2020届二轮复习函数的最大（小）值课时作业（全国通用） 练习

2020届二轮复习   函数的最大（小）值   课时作业（全国通用）

1.函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为(　C　)

(A)f(2),f(-2)

(B)f(),f(-1)

(C)f(),f(-)

(D)f(),f(0)

解析:根据函数最值定义,结合函数图象可知,当x=-时,有最小值f(-);当x=时,有最大值f().

2.若函数y=f(x)的定义域是R,且对任意x∈R,f(x)≤2恒成立,则f(x)的最大值是(　D　)

(A)2 (B)1.999

(C)1 (D)无法确定

解析:f(x)≤2对x∈R恒成立,只说明函数f(x)的最大值小于或等于2,但函数的最大值无法确定.故选D.

3.设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则等于(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:易知f(x)==2+,

所以f(x)在区间[3,4]上单调递减,

所以M=f(3)=2+=6,m=f(4)=2+=4,

所以==.

4.函数f(x)=|x-3|的最值情况为(　C　)

(A)最小值为3,最大值为+∞

(B)最小值为0,最大值为+∞

(C)最小值为0,无最大值

(D)最大值为0,无最小值

解析:因为f(x)=

所以函数f(x)在(-∞,3]上是减函数,在[3,+∞)上是增函数,故x=3时函数取最小值0,无最大值.

5.已知函数f(x)=x2-2x在区间[-1,t]上的最大值为3,则实数t的取值范围是(　D　)

(A)(1,3]   (B)[1,3]

(C)[-1,3] (D)(-1,3]

解析:因为f(x)=(x-1)2-1,

所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,

在(1,+∞)上单调递增,

且f(-1)=3,

又f(x)=x2-2x在[-1,t]上的最大值为3,故f(t)≤3.

结合f(3)=3知-1<t≤3.选D.

6.(2019·河南省南阳市高一上期中)已知f(x)=-,则(　C　)

(A)f(x)max=,f(x)无最小值

(B)f(x)min=1,f(x)无最大值

(C)f(x)max=1,f(x)min=-1

(D)f(x)max=1,f(x)min=0

解析:由得f(x)定义域为[0,1],

显然f(x)在[0,1]上单调递增,

所以f(x)max=1,f(x)min=-1.

7.已知函数f(x)=2x-3,其中x∈{x∈N|1≤x≤},则函数的最大值为　　　　. 

解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x∈{1,2,3},

函数自变量x的最大值为3,

所以函数的最大值为f(3)=3.

答案:3

8.(2018·江苏苏州高一期末)已知二次函数f(x)=x2+ax+2(a>0)在区间[0,2]上的最大值为8,则函数y=f(x)在[-2,1]上的值域为　　　　. 

解析:因为f(x)=x2+ax+2=(x+)2+2-,

所以函数f(x)的对称轴方程为x=-<0,

又x∈[0,2]时,函数为增函数,故f(2)=6+2a=8,

则a=1,从而f(x)=x2+x+2=(x+)2+,

结合-∈[-2,1]知函数有最小值,

最大值为f(-2)=f(1)=4.

答案:[,4]

能力提升

9.(2019·山东烟台高一上期中)设函数f(x)=mx+1,若f(x)>m-1对任意m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围是(　B　)

(A)(-2,+∞) (B)(0,+∞)

(C)[0,+∞) (D)(-1,+∞)

解析:由题意,知f(x)=mx+1>m-1,

即(x-1)m+2>0对任意m∈[1,2]恒成立,

设g(m)=(x-1)m+2,m∈[1,2],

则

解得

所以x>0,故实数x的取值范围为(0,+∞).

故选B.

10.设x≥0,y≥0且x+2y=1,则2x+3y2的最小值为　　　　. 

解析:由x≥0,y≥0,x+2y=1知0≤y≤,

令Z=2x+3y2=2-4y+3y2=3(y-)2+,

由函数解析式可知函数y∈(-∞,)时递减,

所以当y=时,Z=2x+3y2有最小值.

答案:

11.若用min{a,b,c}表示三个数中的最小值,则函数f(x)=

min｛x,2-x,4-x｝的最大值是　　　　. 

解析:在同一直角坐标系下作出函数y=x,y=2-x,y=4-x的图象,如图,则实线部分即为f(x)的图象,易知图象最高点的纵坐标为函数f(x)的最大值,结合知y=.

答案:

12.若定义F(x)=且f(x)=2-x2,g(x)=x,求函数F(x)

的值域.

解析:在同一直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.则函数F(x)图象为实线部分,

由

可知或

故函数的最大值是1,

因此函值域为{y|y≤1}.

13.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).

(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;

(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x∈[1,2],都有f(x)≤0,求实数a的取值范围.

解:(1)因为f(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+(5-a2),

所以f(x)在(-∞,a]上单调递减,

又a>1,所以f(x)在[1,a]上单调递减,

所以

所以所以a=2.

(2)因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,

所以(-∞,2]⊆(-∞,a],

所以a≥2.

因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,

所以x∈[1,2]时,f(x)max=f(1),

又因为对任意的x∈[1,2],都有f(x)≤0,

所以f(1)≤0,

即1-2a+5≤0,所以a≥3.

综上可知,a的取值范围为[3,+∞).

探究创新

14.(2019·安徽省宿州市十三所重点中学高一上期中)如图,有一块矩形空地,要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y.

(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;

(2)当AE为何值时,绿地面积y最大?

解:(1)S△AEH=S△CFG=x2,

S△BEF=S△DGH= (a-x)(2-x),

所以y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF

=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x.

由得0<x≤2,

所以y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2].

(2)当<2,即2<a<6时,

则x=时,ymax=;

当≥2,即a≥6时,

y=-2x2+(a+2)x在(0,2]上是增函数,

则x=2时,ymax=2a-4.

综上所述,当2<a<6,AE=时,绿地面积取最大值;

当a≥6,AE=2时,绿地面积取最大值2a-4.