2019届二轮复习平面向量的数量积及应用学案（全国通用）

【考点剖析】

1.命题方向预测：

向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与平面几何、三角函数、解析几何、不等式等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查．

2.课本结论总结：

（1）两个向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.

（2）平面向量数量积

①已知两个非零向量a与b，则数量|a b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

规定0·a＝0.

向量的投影：||叫向量在向量方向上的投影

当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.

②a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

（3）向量数量积的性质

①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.

②a⊥ba·b＝0.

③a·a＝|a|2，.

④cos θ＝.(θ为a与b的夹角)

⑤|a·b|≤|a b|.

（4）数量积的运算律

①交换律：a·b＝b·a.

②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

（5）数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：

①a·b＝a1b1＋a2b2.

②a⊥ba1b1＋a2b2＝0.

③|a|＝.

④cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角)

3.名师二级结论：

(1)向量 b在a的方向上的投影为|b|cos θ=.

（2）若向量a∥b，且b=，则可设a=.

4.考点交汇展示：

 (1)与平面几何交汇

1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为

A.     B.    C.     D. 0

【答案】C

【解析】

 (2)与平面解析几何交汇

2.【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（    ）

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

【答案】D

【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，

从而可以求得，故选D.

 (3)与不等式交汇

3.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，则,因为，所以求出，设，则由三角形面积公式有，而，则，故的最小值为，选D.

4.【2016高考浙江】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是        ．

【答案】

【解析】，即最大值为.

（3）与三角函数交汇

5.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角的正切值为，，则的值为    ．

【答案】.

【解析】

6.【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是      ．

【答案】

【考点分类】

考向一  平面向量数量积及其几何意义

1.【2019届四川省成都市第七中学零诊】如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为          ．

【答案】

【解析】

如图，连接，

已知，

，

又，

，

设，

，

当时，有最小值，故答案为.

2.【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为             .

【答案】

【解析】

【方法规律】

1.平面向量数量积的计算方法

①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a b|cosθ求解；

②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；

③用平面向量数量积的几何意义计算.

2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．

【解题技巧】

1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.
2. 计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用||计算;思路2，利用计算.
3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.

【易错点睛】

1.向量的数量积不满足消去率和结合律.

2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.

3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.

例  已知平面向量a,b,c，下列说法中：

①若a·b=a·c,则a=c；  ②a(b·c)=(a·b)c;

③若a·b=0,则a=0或b=0; ④a·b≤|a|·|b|，正确的序号为      .

【错解】①②③④

【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质.

【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.

【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故①②，因若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b，故③错，根据平面向量的数量积的性质知④正确，故正确的说法序号为④

考向二  平面向量垂直、平面向量夹角

1.【2018年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=         .

【答案】

2.【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=        ．

【答案】7

【解析】

3.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是         .

【答案】

【解析】试题分析：，

，

，

• ，解得：．

【方法规律】

1.对平面向量夹角问题

(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及||、||或它们的关系.

(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.

2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决.

【解题技巧】

1.非零向量垂直a,b的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.

2．a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题．

【易错点睛】

1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.

2.若两个向量夹角为锐角，则＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于0，反之，不一定

3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．

4.a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.

例  已知向量，且向量与夹角为锐角，求的范围；

【错解】因为向量与夹角为锐角，所以=+2＞0，解得＞-2.

【错因分析】从出发解出的值，忽视剔除同向的情况．

【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.

【正解】因为向量与夹角为锐角，所以=+2＞0，解得＞-2.

当=时，与同向，故的范围为.

考向三  平面向量模

1.【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是

A. −1    B. +1    C. 2    D. 2−

【答案】A

2.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |=        .

【答案】

【解析】

试题分析：

所以.

秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.

【方法规律】

对平面向量的模问题，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用||=来求解.

【解题技巧】

1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.

2．对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决.

【易错点睛】

在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a·b＝|a b|和|a·b|＝|a b|.

例 已知||=1，||=2，向量与夹角为120o,求||.

【错解】||===5.

【错因分析】错用a·b＝|a b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.

【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：a·b＝|a b|和|a·b|＝|a b|.

【正解】||===.

【热点预测】

1.已知向量 ， ，则（     ）

(A)           (B)           (C)             (D)

【答案】A

2．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知单位向量满足，则与的夹角是(    )

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】 ， 即如图

=即是第二象限的角平分线，所以由图可见 与 的夹角是，故选D.

3．【2018届陕西省咸阳市5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，，则向量在方向上的正射影的数量为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

4．【2018届河南省洛阳市期中】向量均为非零向量， ，则的夹角为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】， ，所以，即，设的夹角为， ，又，所以的夹角为，故选A.

5．【2018届黑龙江省仿真模拟（五）】已知向量，，则当时，的取值范围是          ．

【答案】.

【解析】

6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若，且，，则的取值范围是（     ）

A.           B.

C.     D.

【答案】D

【解析】

如图所示：，，，

∵，∴点C在劣弧AB上运动，

表示C、D两点间的距离.

的最大值是，最小值为.

故选：D.

7．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为        ．

【答案】3

【解析】

8．【2018届河南省郑州外国语学校调研】已知向量，向量在方向上的投影为，且，则          ．

【答案】5

【解析】

由已知得，，

，

由得：，即，

.

故答案为：5.

9．【2018届黑龙江省仿真模拟(三)】已知单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为          ．

【答案】

【解析】

单位向量，的夹角为，

，

，

，

设向量与的夹角为，

则，

.

故答案为：.

10．【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，          ．

【答案】24.

【解析】

由，得，

，

，即，

以为坐标原点建立如图所示的坐标系，

则，设，

则

，

当时取得最小值，此时，

则，故答案为.

11．【2018届河北省唐山一中强化提升（一）】已知向量的夹角为，，则      .

【答案】

【解析】

12．【2018届上海市大同中学三模】如图直角梯形中，，，，.点是直角梯形区域内任意一点，.点所在区域的面积是          ．

【答案】

【解析】

如图所示，△ABE中，,，，分别为边的中点，则梯形即为满足题意的图形，

以为直径的圆及其内部的点满足，则图中的阴影部分为满足题意的点所在区域.

其中△BFG为边长为1的等边三角形，其面积，

扇形是半径为1，圆心角为120°的扇形，其面积为，

综上可得：点所在区域的面积是 .

13.【2018届辽宁省葫芦岛市二模】如图，已知为中点，以为直径在同侧作半圆，分别为两半圆上的动点，（不含端点)，且，则的最大值为          ．

【答案】

【解析】

以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得
以为直径的半圆方程为

以为直径的半圆方程为（ ，
设

可得

即有

即为
即有 可得 ，即 ，
则

可得 即β时，

的最大值为，
故答案为．

14.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．

（1）求角的大小；

（2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求的值

【答案】(1) .(2) .

【解析】

（2）因为△ABC的外接圆的半径为，由正弦定理得，，

所以，所以．

由余弦定理知，，

即，所以，即，

因为所以

所以△ABC为直角三角形，且

所以.