2019届二轮复习（理）平面向量学案（全国通用）
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【母题 一】【2018高考新课标1理数6】
【母题原题】在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
，
所以，故选A.]
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
【母题 二】【2017高考新课标1理数13】
【母题原题】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
【答案】
【解析】
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
【母题 三】【2016高考新课标1理数13】
【母题原题】设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= .
【答案】
【解析】
试题分析：由，得，所以，解得.
【考点】向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则.
【考点一：平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底
表示出来．
3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、
相似等．
提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．
【考点二：平面向量的坐标运算】
1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa，应视题目条件灵活选择．
1．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（六）】若在中，，其外接圆圆心满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
点晴：注意区分向量三角形法则和平行四边形法则之间的关系，注意区分向量积运算俩公式的区别。
2．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别是A，B，则的取值范围为
A. [-，＋∞） B. [-，] C. [2－3，] D. [2－3，＋∞）
【答案】C
【解析】分析：利用圆的切线与圆心和切点连线垂直得到直角三角形，设的夹角为2α，通过解直角三角形求出的长；利用向量的数量积公式表示出，再根据三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元并结合基本不等式可求出最值．
详解：如图，的夹角为2α，
则．
故选C．
点睛：解答解析几何中的最值问题时，可选取适当的变量，将目标函数表示为该变量的函数，然后根据所得函数的解析式的特征选择求最值的方法，常用的方法有单调性法和基本不等式法．
3．【河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试】在中，，，，若，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据得，利用以及向量的数量积建立关于的等量关系式，从而求得结果.
详解：由，得，所以，又因为，，，
所以，解得，故选B.
点睛：该题考查的是有关向量的数量积的问题，在解题的过程中，还可以有另一种解法，建立相应的坐标系，将向量坐标化，利用向量数量积的坐标公式求得结果.
4．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟】非零向量满足; ,则与夹角的大小为（ ）
A. 135° B. 120° C. 60° D. 45°
【答案】A
点睛：该题考查的是有关向量所成角的余弦值，方法就是应用公式求解：向量的数量积比上模的乘积即为结果，在求解的过程中，需要去判断式子中所涉及到的量的关系，应用题中的条件，求得两个向量的模之间的关系，从而最后求得结果.
5．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】在中，，为的中点，将向量绕点按逆时针方向旋转得向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，以为轴建立平面直角坐标系，
则，且，
所以向量在向量方向上的投影为.
本题选择C选项.
6．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，，则向量在方向上的正射影的数量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
点睛: 本题主要考查向量数量积的应用，利用向量投影的定义是解决本题的关键，属于基础题.
7．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】设平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的充分不必要条件 B. 与的夹角为
C. D. 与的夹角为
【答案】D
中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
8．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】平行四边形中，是的中点，若，则( )
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】分析：首先将图画出来，再分别将用表示出来，建立等量关系，求解的值.
详解：因为，
所以，
即，
因此，解得，
所以，故选D.
点睛：该题主要考查平面向量基本定理，涉及到的知识点有平行四边形的对角线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示等问题，需要注意在解题推导过程中运算的准确性.
9．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】向量，对，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
因为，所以。
因为对，
所以对 恒成立。
所以，即。所以。
因为，所以，所以。 ]
所以。
故选C。
点睛：本题考查平面向量数量积公式及一元二次方程根与系数的关系。对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法由两种：一是对于未知量不做限制的题型，可以选择直接运用判别式解答；二是未知量在区间上的题型，一般采取不等式组（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的正负）的方法解答。
10．【辽宁省凌源二中2018届高考三模】在直角坐标系中,已知三点,为坐标原点,若向量与在向量方向上的投影相等,且,则=( )
A. 6 B. -6 C. -5 D. 5
【答案】D
点睛：本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
11．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知向量与的夹角为30°，且＝1，，则 ．
【答案】
点睛：本题考查向量数量积的运算和向量模的求法，解题的关键是根据数量积的运算律得到关于的方程，然后通过解方程可得所求．
12．【四川省成都市第七中学2018-2019高中毕业班零诊模拟考试】如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】分析：设，可得
，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.
详解：如图，连接，
已知，
，
又，
点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
13．【河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试】已知为锐角的外心，，若，且，记，则的大小关系为 ．
【答案】
【解析】分析：首先根据题中的条件，利用向量的平方，结合三角形外心所满足的条件，得到其对应的结果，利用向量的数量积的定义式，得到对应的式子，求得三角形外接圆的半径，结合正弦定理得到对应的结果.
详解：若，则，
由于O为锐角的外心，所以D,E为边的中点，分别是两边的中垂线，
，
同样地，所以，所以，根据正弦定理，可得，
所以有，从而得到，从而得到，
进一步求得，从而可求得，之后借助于余弦函数的单调性得到结果，
从而可以求得.
点睛：该题考查的是有关向量的数量积的大小关系的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，正弦定理，余弦函数的单调性，正确应用结论，求得结果.
14．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】平面向量与的夹角为，，，则 ．
【答案】.
点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
15．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】如图，已知为中点，以为直径在同侧作半圆，分别为两半圆上的动点，（不含端点)，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】分析：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．
详解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得
故答案为．
点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．
