2020届二轮复习冲刺提分第12讲 椭圆作业（江苏专用） 试卷练习
展开第12讲 椭圆
1.已知正方形ABCD的四个顶点在椭圆+=1(a>b>0)上,AB∥x轴,AD过左焦点F,则该椭圆的离心率为 .
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,直线y=-x与椭圆C交于A,B两点,且AF⊥BF,则椭圆C的离心率为 .
3.已知点P是椭圆+=1上的动点,F1为椭圆的左焦点,定点M(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 .
4.(2017苏北四市一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B1,B2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是 .
5.椭圆C:+=1的一条准线与x轴的交点为P,点A为其短轴的一个端点.若PA的中点在椭圆C上,则椭圆的离心率为 .
6.(2019扬州中学检测,13)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),点A,B1,B2,F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点,若直线AB2与直线B1F的交点M恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为 .
7.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,11)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,上顶点为C,线段BC的中点为M,直线AM与椭圆的另一个交点为D,且DF垂直于x轴,则椭圆离心率e的值为 .
8.(2019南通、如皋二模,10)已知F1,F2分别为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点A,B分别是椭圆E的右顶点和上顶点,若直线AB上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆E的离心率e的取值范围是 .
9.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过F2作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,且△AF1F2的周长是4+2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当|AB|=|DE|时,求△ODE的面积.
答案精解精析
1.答案
解析 不妨设点A在第二象限.由题意,可得A在直线y=-x上,所以=c,即b2=a2-c2=ac,e2+e-1=0(0<e<1),解得e=.
2.答案 -1
解析 设左焦点为F',则四边形F'AFB是平行四边形.又AF⊥BF,所以四边形F'AFB是矩形,所以|OA|=|OF|=c.又∠AOF=120°,所以|AF|=c,|AF'|=c.由椭圆的定义可得|AF|+|AF'|=c+c=2a.故离心率e===-1.
3.答案 15
解析 设椭圆+=1的右焦点为F2,则F2(3,0),|MF2|=5.所以|PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|≤2a+|MF2|=10+5=15,当且仅当点P在MF2的延长线与椭圆的交点处时取等号.故|PM|+|PF1|的最大值为15.
4.答案
解析 因为F(c,0),B2(0,b),B1(0,-b),A(a,0),所以=(c,-b),=(a,b).因为B2F⊥AB1,所以ac-b2=0,即c2+ac-a2=0,故e2+e-1=0,解得e=(负值舍去).
5.答案
解析 不妨设P,A.因为PA的中点在椭圆C:+=1(a>b>0)上,所以+=1.化简得a=c.所以离心率e==.
6.答案
解析 根据题意,得点A的坐标为(-a,0),点B1的坐标为(0,-b),点B2的坐标为(0,b),点F的坐标为(c,0),
则直线AB2的方程为+=1,
直线FB1的方程为+=1,
联立两直线的方程可得-=2.
又直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x=上,
所以-=2,即-=2,
解得=2或=-1(舍),
所以椭圆的离心率e==.
7.答案
解析 易知M,D,由A,M,D共线可知,
=,化简得a+c=3b,
因为b2=a2-c2,所以(a+c)2=9b2=9(a2-c2),所以a+c=9(a-c),所以c=a,
所以e===.
一题多解 如图,连接AC.设AD交y轴于点G,易知点G为三角形ABC的重心,则OG=b,又DF=,=,所以=,即a+c=3b,又b2=a2-c2,所以c=a,所以e=.
8.答案
解析 如图,依题意,得A(a,0),B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),易知直线AB的方程为y=-x+b,
由点P在直线AB上,设P点坐标为.
由PF1⊥PF2,得·=0,
即·=0,
即x2-c2+x2-x+b2=0,
整理,得x2-x+2b2-a2=0,(*)
直线AB上存在点P,使得PF1⊥PF2,即方程(*)有解,
所以Δ=-4(2b2-a2)≥0,
化简,得a4-b2a2-b4≥0,
即a4-(a2-c2)a2-(a2-c2)2≥0,
化简,得a4+c4-3a2c2≤0,
即-+1≤0,
即e4-3e2+1≤0,
解得≤e2≤,即≤e2≤,即≤e2≤,即≤e≤,又椭圆中0<e<1,所以≤e<1.
9.解析 (1)由e=,知=,所以c=a.
因为△AF1F2的周长是4+2,
所以2a+2c=4+2,
所以a=2,c=,故b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)分析知直线l2的斜率存在,且不为0,设l1的方程为x=my+.
与椭圆方程联立,得
消去x并整理,得
y2+y-=0.
所以|AB|=|y1-y2|=·=.
同理|DE|==.
所以=×,
解得m2=2.
所以|DE|=,直线l2的方程为y=±(x-).
所以点O到直线l2的距离d=.
故S△ODE=××=.
