2019届二轮复习算法与平面向量学案（全国通用）

第2练　算法与平面向量

年份
卷别
考查内容及考题位置
命题分析
2018
卷Ⅰ
平面向量的线性运算·T6
1.高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．
2．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点.
卷Ⅱ
平面向量的数量积运算·T4　程序框图的循环结构·T7
卷Ⅲ
平面向量的坐标运算、平面向量共线的条件·T13
2017
卷Ⅰ
程序框图的识别、循环结构·T8　向量的模与向量的数量积·T13
卷Ⅱ
程序框图的循环结构·T8　平面向量的数量积·T12
卷Ⅲ
程序框图的循环结构·T7
平面向量的线性运算、直线与圆的位置关系·T12
2016
卷Ⅰ
程序框图的循环结构·T9
向量的数量积、向量数量积的坐标运算·T13
卷Ⅱ
程序框图的循环结构(以“秦九韶算法”为背景)·T8
向量的坐标运算、向量垂直的应用·T3
卷Ⅲ
程序框图的循环结构·T7　向量的夹角问题·T3



算　法
2类程序框图问题的解决方法
(1)求解程序框图的运行结果问题
先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．
(2)对于程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．
[考法全练]
1．(2018·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B.N＝20，i＝2，T＝0，＝＝10，是整数；
T＝0＋1＝1，i＝2＋1＝3，3<5，＝，不是整数；
i＝3＋1＝4，4<5，＝＝5，是整数；
T＝1＋1＝2，i＝4＋1＝5，结束循环．
输出的T＝2，故选B.
2．(2018·贵阳模拟)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为(　　)

A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选A.先不管a的取值，直接运行程序．首先给变量S，k赋值，S＝1，k＝1，执行S＝S＋，得S＝1＋，k＝2；执行S＝1＋＋，k＝3；…继续执行，得S＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－，由2－＝得k＝6，所以整数a＝6，故应选A.
3．(2018·石家庄质量检测(二))20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换，如果n是奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是偶数，则下一步变成.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为(　　)

A．5 B．16
C．5或32 D．4或5或32
解析：选C.若n＝5，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.若n＝32，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.当n＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n＝5或32，故选C.
4．(2018·武汉调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2，2，5时，输出的s为17，那么在判断框中可以填入(　　)

A．k＜n? B．k＞n?
C．k≥n? D．k≤n?
解析：选B.执行程序框图，输入的a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入的a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入的a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此时结束循环，又n＝2，所以判断框中可以填“k＞n？”，故选B.
5．(2018·福州模拟)如图所示的程序框图是为了求出满足1＋＋＋…＋＜1 000的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)

A．“S＜1 000”和“输出i－1”
B．“S＜1 000”和“输出i－2”
C．“S≥1 000”和“输出i－1”
D．“S≥1 000”和“输出i－2”
解析：选D.根据程序框图的功能，可知判断框内应填“S≥1 000”．由程序框图分析知，输出框中应填写“输出i－2”，故选D.

平面向量的线性运算
平面向量线性运算的2种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．
向量共线问题的4个结论
(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(2)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内任一点，t∈R)．
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b⇔＝.
[考法全练]
1．(2018·贵阳模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，－1)，若a∥(a＋b)，则实数m的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．－
C．3 D．－3
解析：选B.a＋b＝(1＋m，1)，因为a∥(a＋b)，所以2(1＋m)＝1，解得m＝－.故选B.
2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
解析：选A.法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.

法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.
3．(2018·陕西教学质量检测(一))已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于(　　)
A. B．2
C．3 D．4
解析：选B.由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2，故选B.
4．(2018·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为(　　)

A．1 B.
C. D.
解析：选D.＝＋＝＋(－)＝m＋，设＝λ (0≤λ≤1)，则＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ，因为＝，所以＝(1－λ)＋λ，则解得故选D.

平面向量的数量积
平面向量的数量积的2种运算形式
(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ(其中θ为向量a，b的夹角)；
(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.
平面向量的3个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
[考法全练]
1．(2018·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为(　　)

A．10　　　　　　　　　　　 B．11
C．12 D．13
解析：选B.以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2，3)，所以·＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.

2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
3．(2018·石家庄第二次质量检测)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，所以|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b与a的夹角为，故选A.
4．(2018·长春质量检测(一))已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________．
解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
答案：2
5．(2018·益阳、湘潭调研)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为________．
解析：因为a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|.因为a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos ，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2.又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝.因为t＞0，所以t＝.
答案：

平面向量在几何中的应用
2个常用结论
(1)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(2)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
用向量解决平面几何问题的3个步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[考法全练]
1．(2018·郑州第二次质量预测)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B．－
C．－1 D．0
解析：选B.设a与b的夹角为θ，则|a||b|cos θ＝，即cos θ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝，令＝a，＝b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝＝(1，0)，b＝＝，设c＝＝(cos α，sin α)(0≤α≤2π)，则(a＋c)·(2b－c)＝(1＋cos α，sin α)·(1－cos α，－sin α)＝(1＋cos α)(1－cos α)＋sin α(－sin α)＝1－cos2α＋sin α－sin2α＝sin α≥－.故选B.
2．(2018·惠州第二次调研)在四边形ABCD中，＝，P为CD上一点，已知||＝8，||＝5，与的夹角为θ，且cos θ＝，＝3，则·＝________．
解析：因为＝，＝3，所以＝＋＝＋，＝＋＝－，又||＝8，||＝5，cos θ＝，所以·＝8×5×＝22，所以·＝·＝||2－·－||2＝52－11－×82＝2.
答案：2
3．(一题多解)(2018·沈阳教学质量监测(一))已知△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是________．
解析：法一：如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－x，2－y)，＋＝(2－2x，2－2y)，所以·(＋)＝－x(2－2x)－y(2－2y)＝2＋2－1≥－1，所以·(＋)的最小值为－1.
法二：·(＋)＝·(＋＋＋)＝·(2＋＋)．
设BC的中点为D，则＋＝2.
所以·(＋)＝2·(＋)＝2PA·，
因为－2||·||≤2·≤2||·||，所以(2·)min＝－2||·||，此时点P在线段AD上(异于A，D)，设＝λ(－1＜λ＜0)，则||＝|λ|＝－λ·，||＝＋λ，
所以－2||·||＝4＝4－1，所以当λ＝－时，·(＋)取得最小值－1.
答案：－1

一、选择题
1．(2018·沈阳教学质量监测(一))已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为(　　)

A．－3　　　　　　　　　　　　 B．－3或9
C．3或－9 D．－3或－9
解析：选B.当x≤0时，－8＝0，x＝－3；当x＞0时，2－log3x＝0，x＝9.故x＝－3或x＝9，故选B.
2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　　)
A. B.
C. D．4
解析：选C.依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.
3．已知a，b为单位向量，设a与b的夹角为，则a与a－b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意，得a·b＝1×1×cos ＝，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，所以cos〈a，a－b〉＝＝＝1－＝，所以〈a，a－b〉＝，故选B.
4．(2018·合肥质量检测)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，则下列关系可能成立的是(　　)
A．(a－b)⊥a B．(a－b)⊥(a＋b)
C．(a＋b)⊥b D．(a＋b)⊥a
解析：选C.因为|a|＝2，|b|＝1，设向量a，b的夹角为θ，若(a－b)⊥a，则(a－b)·a＝a2－a·b＝4－2cos θ＝0，解得cos θ＝2，显然θ不存在，故A不成立；若(a－b)⊥(a＋b)，则(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝4－1＝3≠0，故B不成立；若(a＋b)⊥b，则(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋2cos θ＝0，解得cos θ＝－，即θ＝，故C成立；若(a＋b)⊥a，则(a＋b)·a＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝0，解得cos θ＝－2，显然θ不存在，故D不成立．故选C.
5．(2018·南宁模拟)执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是(　　)

A．－1 B.
C．2 D．1
解析：选C.运行框图，首先给变量S，k赋值，S＝2，k＝2 015.判断2 015＜2 018，S＝＝－1，k＝2 015＋1＝2 016，判断2 016＜2 018，S＝＝，k＝2 016＋1＝2 017，判断2 017＜2 018，S＝＝2，k＝2 017＋1＝2 018，判断2 018＜2 018不成立，输出S，此时S＝2.故选C.
6．(2018·洛阳第一次联考)执行如图所示的程序框图，若输入m＝209，n＝121，则输出的m的值为(　　)

A．0 B．11
C．22 D．88
解析：选B.当m＝209，n＝121时，m除以n的余数r＝88，此时m＝121，n＝88，m除以n的余数r＝33，此时m＝88，n＝33，m除以n的余数r＝22，此时m＝33，n＝22，m除以n的余数r＝11，此时m＝22，n＝11，m除以n的余数r＝0，此时m＝11，n＝0，退出循环，输出m的值为11，故选B.
7．(2018·桂林模拟)在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则·的最小值为(　　)

A．12 B．15
C．17 D．16

解析：选B.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，·取得最小值15，故选B.
8．(2018·西安八校联考)在△ABC中，已知·＝，||＝3，||＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则·的值是(　　)
A. B.
C．6 D．7
解析：选B.由题意得，＝＋，＝＋，所以·＝·＝2＋·＋2＝(2＋2)＋·＝×(32＋32)＋×＝，故选B.
9．(2018·石家庄模拟)如图是计算1＋＋＋…＋的值的程序框图，则图中①②处可以填写的语句分别是(　　)

A．n＝n＋2，i＞16?
B．n＝n＋2，i≥16?
C．n＝n＋1，i＞16?
D．n＝n＋1，i≥16?
解析：选A.式子1＋＋＋…＋中所有项的分母构成公差为2的等差数列，1，3，5，…，31，31＝1＋(k－1)×2，k＝16，共16项，故选A.
10．(2018·成都诊断性检测)高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图，若输入的ai(i＝1，2，…，15)分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为(　　)


A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选D.由程序框图可知，其统计的是成绩大于或等于110的人数，所以由茎叶图知，成绩大于或等于110的人数为9，因此输出的结果为9.故选D.
11．(2018·郑州第一次质量预测)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是(　　)

A．(30，42] B．(30，42)
C．(42，56] D．(42，56)
解析：选A.k＝1，S＝2，k＝2，S＝2＋4＝6，k＝3，S＝6＋6＝12，k＝4，S＝12＋8＝20，k＝5，S＝20＋10＝30，k＝6，S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42＜m，退出循环，所以30＜m≤42，故选A.
12．(一题多解)(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A.－1 B.＋1
C．2 D．2－
解析：选A.法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.
法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A.
二、填空题
13．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
解析：2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.
答案：
14．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.6]＝3，如图所示的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出的a＝________．

解析：由程序框图得k＝1，a＝9，a－3·＝0≠2，k＝2，a＝16，a－3·＝1≠2，k＝3，a＝23，a－3·＝2，a－5·＝3，退出循环体，所以输出a＝23.
答案：23
15．平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝________．
解析：因为＝－＝－＝－2＝3－2，所以＝λ＋3μ－2μ，所以(1－3μ)＝(λ－2μ)，因为和是不共线向量，
所以解得所以λμ＝.
答案：
16．(2018·唐山模拟)在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．
解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.
答案：