】本题考查了集合交集的运算及集合元素的互异性，属基础题.11．若满足约束条件，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】画出不等式满足的平面区域，结合直线斜率可得答案。【详解】不等式满足的平面区域如图阴影部分，其中，当动直线过点时，.故答案为5.【点睛】本题考查线性规划，属于基础题。12．已知满足，则的最大值为_________。【答案】14【解析】【分析】（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解及最值即可.【详解】如图，根据题意画出可行域，令，得到直线，平移该直线至处，明显可见，过点，所以，可得为所求答案【点睛】本题考查线性规划求最优解问题，属于基础题13．设集合其中均为整数}，则集合_____..【答案】M={0，1，3，4}.【解析】【分析】根据2x+2y＝2t，进行提取2x，得到x，y的关系，根据整数关系进行推理即可得到结论．【详解】由得，则，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边即，且即.为整数，则为2的约数，则，.故M={0，1，3，4}.故答案为：M={0，1，3，4}.【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，结合集合元素是整数的关系进行推理是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．14．在中，角,,所对应的边分别为,,，若，则的最大值为           .【答案】【解析】【分析】由利用正弦定理可得结合勾股定理得，化简后由基本不等式可得结果.【详解】，所以由勾股定理可得， （当时，等号成立） ， 所以，的最大值为2，的最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.15．“a＞1且b＞1”是“ab＞1”成立的____条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要．【答案】充分不必要【解析】【分析】判断且能否推出，反过来，是否能推出且，进行判断.【详解】解：若a＞1且b＞1时，ab＞1成立．若a＝﹣2，b＝﹣2，满足ab＞1，但a＞1且b＞1不成立，∴“a＞1且b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，属于基础题型. 三、解答题16．学校某社团参加某项比赛，需用木料制作如图所示框架，框架下部是边长分别为的矩形，上部是一个半圆，要求框架围成总面积为.（1）试写出用料（即周长）关于宽的函数解析式，并求出的取值范围；（2）求用料（即周长）的最小值，并求出相应的的值.【答案】（1），；（2），此时【解析】【分析】（1）根据面积可得到与的关系，写出周长即可（2）根据（1）写出的，利用均值不等式求解即可.【详解】（1），，，由得.（2），，当且仅当，即等号成立.【点睛】本题主要考查了实际问题中的函数关系，均值不等式，属于中档题.17．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值；(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.【答案】(1) a＝6，b＝9，c＝－8;(2) {－2，－1,0,1}【解析】【分析】（1）因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0即得c＝－8. 因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，从而求出a,b的值.(2)先求出P＝－≤x≤1}，再求集合P∩Z.【详解】(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.(2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1，所以P＝－≤x≤1}，所以P∩Z＝－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}．【点睛】（1）本题主要考查集合的运算关系，考查二次方程的根，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是根据A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}分析得到A＝{3}.18．如图所示，是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰米，.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸，上分别取点，（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道（宽度不计），使得三角形和四边形的周长相等. （1）若水上观光通道的端点为线段的三等分点（靠近点），求此时水上观光通道的长度；（2）当为多长时，观光通道的长度最短？并求出其最短长度.【答案】(1) 水上观光通道的长度为米;(2) 当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.【解析】分析：（1）在等腰中，过点作于，先计算出，，再利用余弦定理求出EF的长度.(2) 设，，先求出EF的表达式，再利用基本不等式求其最短长度.详解：（1）在等腰中，过点作于，在中，由，即，∴，，∴三角形和四边形的周长相等.∴，即，∴.∵为线段的三等分点（靠近点），∴，，在中，，∴米.即水上观光通道的长度为米.（2）由（1）知，，设，，在中，由余弦定理，得.∵，∴.∴，当且仅当取得等号，所以，当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.点睛：（1）本题主要考查利用余弦定理解三角形，考查利用基本不等式求函数的最小值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 基本不等式有三种形式，本题利用的是（当且仅当a=b时取等）.19．已知命题p：∀x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命题q：∃x∈R，ax2﹣2x+a＜0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围．【答案】（﹣∞，1）∪[2，+∞）.【解析】【分析】通过分离参数求函数的最大值化简命题p；通过对二次项系数的讨论求出a的范围化简命题q；据复合命题的真假得出命题p，q的真假，求出a的范围．【详解】由命题p得，因为sinx∈[﹣1，1]，所以当sinx＝﹣1时，（2sin2x﹣sinx﹣1）max＝2，所以命题p：a≥2由命题q得：当a≤0时显然成立；当a＞0时，需满足△＝4﹣4a2＞0，解得0＜a＜1所以命题q：a＜1因为命题p∨q为真，命题p∧q为假，所以命题p和q一真一假若命题p真q假，则a≥2；若命题p假q真，则a＜1综上，实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪[2，+∞）【点睛】本题考查通过分离参数求函数的最值求参数的范围、解决二次函数注意对二次项系数的讨论、复合命题的真假与构成其简单命题的真假关系的问题，属于基础题．20．已知，，（1）若不等式恒成立，求实数的最小值；（2）又，若恒成立，求正实数的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）对m进行参变分离得，由已知得，再由均值不等式求出的最小值，得解. （2）根据不等式恒成立的条件得，再利用均值不等式和求出的最小值，得解.【详解】（1）因为恒成立，恒成立，而，当且仅当时取等号，，，从而的最小值为；（2）恒成立，，又因为，所以，所以或（舍去，），，即的最小值为4．故得解.【点睛】本题考查运用最值法解决不等式的恒成立问题，解题的关键是先运用恒成立的思想：若，则；若，则；再利用均值不等式求最值，属于中档题.