2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2) 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是(　　)A． B．C． D．【答案】B【解析】试题分析：．故选B．考点：解一元二次不等式．2．已知实数 满足则的最大值为（   ）A．1 B．11 C．13 D．17【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值，得到答案．【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，设，可化为直线，由图象可知当直线过点A时，此时在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即点，所以目标函数的最大值为，即的最大值为，故选C．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．3．设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（       ）A．（38－3m3 B．16 m3 C．4m3 D．14 m3【答案】B【解析】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，∴，即，解得，∴．∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．∴车厢容积的最大值为．选B．4．已知集合，，则（　　）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】解不等式，得出集合，再利用补集的定义得出.【详解】解不等式，即，得，，因此，，故选：C.【点睛】本题考查补集的计算，解题的关键就是解出不等式，得出全集，再结合补集的定义进行求解，考查计算能力，属于基础题.5．已知全集，则集合等于(      )A． B． C． D．【答案】B【解析】由方程，解得或，即，，全集，故选B.6．“”是“关于的方程有实数根”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若关于的方程有实数根，一元二次方程即：，则，据此可得：“”是“关于的方程有实数根”的充分不必要条件.本题选择A选项.7．设变量满足约束条件，则目标函数＝的最大值为（ ）A．    B．    C．    D．不存在【答案】C【解析】试题分析：画出约束条件所表示的可行域，如图所示，即为区域中的点和点连续的斜率，，，，可得，故选C.考点：简单的线性规划.  二、填空题8．已知实数满足条件，则的最小值是_______.【答案】1【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后整理目标函数的解析式，结合目标函数的几何意义即可求得目标函数的最小值.详解：线性约束条件所表示的可行域如图所示，其中A（2，1），所以2x+y-3>0，所以，其中表示点（x，y）与（0，3）连线的斜率，其最小值为点A与（0，3）连线的斜率，即，所以的最小值是1.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．9．（2015秋•嘉兴期末）设非空集合S={x|m≤x≤l}对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围     ．【答案】．【解析】试题分析：由m的范围求得m2=∈S，再由题意列关于l的不等式组，解该不等式组即得l的范围．解：由m=﹣时，得m2=∈S，则，解得：≤l≤1；∴l的范围是[，1]．故答案为：．考点：元素与集合关系的判断．10．已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为       。【答案】【解析】试题分析：将x和a分开得，设，则关于的方程在上有解，等价于的值域有交集，，求出在上的值域为[-15,-1）,所以只要让 ，即，考点：本题考查分离参数法点评：将方程有解转化为两函数值域有交集，求出含x的函数的值域，等于另外一个含a的函数的值域，求出a的范围11．已知函数＝若函数有3个零点，则实数的取值范围是________．【答案】[0，1）【解析】试题分析：若函数有3个零点，即y＝f（x）与y＝m有3个不同的交点，作出f（x）的图象和y＝m的图象，可得出m的取值范围是m∈[0，1）．考点：考查了函数的零点点评：解本题的关键是把问题转化为y＝f（x）与y＝m有3个不同的交点，利用数形结合使问题更直观．12．已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】根据题意，设与关于原点的对称，分析可得的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，设与关于原点的对称，则的坐标为，若、均在不等式表示的平面区域内，则有，解可得：，即的取值范围为，；故答案为：，．【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．13．已知全集集合，则_______.【答案】【解析】【分析】先解分式不等式确定集合A,再求补集即可【详解】，则故答案为：【点睛】本题考查补集运算，准确求得集合A是关键，是基础题14．已知点的坐标满足条件 设为原点，则的最小值是____．【答案】【解析】画出所表示的可行域，如图，由图可知，当的最小值是到直线的距离，由点到直线距离公式可得 ，即的最小值是，故答案为.15．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据并集定义分类讨论4可能对应的元素，再通过验证确定结果.【详解】若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求，若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A∪B)，∴a＝2.【点睛】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 三、解答题16．已知全集，，求，，.【答案】，，【解析】【分析】根据集合的交集、并集和补集的运算，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，可得，，又由，所以.【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集和补集的运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算概念，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．已知函数 的定义域为 ，集合 （1）若 ，求 ；（2）若，求实数 的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：由题意可得.(1)若，结合交集的定义可知；(2)由题意可知，据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：由 得 ，则 （1）若 ，则 ，（2）由，得 由 得 ∴实数 的取值范围是 18．已知集合A={x|2≤2x≤32}，B={x|y=log2（3﹣x）}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|x≥a+1}，且（A∩B）⊆C，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）A∩B={x|1≤x＜3}；（Ⅱ）a≤0．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出A与B中其他不等式的解集，确定出A与B，求出A∩B即可；（Ⅱ）由A与B交集是C的子集，由A与B的交集及C求出a的范围即可．解：（Ⅰ）由集合A中的不等式2≤2x≤32，变形得：21≤2x≤25，解得：1≤x≤5，即A={x|1≤x≤5}，令3﹣x＞0，得x＜3，得到B={x|x＜3}，则A∩B={x|1≤x＜3}；（Ⅱ）∵A∩B={x|1≤x＜3}，C={x|x≥a+1}，若（A∩B）⊆C，∴a+1≤1，解得：a≤0．考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．19．设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）g（x）=x    （2）存在，a=c=，b=．【解析】【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．【详解】（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0），可得a-b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1-b=a+c，又ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）2-4ac≤0，即为（a+c）2-4ac≤0，即有a=c；又（a-）x2+bx+c-≤0恒成立，可得a＜，且b2-4（a-）（c-）≤0，即有（1-2a）2-4（a-）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1-2a，可取a=c=，b=．满足题意．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题．20．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，是数列的前项和，若，求的最小值.【答案】（I）.（II）的最小值为100.【解析】分析：（Ⅰ）根据，，成等差数列可求得，于是可得数列的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，然后根据裂项相消法求得，再由，得，从而得到，所以的最小值为100．详解：（I）∵，，成等差数列，∴，又数列是公比为2的等比数列，∴，解得，∴．（II）由（Ⅰ）得，∴．由，得，∴，又，∴的最小值为100.点睛：用裂项法求和的原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．