2020届二轮复习（理）高难拉分攻坚特训(六)作业 练习

高难拉分攻坚特训(六)

1．已知函数f(x)＝－ax有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)   B．(1，＋∞)

C.   D.

答案　A

解析　f(x)＝－ax，令f(x)＝0，可得ax＝，当x＝0时，上式显然不成立；可得a＝(x≠0)有且只有2个不等实根，等价为函数g(x)＝的图象和直线y＝a有且只有两个交点．由g′(x)＝<0恒成立，可得当x＞0时，g(x)单调递减；当x＜0时，g(x)单调递减．且g(x)＝>0在x>0或x<－1时恒成立，作出函数g(x)的大致图象，如图，由图象可得a>0时，直线y＝a和y＝g(x)的图象有两个交点．故选A.

2．已知底面是正六边形的六棱锥P－ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为________．

答案　

解析　因为六棱锥P－ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P－ABCDEF为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h，则×h＝，解得h＝2.记球O的半径为R，根据平面截球面的性质，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝，所以球O的表面积为4πR2＝4π2＝.

3．已知函数f(x)＝x2－1＋aln (1－x)，a∈R.

(1)若函数f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1<x2.证明：>.

解　(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，1)，

∵f′(x)＝2x－＝(x<1)，

对于y＝－2x2＋2x－a，

∵Δ＝4－8a，

①若Δ≤0，即a≥，则－2x2＋2x－a≤0恒成立，

∴f(x)在(－∞，1)上为单调减函数．

②若Δ>0，即a<，方程－2x2＋2x－a＝0的两根为x1＝，x2＝，x2>>x1，

∴当x∈(－∞，x1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，不符合题意．

综上，实数a的取值范围为.

(2)证明：因为函数f(x)有两个极值点，所以f′(x)＝0，在x<1上有两个不等实根．

即－2x2＋2x－a＝0在(－∞，1)上有两个不等的实根x1，x2，

设x1<x2，

∴0<a<，∴

∴x1∈，x2∈

＝

＝－(1＋x1)＋2x1ln (1－x1)，

同理：＝－(1＋x2)＋2x2ln (1－x2)．

设g(x)＝－(1＋x)＋2xln (1－x)，x∈(0,1)，

则g′(x)＝－1＋2ln (1－x)－，

设h(x)＝－1＋2ln (1－x)－，x∈(0,1)，

∴h′(x)＝－－<0，在(0,1)上恒成立，

所以h(x)为(0,1)上的减函数．

∴h(x)<h(0)＝－1<0，即g′(x)<0在(0,1)恒上成立，因此g(x)在(0,1)上单调递减．

∵x1<x2，∴g(x1)>g(x2)，∴>.

4．武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为，游客之间选择意愿相互独立．

(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；

(2)①若从游客中随机抽取m(m∈N*)人，记这m人的总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；

②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1(n≥2)之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．

解　(1)X的所有可能取值为3,4,5,6.

P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C3＝，

P(X＝5)＝C3＝，P(X＝6)＝3＝.

所以X的分布列为

所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝.

(2)①总分恰为m分的概率Am＝m，

所以数列{Am}是首项为，公比为的等比数列．

所以其前10项和S10＝＝.

②因为已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得(n－1)分，再得2分，概率为Bn－1(n≥2)．

所以1－Bn＝Bn－1(n≥2)，即Bn＝－Bn－1＋1(n≥2)，

所以Bn－＝－(n≥2)，

所以Bn－＝n－1，易知B1＝，

所以Bn＝－n－1＝＋n＝＋.