2020届二轮复习(文)等差数列、等比数列作业 练习

专题限时集训(三)　等差数列、等比数列

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．(2019·青岛模拟)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D.

B　[在等差数列{an}中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2.故选B.]

2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为(　　)

A．3  B．－3  C．－  D.

D　[设数列{an}的公比为q，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.故选D.]

3．(2019·长沙模拟)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和等于(　　)

A．130  B．120  C．55   D．50

C　[由a1＝2，an＋1－2an＝0可知，{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，故bn＝log2an＝n，故数列{bn}的前10项和为S10＝＝55.]

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

A　[由a4＋a6＝2a5＝－6得a5＝－3，则公差为＝2，所以由an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13≤0得n≤，所以前6项和最小，故选A.]

5．(2019·郑州模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，＝Sn，则S10＝(　　)

A.  B．－  C．10  D．－10

B　[由＝Sn，得an＋1＝SnSn＋1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，即－＝－1，所以数列是以＝＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以＝－10，所以S10＝－，故选B.]

6．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.

　[设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.

∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，

即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，

∴S4＝＝.]

7．(2019·自贡模拟)若等比数列{an}满足an＞0(n∈N*)，公比q＝2，且a1·a2·…·a30＝230，则a1·a4·a7·…·a25·a28＝________.

1　[因为230＝a1·a2·…·a30＝a1·a1q·a1q2·a4·a4q·a4q2·…·a25·a25q·a25q2·a28·a28q·a28q2＝(a1·a4·…·a25·a28)3q30，又q＝2，所以a1·a4·a7·…·a25·a28＝1.]

8．已知等差数列{an}的前9项和等于它的前4项和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.

10　[设等差数列{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×]＋[1＋(4－1)×]＝0，解得k＝10.]

[能力提升练]

(建议用时：15分钟)

9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为(　　)

A.升  B.升  C.升  D.升

A　[自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.故选A.]

10．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 018＝(　　)

A．92 017  B．272 017  C．92 018  D．272 018

D　[由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．

数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.

又cn＝ban＝33n，∴c2 018＝33×2 018＝272 018，故选D.]

11．设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.

[解]　(1)设{an}的公差为d.

因为a2＋a3＝5ln 2，

所以2a1＋3d＝5ln 2.

又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.

所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.

(2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean-an－1＝eln 2＝2(n≥2)，

所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．

所以ean＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)．

12．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.

[解]　(1)由an＋1＝2Sn＋1，

可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，

两式相减得an＋1－an＝2an，

则an＋1＝3an(n≥2)．

又a2＝2S1＋1＝3，a1＝1，所以a2＝3a1.

故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.(n∈N*)．

(2)设{bn}的公差为d.

由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，

故b1＝5－d，b3＝5＋d，

又a1＝1，a2＝3，a3＝9，

由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，

可得(5－d＋1)·(5＋d＋9)＝(5＋3)2，

解得d＝2或d＝－10.

因为等差数列{bn}的各项为正，

所以d＞0，所以d＝2，则b1＝3，

所以Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.

【押题1】　正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a3＋a7－a＋15＝0，且Sn＝45，则n＝(　　)

A．8　　　　B．9　　　　C．10　　　　D．11

B　[因为{an}是正项等差数列，a3＋a7－a＋15＝0，

所以a－2a5－15＝0，解得a5＝5(a5＝－3舍去)．

设{an}的公差为d，由a5＝a1＋4d＝1＋4d＝5，解得d＝1.

所以Sn＝＝＝＝45，即(n＋1)n＝90，

进而得n2＋n－90＝(n＋10)(n－9)＝0，解得n＝9(n＝－10舍去)，故选B.]

【押题2】　(2019·济宁一模)已知等差数列{an}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2＋S3＝10.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)设cn＝bn＋，求数列{cn}的前n项和Tn.

[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d(d＞0)，等比数列{bn}的公比为q，

由题意得

解得

∴an＝n，bn＝2n.

(2)由(1)知Sn＝，

∴cn＝bn＋＝2n＋＝2n＋2，

∴Tn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋2

＝＋2

＝2n＋1－.