2020二轮复习(理)　等差数列、等比数列作业 练习

专题限时集训(三)　等差数列、等比数列

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．[一题多解]已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于(　　)

A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．3

C　[法一：(基本量法)由题设得解得故选C.

法二：(性质法)因为S3＝＝12，所以a1＋a3＝8，所以2a2＝8，即a2＝4.又a3＝6，故公差d＝a3－a2＝6－4＝2.故选C.]

2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　)

A．28 B．14

C．7 D．2

B　[∵{an}是等差数列，∴a3＋a6＝a4＋a5＝a5＋2，

∴a4＝2.

∴S7＝7a4＝7×2＝14.故选B.]

3．[易错题]在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的两根，则的值为(　　)

A．2 B．4

C．±2 D．±4

A　[∵a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，

∴a3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均为正，∴a9＝a3q6＞0.由等比数列的性质知，a1a17＝a＝a3a15＝8，∴a9＝2，＝2，故选A.]

4．设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)

A．－2      B．－1       C.        D.

B　[S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2 ，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0 ，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1 (舍)或q＝，当q＝ 时，代入S2＝3a2＋2，

得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1，故选B.]

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)

A．6 B．7 

C．12 D．13

C　[∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0, a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.]

6．[易错题]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝，S3＝，则公比q＝________.

1　[(1)当公比q＝1时，S3＝3a1＝3a2＝，满足题意．

(2)当公比q≠1时，由S3＝a1＋a2＋a3＝，可知a1＋a3＝3，∴＋＝3得q＝1(舍去)．

综上可知，q＝1.]

7．(2019·武汉模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 019，则m＝________.

1 010　[设公差为d，由题知S3＝a5，即3a1＋3d＝a1＋4d，又a1＝1，故d＝2，于是an＝1＋2(n－1)＝2n－1，再由2m－1＝2 019，得m＝1 010.]

8．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

8　[∵{an}成等差数列，∴由a7＋a8＋a9＞0可得a8＞0，

又a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0，故a8＞0，a9＜0，

∴当n＝8时，Sn最大．]

[能力提升练]

(建议用时：20分钟)

9．(2019·马鞍山二模)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，则Sn与an的关系是(　　)

A．Sn＝2an－1 B．Sn＝2an＋1

C．Sn＝4an－3 D．Sn＝4an－1

A　[设等比数列的公比q(q＞0)，由a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，得2a2＝a4－a3，即2q＝q3－q2，得q＝2，∴an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，则Sn＝2an－1.故选A.]

10．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan＝________.

－　[∵{an}是等比数列，{bn}是等差数列，

且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，

∴a＝()3,3b6＝7π，

∴a6＝，b6＝，

∴tan＝tan

＝tan＝tan＝－.]

11．已知数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，则an取最小值时n的值为________．

10或11　[由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，所以数列是首项为－40、公差为2的等差数列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，对于二次函数f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，因为n取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n取10或11时，an取最小值．]

12．(2019·长春三模)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，a1＝2，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋2n＋1，b1＝1.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求数列{bn}的通项公式．

[解](1)证明：根据题意，数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，

等式两边除以2n＋1得＝＋，

故数列是以＝1为首项，为公差的等差数列．

(2)根据题意，由bn＋1＝bn＋2n＋1得bn＋1－bn＝2n＋1，

则bn－bn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，

则bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1

＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2.

【押题1】　正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a3＋a7－a＋15＝0，且Sn＝45，则n＝(　　)

A．8　　　　　 B．9

C．10 D．11

B　[因为{an}是正项等差数列，a3＋a7－a＋15＝0，

所以a－2a5－15＝0，解得a5＝5(a5＝－3舍去)．

设{an}的公差为d，由a5＝a1＋4d＝1＋4d＝5，解得d＝1.

所以Sn＝＝＝＝45，即(n＋1)n＝90，进而得n2＋n－90＝(n＋10)(n－9)＝0，解得n＝9(n＝－10舍去)，故选B.]

【押题2】　已知数列{an}满足a1＝a,2an－an＋1＝n－1，设bn＝an－n.

(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(2)若a＝2，求{an}的前n项和Sn.

[解](1)根据题意，数列{an}满足2an－an＋1＝n－1，

变形可得2an－2n＝an＋1－(n＋1)，

又由bn＝an－n，则2bn＝bn＋1，

又由a1＝a，则b1＝a－1，

当a≠1时，b1≠0，则数列{bn}为等比数列，

当a＝1时，b1＝0，则数列{bn}不是等比数列．

(2)由(1)的结论，a＝2，则b1＝a－1＝1，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，

则bn＝1×2n－1＝2n－1，

即an－n＝2n－1，则an＝2n－1＋n，

则Sn＝20＋1＋21＋2＋22＋3＋…＋2n－1＋n

＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝2n－1＋.