2019届二轮复习（理）第九章第56讲　圆的综合问题学案（江苏专用）

第56讲　圆的综合问题
考试要求　1.圆的方程(C级要求)；2.高考中可能考查隐性圆问题，以及直线与圆的位置关系.

诊 断 自 测
1.若直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝ .
解析　圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1，0)，半径r＝，直线x－y＋m＝0与圆相切时，d＝r，即＝，解得m＝－3或m＝.
答案　－3或
2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2).若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是 .
解析　设点M(x，y)，由题意得点A(0，2)，O(0，0)及MA2＋MO2＝10，即x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上.若圆C上存在点M满足MA2＋MO2＝10也就等价于圆E与圆C有公共点，所以
|2－1|≤CE≤2＋1，即|2－1|≤≤2＋1，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3].
答案　[0，3]
3.(2017·南通期末)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(4，0).若直线x－y＋m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是 .
解析　设点P(x，x＋m)，由PA＝PB，得2x2＋2mx＋m2－4＝0，则Δ＝32－4m2≥0，则实数m的取值范围是[－2，2].
答案　[－2，2]
4.(2017·南京二模)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为 .
解析　根据题意圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含，则dMN≤dON－1，即1≤dON－1，所以dON≥2恒成立.因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM－1，即dOM－1≥2，所以≥3，解得a≥3，所以a的最小值为3.
答案　3
5.(2018·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为 .
解析　圆x2＋y2＝1半径为1，PO＝2，则直线PT的倾斜角为30°，则直线方程为x－y＋2＝0，PT＝，RS＝，圆(x－a)2＋(y－)2＝3的半径为，则圆(x－a)2＋(y－)2＝3的圆心(a，)到直线PT的距离为，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数a＝4.
答案　4
知 识 梳 理
1.定点定值问题
方法一：先特殊后一般，要加以证明.
方法二：直接研究一般性，转化成恒成立问题.
2.最值、取值范围问题
(1)利用几何意义求解；(2) 转化成代数关系求解.
3.隐性圆问题
(1)定义；(2)垂直关系；(3)形如 MA2＋MO2＝常数；
(4) 阿波罗尼斯圆；(5)形如·＝常数.

考点一　取值范围、最值问题
【例1】 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点.
(1)若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小；
(2)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围.
解　(1)圆M的圆心M(1，1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，而AM⊥l，
∴kAM＝1.
∴直线AM的方程为y＝x.
由解得即A(3，3).
如图，连接MP，

∵∠PAM＝∠PAQ，
sin ∠PAM＝
＝＝，
∴∠PAM＝45°，∴ ∠PAQ＝90°.
(2)过A(a，b)作AD，AE分别与圆M相切于D，E两点，
∵∠DAE≥∠BAC，
∴要使圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，只要作∠DAE≥60°.
∵AM平分∠DAE，∴ 只要30°≤∠DAM<90°.
类似于第(1)问，只要≤sin ∠DAM<1，
即≥且<1.
又a＋b－6＝0，解得1≤a≤5，
即点A横坐标的取值范围是[1，5].
【训练1】 已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a).
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(2)若a＝，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值.
解　(1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，则a＝±.
当a＝时，点M为(1，)，
kOM＝，k切＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1).
即x＋y－4＝0，
当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.
此时切线方程为y＋＝(x－1).
即x－y－4＝0.
所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，
则d＋d＝OM2＝3.
又有AC＝2，BD＝2，
所以AC＋BD＝2＋2.
则(AC＋BD)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)
＝4×[5＋2]
＝4×(5＋2).
因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，
所以(AC＋BD)2≤4×＝40.
所以AC＋BD≤2，
即AC＋BD的最大值为2.考点二　定点定值问题
【例2】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
解　(1)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
由垂径定理得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，
结合点到直线的距离公式得＝1⇒k＝0或k＝－，所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2) 设点P(m，n)，直线l1，l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，
即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋＝0.
由题意可知圆心C1到直线l1的距离等于圆心C2到直线l2的距离，即＝，化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.
因为关于k的方程有无穷多解，则有或解得或
故P或P.
【训练2】 已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点.
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N.若OM＝ON，求圆C的方程.
(1)证明　由题设知圆C的方程为(x－t)2＋＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则点A(2t，0).当x＝0时，y＝0或，则点B.所以S△AOB＝OA·OB＝|2t|·||＝4为定值.
(2)解　因为OM＝ON，所以原点O在MN的中垂线上.设MN的中点为H，则CH⊥MN，所以C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，所以t＝2或t＝－2，则圆心C(2，1)或C(－2，－1)，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5.由于当圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
考点三　隐性圆问题
【例3】 已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足PA＝2PB.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值，并求此时直线l2的方程.
解　(1)设点P的坐标为(x，y)，
则
＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求.
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心、4为半径的圆，如图，则直线l2是此圆的切线，
连接CQ，CM，则QM＝＝，

当CQ⊥l1时，CQ取最小值，CQ＝＝4，
此时QM的最小值为＝4，这样的直线l2有两条，设满足条件的两个公共点为M1，M2，
易证四边形M1CM2Q是正方形，所以l2的方程是x＝1或y＝－4.
【训练3】 (2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：圆M上存在两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.
解　(1)M：(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，
因为圆N的圆心N在直线x＝6上，设N(6，y0)，又圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以2y0＝7－5，y0＝1，所以圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3) 因为＋＝，根据向量的平行四边形法则可得四边形TAQP是平行四边形(如图所示)，所以＝.因为点P，Q在圆上，所以PQ≤10，则TA＝≤10，解得2－2≤t≤2＋2.

因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2].

一、必做题
1.若圆的方程为x2＋y2＋kx－4y＋k2＝0，则当圆的面积最大时圆心坐标为 .
解析　将圆的方程x2＋y2＋kx－4y＋k2＝0化为标准方程为＋(y－2)2＝4－.∵ r2＝4－≤4，∴ k＝0时，r最大，此时圆心坐标为(0，2).
答案　(0，2)
2.过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心.当∠ACB最小时，直线l的方程为 .
解析　若∠ACB最小，则CM⊥l，易知C(2，0)，∴ kCM＝＝－2，∴ 直线l的斜率为k＝，∴ 直线l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
答案　x－2y＋3＝0
3.已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为 .
解析　lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到lAB的距离d＝＝，∴ AB边上的高的最小值为－1.又AB＝2，
∴ S△ABCmin＝×2×＝3－.
答案　3－
4.已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为 .
解析　易知△ABC是边长为2的等边三角形.故圆心C(1，a)到直线AB的距离为.即＝，解得a＝4±.
答案　4±
5.若直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是 .
解析　当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1 答案　
6.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 .
解析　由题意知原命题等价于直线上存在点P使得PC＝2，从而(PC)min≤2，即圆心C(2，0)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝≤2，解得－2≤k≤2.
答案　[－2，2]
7.在直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足PA2－PB2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为 .
解析　设P(x，y)，由PA2－PB2＝4知[(x＋1)2＋y2]－[x2＋(y－1)2]＝4，整理得x＋y－2＝0.又圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0距离d＝＝＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P有2个.
答案　2
8.(2018·南京、盐城模拟)过点P(－4，0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为 .
解析　设AB的中点为D，则CD⊥AB，设CD＝d，AD＝x，则PA＝AB＝2x，在直角三角形ACD中，由勾股定理得d2＋x2＝r2＝5.在直角三角形PDC中，由勾股定理得d2＋9x2＝CP2＝25，解得d2＝.易知直线l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋4)，圆心C(1，0)到直线l的距离为d＝＝，解得k2＝，k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋4)，即为x±3y＋4＝0.
答案　x±3y＋4＝0
9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0).
(1)若l1与圆相切，求l1的方程；
(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.
解　(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线方程为x＝1，符合题意.
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝.
所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.
由得N.
又直线CM与l1垂直，由
得M.
所以AM·AN＝·＝·＝6为定值.
故AM·AN是定值，且为6.
10.平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l过点A(4，－1)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解　(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y＝k(x－4)－1，即kx－y－4k－1＝0，
由垂径定理得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，
结合点到直线距离公式得＝1,
化简得24k2＋7k＝0，所以k＝0或k＝－.
故直线l的方程为 y＝－1或y＝－(x－4)－1，即y＝－1或7x＋24y－4＝0.
(2)假设存在，设点P(a，b)，l的方程为y－b＝k(x－a)，即kx－y＋b－ak＝0.
因为圆C1和圆C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C1和圆C2的圆心到直线l的距离也相等，
即＝，
整理得(14a－7)k2－(8a＋14b－32)k＋8b－16＝0.
因为k的个数有无数多个，
所以解得
综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为.
二、选做题
11.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是 .
解析　设P(x，y)，sin∠OPA＝sin 30°＝，则
x2＋y2＝4.①
又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.②
由①②得1≤≤3，所以≤a≤.
答案　
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意得＝1，解得k＝0或k＝－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点M(x，y)也在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.
整理得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R;
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.