2020届二轮复习等差数列、等比数列教案（全国通用）

2020届二轮复习  等差数列、等比数列  教案（全国通用）

1．等差数列

(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)；

(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；

(3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋；

(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；

②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.

2．等比数列

(1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数)；

(2)通项公式：an＝a1qn－1；

(3)前n项和公式：Sn＝

(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；

②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．

3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).学——科网

【误区警示】

1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．

2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．

3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．

4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.

高频考点一、等差数列、等比数列的基本运算

例1、（2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，

若公比，则，不合题意；

若公比，则

但，

即，不合题意；

因此，

，选B.

【变式探究】【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A．1    B．2    C．4    D．8

【答案】C

【解析】因为，即，则，即，解得，故选C.

【变式探究】(1)在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)

A．－3　　　 B．－1　　　 C．1　　　 D．3

(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

解析：(1)两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.

(2)法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.∴a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，∴d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.

法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，∴a3＝2.

∴由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，∴a2＝－1.

公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.

答案：(1)D　(2)20

【变式探究】(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)

A.  B.  C．10  D．12

(2)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　)

A.  B.  C．1  D．2

高频考点二、等差数列、等比数列的判断与证明

 例2、已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，故a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，∴＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝.

(2)解：由(1)得Sn＝1－.

由S5＝得1－＝，即＝.

解得λ＝－1.

【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.

(1)求证：是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

(1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，

得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，

∴－＝2(n≥2，n∈N*)，

又＝＝2，

故是首项为2，公差为2的等差数列．

(2)解：由(1)知，＝2n，故Sn＝，

an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)，

∴an＝

高频考点三、等差数列、等比数列的综合应用

例3、（2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列

{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由是的等差中项得，

所以，

解得.

由得，

因为，所以.

（Ⅱ）设，数列前n项和为.

由解得.

由（Ⅰ）可知，

所以，

故，

                       .

设，

所以，

因此，

又，所以.

【变式探究】【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440    B．330    C．220    D．110

【答案】A

【解析】由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

，

要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，

所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小整数，故选A.

【变式探究】已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{bn}的前n项和．

解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.

∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.

【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？

解：(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.

若a1＝0，则Sn＝0.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，

∴an＝0(n≥1)．

若a1≠0，则a1＝.

当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，

两式相减得2an－2an－1＝an，

∴an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，

∴an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.

10. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

（1）求的值；

（2）求的表达式(用n表示)．

【答案】（1）2  5

（2）n≥5时，

【解析】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

，

所以．

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．

为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

当n≥5时，

，

因此，n≥5时， ．

11. （2018年全国Ⅱ卷理数） 记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．

【解析】

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．

（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

12. （2018年全国Ⅲ卷理数）等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【答案】（1）或

（2）

1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A．1    B．2    C．4    D．8

【答案】C

【解析】因为，即，则，即，解得，故选C.

2.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ）

A．1盏               B．3盏             C．5盏                 D．9盏

【答案】B

【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．

3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440    B．330    C．220    D．110

【答案】A

【解析】由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

，

要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，

所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小整数，故选A.

1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （    ）

（A）100       （B）99      （C）98         （D）97

【答案】C

【解析】由已知,所以故选C.

2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，

（）.若（   ）

A．是等差数列                          B．是等差数列

C．是等差数列                          D．是等差数列

【答案】A

3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..

【答案】6

【解析】∵是等差数列，∴，，，，

∴，故填：6．

整理得，因此有，

即，解得，

同理有，即，解得，

，，；

（2）由题意得，

由（1）知，，，猜想，

假设当时，猜想成立，即，则有，

则当时，有，

这说明当时，猜想也成立，

由归纳原理知，对任意，.

【考点定位】数列的通项

13. 【2014高考湖北理第18题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）或.

（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.

当时，，

令，即，

解得或（舍去）

此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.

综上所述，当时，不存在正整数；

当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.

【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式.