2020届二轮复习函数的单调性与最值课时作业（全国通用） 练习

第2节 函数的单调性与最值

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是(　　)

(A)f(x)＝－x3   (B)f(x)＝

(C)f(x)＝－tan x   (D)f(x)＝

A　解析：因为f(x)＝－x3，定义域为(－∞，＋∞)，

所以f(－x)＝－f(x)，设x1<x2，则－x>－x，

所以f(x)＝－x3既是奇函数又是减函数．

因为f(x)＝，定义域(－∞，0]，

所以f(x)＝不是奇函数．

f(x)＝－tan x在定义域上不是减函数．

f(x)＝在定义域上不是减函数．

2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x的取值范围是(　　)

(A)(－1,1)   (B)(0,1)

(C)(－1,0)∪(0,1)   (D)(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D　解析：因为f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，所以x<－1或x>1.

3．给定函数①y＝x；②y＝log(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　)

(A)①②   (B)②③

(C)③④   (D)①④

答案：B

4．(2018昆明二模)设函数f(x)＝的最小值是1，则实数a的取值范围是(　　)

(A)(－∞，4]   (B)[4，＋∞)

(C)(－∞，5]   (D)[5，＋∞)

B　解析：∵x≥1时，ln x＋1的最小值为1，∴要使f(x)＝的最小值是1，必有x＜1时，y＝x2－4x＋a的最小值不小于1，因为y＝x2－4x＋a在(－∞，1)上递减，所以x＜1时，y＞a－3，则a－3≥1，a≥4，实数a的取值范围是[4，＋∞)，故选B.

5．(2019湖南衡阳)若函数f(x)＝2x－a＋1＋－a的定义域与值域相同，则a＝(　　)

(A)－1   (B)1

(C)0   (D)±1

B　解析：f(x)为增函数，定义域为[a，＋∞)，值域为[2－a，＋∞)，所以a＝2－a，a＝1.

6．设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是增函数”是“函数g(x)＝xa在R上是增函数”的(　　)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

D　解析：函数f(x)＝ax在R上是增函数，即a＞1；但当a＝2时，函数g(x)＝x2在R上不是增函数．函数g(x)＝xa在R上是增函数时，可有a＝，此时函数f(x)＝ax在R上不是增函数．故选D.

7．对于函数①f(x)＝lg(|x－2|＋1)；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x＋2)，判断如下三个命题的真假：

命题甲：f(x＋2)是偶函数；

命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；

命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

能使甲、乙、丙均为真命题的所有函数的序号是(　　)

(A)①③   (B)①②

(C)③  (D)②

答案：D

8．(2019中山质检)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________．

解析：由题意知，

当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；

当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，

二次函数的图象如图．

由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数．

答案：(－∞，－1]，[0,1]

9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．

解析：利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函数值大小关系转化为不等式求解．

∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，

∴在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，

∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，

∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.

答案：

10．已知函数f(x)在R上满足＝0(λ≠0)，且对任意的实数x1≠x2(x1>0，x2>0)时，有>0成立，如果实数t满足f(ln t)－f(1)≤f(1)－fln ，那么t的取值范围是________．

解析：根据已知条件及偶函数、增函数的定义可知f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数，

所以由f(ln t)－f(1)≤f(1)－fln 得f(ln t)≤f(1)，

所以|ln t|≤1，－1≤ln t≤1，

所以≤t≤e，

所以t的取值范围为，e.

答案：，e

11．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，x＞1时，f(x)＜0，判断函数f(x)的单调性．

解：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则＞1，所以f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f＜0.

所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．

能力提升练(时间：15分钟)

12．(2018威海模拟)已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(　　)

(A)(－1,2)   (B)(1,4)

(C)(－∞，－1)∪[4，＋∞)   (D)(－∞，－1]∪[2，＋∞)

答案：D

13．(2018衢州一模)函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)满足f(1)>1，则函数y＝loga(x2－1)的单调减区间为(　　)

(A)(1，＋∞)   (B)(－∞，0)

(C)(－∞，－1)   (D)(0，＋∞)

C　解析：因为f(x)＝ax(a>0且a≠1)满足f(1)>1，

所以a>1.

设t＝x2－1，由t＝x2－1>0得x>1或x<－1.

因为y＝logat是增函数，

所以要求函数y＝loga(x2－1)的单调减区间，

即求函数t＝x2－1的单调减区间．

因为t＝x2－1的单调减区间是(－∞，－1)，

所以y＝loga(x2－1)的单调减区间为(－∞，－1)．

14．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于__________．

解析：由f(1＋x)＝f(1－x)得函数f(x)关于x＝1对称，故a＝1，则f(x)＝2|x－1|，由复合函数单调性得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故m≥1，所以实数m的最小值等于1.

答案：1

15．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性；

(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．

解：(1)因为当x>0，y>0时，f＝f(x)－f(y)，

所以令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.

(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝f.

因为x2>x1>0，所以>1，所以f>0.

所以f(x2)>f(x1)，

即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数，

所以f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，

因为f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，

知f＝f(16)－f(4)，

所以f(16)＝2f(4)＝4，

所以f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．