2020届二轮复习(文)直线与圆作业 练习

专题限时集训(九)　直线与圆

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．(2019·长春模拟)过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)

A．±1　　　　B．±　　　　C．±　　　　D．±2

A　[由题意，设直线l的方程为y＝kx＋1，

因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，

又弦长|AB|＝，

所以圆心到直线的距离为d＝＝＝.

所以有＝，

解得k＝±1.]

2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切   B．相交

C．外切   D．相离

B　[圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．]

3．(2019·江阴模拟)点P是直线x＋y－2＝0上的动点，点Q是圆x2＋y2＝1上的动点，则线段PQ长的最小值为(　　)

A.－1  B．1  C.＋1  D．2

A　[根据题意，圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径r＝1，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝，

则线段PQ长的最小值为－1，故选A.]

4．[一题多解]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为(　　)

A．－2  B．－1  C．0  D．1

C　[法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，

则Δ＝4k2＋12(k2＋1)＞0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，

故M，又点M在圆C上，

故＋＝4，解得k＝0.

法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0,0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.]

5．(2019·惠州模拟)已知直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点，点A为定点(2,0)，则|PA|的最大值为(　　)

A.－   B．5＋

C．2＋   D.＋

D　[根据题意，圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13的圆心C为(－3，m)，半径r＝，若直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，则圆心到直线的距离d＝＝1，

则有＝1，解可得：m＝2或m＝(舍)，

则m＝2.

点A为定点(2,0)，则|AC|＝＝，

则|PA|的最大值为|AC|＋r＝＋.

故选D.]

6．过点C(3,4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为________．

4　[以OC为直径的圆的方程为2＋(y－2)2＝2，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－＝5－，化简得3x＋4y－5＝0，

所以点C到直线AB的距离

d＝＝4.]

7．已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝，则实数a＝________.

±　[直线l的方程可变形为y＝ax＋4，所以直线l过定点(0,4)，且该点在圆M上．圆的方程可变形为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心为M(0,2)，半径为2.如图，因为∠AMB＝，所以△AMB是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心M到直线l的距离为，所以＝，解得a＝±.]

8．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为________．

(－3，3)　[由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝2＋1，即d＝＝＜3，解得a∈(－3，3)．]

[能力提升练]

(建议用时：15分钟)

9．(2019·武汉模拟)已知圆C经过点A(0,0)，B(7,7)，圆心在直线y＝x上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程．

[解]　(1)根据题意，设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

因为圆C经过点A(0,0)，B(7,7)，圆心在直线y＝x上，

则有解得

则圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.

(2)若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，

分2种情况讨论：

①直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，

解得k＝－，此时直线l的方程为y＝－x；

②直线l不经过原点，设直线l的方程为x＋y－m＝0，则有＝5，解得m＝7＋5或7－5，

此时直线l的方程为x＋y＋5－7＝0或x＋y－5－7＝0.

综上可得：直线l的方程为y＝－x或x＋y＋5－7＝0或x＋y－5－7＝0.

10．(2019·南昌模拟)如图，已知圆O的圆心在坐标原点，点M(，1)是圆O上的一点．

(1)求圆O的方程；

(2)若过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A，B两点．在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)点M(，1)是圆O上的一点，可得圆O的半径为＝2，

则圆O的方程为x2＋y2＝4.

(2)若直线l的斜率为0，可得直线方程为y＝1，A(，1)，B(－，1)，

由|PA|＝|PB|，可得|QA|＝|QB|，即Q在y轴上，设Q(0，m)，

若过点P(0,1)的动直线l的斜率不存在，设直线方程为x＝0，

则A(0,2)，B(0，－2)，由＝可得

＝，解得m＝1或4，由Q与P不重合，可得Q(0,4)，

下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点，也满足＝成立．

若直线的斜率存在且不为0，可设直线方程为y＝kx＋1，

联立圆x2＋y2＝4，可得(1＋k2)x2＋2kx－3＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

可得x1＋x2＝－，x1x2＝－，

由kQA＋kQB＝＋＝＋

＝2k－3＝2k－3·＝2k－3·＝0，

可得QA和QB关于y轴对称，即＝成立．

综上可得，存在定点Q，点Q的坐标为(0,4).

【押题1】　若⊙O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1与⊙O2：(x－a)2＋(y＋2)2＝4(a∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．

　[由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥AO2.

连接O1O2(图略)，在Rt△AO1O2中，AO1＝1，AO2＝2，AO1⊥AO2，

所以O1O2＝＝，所以△AO1O2斜边上的高h＝，所以AB＝2h＝.

所以线段AB的长度是.]

【押题2】　已知圆(x＋1)2＋y2＝16的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(1,0)，点G在线段MP上，且满足(＋)⊥(－)．

(1)求点G的轨迹C的方程；

(2)过点D(0,2)的直线l与曲线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过原点O，求直线l的方程．

[解]　(1)因为(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝0，即2－2＝0，所以||＝||，所以|GM|＋|GN|＝|GM|＋|GP|＝|MP|＝4＞2＝|MN|，

所以点G在以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆上．

可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，则b2＝3，

所以点G的轨迹C的方程为＋＝1.

(2)由题意知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，

由消去y可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，

由Δ＞0得k2＞.(*)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，

因为以AB为直径的圆恰好过原点O，所以OA⊥OB，即·＝0，则有x1x2＋y1y2＝0，

所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0，(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，得－＋4＝0，即4(1＋k2)－32k2＋4(3＋4k2)＝0，

解得k2＝，满足(*)式，所以k＝±.

故直线l的方程为y＝±x＋2.