2020届二轮复习冲刺提分第10讲 直线与圆作业（江苏专用） 试卷练习
展开第10讲 直线与圆
1.(2019淮安五校联考,10)已知过点(-2,-3)的直线l被圆x2+y2+2x-4y-5=0截得的弦长为6,则直线l的方程是 .
2.(2019镇江期末,13)已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-2)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得PA⊥PB,则实数a的取值范围为 .
3.(2018南通中学高三考前冲刺练习)在平面直角坐标系xOy中,直线ax+y-2a=0与圆x2+y2=1交于A,B两点,若弦AB中点的横坐标为,则实数a的取值集合为 .
4.(2018高考数学模拟(2))在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x+2y=0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=5相切,且圆心C在直线l的上方,则ab的最大值为 .
5.(2018徐州铜山高三第三次模拟)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)及圆上的点A(-r,0),过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C.若AB=2BC,则直线l的斜率为 .
6.(2018扬州中学高三下学期开学考试)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+(y-)2=3相交于点R,S,且PT=RS,则正数a的值为 .
7.(2019南京三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知MN是☉C:(x-1)2+(y-2)2=2的一条弦,且CM⊥CN,P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时,直线l:x-3y-5=0上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,则线段AB长度的最小值是 .
8.已知点P(+1,2-),M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点P的圆C的切线方程;
(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
9.(2018兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校联考)已知圆O:x2+y2=1与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B.
(1)若过点C的直线l被圆O截得的弦长为,求直线l的方程;
(2)若在以B为圆心,r为半径的圆上存在点P,使得PA=PO(O为坐标原点),求r的取值范围;
(3)设M(x1,y1),Q(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x轴的对称点为M2,如果直线QM1,QM2与y轴分别交于点(0,m)和(0,n),问m·n是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
答案精解精析
1.答案 12x-5y+9=0或x=-2
解析 圆x2+y2+2x-4y-5=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=10,因为直线l被圆截得的弦长为6,所以圆心到直线的距离d==1.当直线斜率不存在时,过点(-2,-3)垂直于x轴的直线x=-2符合题意;当斜率存在时,设直线l:y+3=k(x+2),由d=1=解得k=,则直线方程为12x-5y+9=0.所以直线l的方程为12x-5y+9=0或x=-2.
2.答案 [-2,2]
解析 如图,因为PA⊥PB,所以四边形PAOB为矩形,又OA=OB,所以四边形PAOB为正方形,
则OP=,因为圆M的半径为,所以根据三角形两边之和大于第三边,得|OM|≤2,即a2+4≤8,解得-2≤a≤2.
3.答案
解析 易得弦AB的中点C与圆心O的连线与弦AB垂直,则kOC·kAB=-1,即4a·(-a)=-1,解得a=±.故实数a的取值集合为.
4.答案
解析 因为直线l:x+2y=0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=5相切, 所以=.又因为圆心C在直线l的上方,所以a+2b>0.所以a+2b=5.又a+2b=5≥2,所以ab的最大值为,当且仅当a=2b=时,等号成立.
5.答案 或
解析 过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,AB=2BC,则=2或=-2,则C或C.由点C在圆O:x2+y2=r2(r>0)上,得+=r2,r=,或+=r2,r=.故A(-,0)或A,则直线l的斜率,即直线AB的斜率为或.
6.答案 4
解析 易得PT==,且PT的方程为y=±(x+2),设圆(x-a)2+(y-)2=3的圆心(a,)到直线PT的距离为d,则RS==2,所以d=.所以=,或=.又a为正数,则a=4.
7.答案 2-2
解析 圆心C的坐标为(1,2),半径为,
易知PC=1,点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1.
圆心(1,2)到直线l的距离d==,
由大边对大角知,AB最小时,∠APB=.
故当∠APB=,且P在AB的中垂线上时,线段AB的长度最小.
易知ABmin=2-2.
8.解析 由题意得圆心为C(1,2),半径r=2.
(1)∵(+1-1)2+(2--2)2=4,
∴点P在圆C上.
又kPC==-1,
∴切线的斜率k=-=1.
∴过点P的圆C的切线方程是y-(2-)=x-(+1),即x-y+1-2=0.
(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,
∴点M在圆C外部.
当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,
即x-3=0.
又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,
∴直线x-3=0是圆的切线.
当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0,
则圆心C到切线的距离d==r=2,
解得k=.
∴切线方程为y-1=(x-3),
即3x-4y-5=0.
综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.
∵|MC|==,
∴过点M的圆C的切线长为==1.
9.解析 (1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=,符合题意.
若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-=k,即2kx-2y-k+=0.
∴点O到直线l的距离
d=.
∵直线l被圆O截得的弦长为,
∴d2+=1.
∴=,解得k=,
此时直线l的方程为x-y+1=0.
∴所求直线l的方程为x=或x-y+1=0.
(2)设点P的坐标为(x,y),由题意,易得点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,1).由PA=PO,可得=·,化简可得(x-1)2+y2=2.
∵点P在圆B上,∴|r-|≤≤r+.
又r>0,∴0<r≤2.
∴所求r的取值范围是0<r≤2.
(3)∵M(x1,y1),则M1(-x1,-y1),
M2(x1,-y1).
∴直线QM1的方程为y+y1=(x+x1).
令x=0,则m=.
同理可得n=.
∴m·n=·===1.
∴m·n为定值1.
