2020届二轮复习冲刺提分第9讲 立体几何的综合问题作业（江苏专用）
展开第9讲 立体几何的综合问题
1.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且 ,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有 .
2.(2019课标全国Ⅱ理改编,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 .
①α内有无数条直线与β平行;
②α内有两条相交直线与β平行;
③α,β平行于同一条直线;
④α,β垂直于同一平面.
3.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是 .
4.将一个真命题中的“平面”换成“直线”,“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题:①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是 .
5.(2019无锡期末,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB,AB⊥AD,AB⊥BC.
求证:(1)BC∥平面PAD;
(2)平面PAD⊥平面ABCD.
6.(2019课标全国Ⅱ文,17,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.
答案精解精析
1.答案 ①或③
解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,因为n和m在同一平面内,且没有公共点,所以m∥n,故③正确.
2.答案 ②
解析 本题考查直线、平面平行与垂直的位置关系;以充要条件和面面平行为背景考查推理论证能力与空间想象能力;考查的核心素养为逻辑推理.
①③④选项中α与β可能相交.
3.答案 ①②③
解析 由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;由AD为等腰直角三角形ABC斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,易知,AB=AC=BC,所以△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又△BAC为等边三角形,则③正确;不能得出平面ADC⊥平面ABC,④错.
4.答案 ①③
解析 由线面垂直的性质定理可知①是真命题,且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题,故①是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以②是假命题,不是“可换命题”;显然,③是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题,故③是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故④是假命题,不是“可换命题”.综上,填①③.
5.证明 (1)在四边形ABCD中,AB⊥AD,AB⊥BC,
∴AD∥BC,
∵AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,
∴BC∥平面PAD.
(2)作DE⊥PA于点E.
∵平面PAD⊥平面PAB,平面PAD∩平面PAB=PA,
DE⊂平面PAD,
∴DE⊥平面PAB,
∵AB⊂平面PAB,∴DE⊥AB.
∵AB⊥AD,AD∩DE=D,
∴AB⊥平面PAD,
∵AB⊂平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
6.解析 本题考查了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积,考查了空间想象能力,主要体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.
(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.
又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.
作EF⊥BB1,垂足为F,如图,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.
所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.
