2019届二轮复习（理）第九章第52讲　直线的基本量与方程学案（江苏专用）

 第52讲　直线的基本量与方程
考试要求　1.直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式(B级要求)；2.确定直线位置的几何要素，直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)(C级要求)；3.斜截式与一次函数的关系(A级要求).

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)
解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.
(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，
－1)，则直线l的斜率为 .
解析　设P(m，1)，Q(7，n)，
由题意知解得
所以P(－5，1)，Q(7，－3)，
所以k＝＝－.
答案　－
3.已知两点A(4，0)，B(0，3)，点C(8，a)在直线AB上，那么实数a＝ .
解析　由kAB＝kBC，得＝，所以a＝－3.
答案　－3
4.若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是 .
解析　令y＝0，则(2m2＋m－3)x＝4m－1，
∴x＝＝1，∴m＝2或－.
答案　2或－
5.如图所示，直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 .

解析　设PA与PB的倾斜角分别为α、β，直线PA的斜率k1＝5，直线PB的斜率k2＝－.

当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增到90°，斜率的变化范围为[5，＋∞)；
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角为90°增至β，斜率的变化范围为，
故直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞).
答案　∪[5，＋∞)
知 识 梳 理
1.直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°).
2.斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
不含直线x＝x1
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)
平面直角坐标系内的直线都适用

考点一　直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)(2018·镇江模拟)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是 .
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .
解析　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.
因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，
所以0≤θ≤或≤θ<π.
(2)如图，∵kAP＝＝1，

kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞).
答案　(1)∪
(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
规律方法　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0).
【训练1】 若直线(k2－1)x－y－1＋2k＝0不经过第二象限，则实数k的取值范围是 .
解析　直线方程可化为y＝(k2－1)x＋2k－1，
因为直线不过第二象限，
所以或或
解得k≤－1.
即实数k的取值范围是(－∞，－1].
答案　(－∞，－1]
考点二　求直线的方程
【例2】 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)直线过点(5，10)，且直线到原点的距离为5.
解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4).
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.
若a＝0，即l过点(0，0)及(4，1)，
∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(4，1)，∴＋＝1，
∴a＝5，
∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足条件；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
规律方法　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
【训练2】 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且AB＝5.
解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3，2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1，4)，此时AB＝5，即x＝1为所求.
②设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为
y＋1＝k(x－1) (k≠－2)，
解方程组
得两直线交点为
则B点坐标为.
∴＋＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
考点三　直线方程的综合应用
【例3】 (一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.

解　法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
把点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
法二　依题意知直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
且有A，B(0，2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立.
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
规律方法　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.
(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
【训练3】 (2018·盐城模拟)直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OA＋OB最小时，求直线l的方程.
解　依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0).
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，4－k).
OA＋OB＝＋(4－k)＝5－
＝5＋≥5＋4＝9.
∴当且仅当－k＝且k<0，
即k＝－2时，OA＋OB取最小值.
这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.

一、必做题
1.(2018·连云港模拟)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 .
解析　解方程组得因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6 答案　(－6，－2)
2.(2018·无锡模拟)过点(2，1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是 .
解析　∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，
依题意，所求直线的倾斜角为－＝，
∴斜率不存在，∴过点(2，1)的所求直线方程为x＝2.
答案　x＝2
3.(2018·泰州模拟)平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为 .
解析　直线x－2y＋1＝0与x－1＝0相交于点P(1，1)，当P(1，1)在直线x＋ky＝0上，即k＝－1时满足条件；当直线x－2y＋1＝0与x＋ky＝0平行，即k＝－2时满足条件；当直线x－1＝0与x＋ky＝0平行，即k＝0时满足条件，故实数k的取值集合为{0，－1，－2}.
答案　{0，－1，－2}
4.(2018·徐州模拟)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .
解析　如图所示，∵kPN＝＝，

kPM＝＝－4.
∴要使直线l与线段MN相交，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM.
由已知得k≥或k≤－4.
答案　(－∞，－4]∪
5.(2018·无锡模拟)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 .
解析　设直线AB的倾斜角为2α，则直线l的倾斜角为α，所以0<α<.
又kAB＝tan 2α＝＝＝，
所以tan α＝或tan α＝－3(舍去)，
所以k＝.
答案　
6.已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 .
解析　直线AB的方程为＋＝1，
∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取最大值3.
答案　3
7.(2018·苏州模拟)已知直线l1：a(x－y＋2)＋2x－y＋3＝0(a∈R)与直线l2的距离为1，若l2不与坐标轴平行，且在y轴上的截距为－2，则l2的方程为 .
解析　由题意可知直线l1过直线x－y＋2＝0与2x－y＋3＝0的交点P(－1，1)，由两条直线间的距离为1可得，点P到直线l2的距离为1，设l2的方程为y＝kx－2，则＝1，解得k＝－，故l2的方程为y＝－x－2，即4x＋3y＋6＝0.
答案　4x＋3y＋6＝0
8.设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是 .
解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值.

∴b的取值范围是[－2，2].
答案　[－2，2]
9.已知两点A(－1，2)，B(m，3).
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围.
解　(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1).
即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.
(2)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，
∴k＝∈(－∞，－]∪，
∴α∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为.
10.已知点P(2，－1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
解　(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，
解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示.

由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式，
得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.
二、选做题
11.(2018·苏州检测)已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则的取值范围为 .
解析　设A(x1，y1)，＝k，则y0＝kx0，
∵AB的中点为P(x0，y0)，∴B(2x0－x1，2y0－y1).
∵A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，
∴x1＋2y1－1＝0，2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，
∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0.
∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－.
又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，
即(k－1)>2，即<0，
解得－ 答案　
12.已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l).
(1)求点P(1，1)到线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距离d(P，l)；
(2)设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d(P，l)≤1}所表示的图形面积；
(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组
对于下列三种情形，只需选做一种.
①A(1，3)，B(1，0)，C(－1，3)，D(－1，0)；
②A(1，3)，B(1，0)，C(－1，3)，D(－1，－2)；
③A(0，1)，B(0，0)，C(0，0)，D(2，0).
解　(1)设Q(x，x－3)是线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)上一点，
则PQ＝＝(3≤x≤5)，
当x＝3时，d(P，l)＝PQmin＝.
(2)设线段l的端点分别为A，B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A(－1，0)，B(1，0)，点集D由如下曲线围成
l1：y＝1(|x|≤1)，l2：y＝－1(|x|≤1)，C1：(x＋1)2＋y2＝1(x≤－1)，C2：(x－1)2＋y2＝1(x≥1)，其面积为S＝4＋π.
(3)①A(1，3)，B(1，0)，C(－1，3)，D(－1，0)，如图①，Ω＝{(x，y)|x＝0}.
　
②A(1，3)，B(1，0)，C(－1，3)，D(－1，－2).如图②所示.
Ω＝{(x，y)|x＝0，y≥0}∪{(x，y)|y2＝4x，－2≤y<0}∪{(x，y)|x＋y＋1＝0，x>1}.
③A(0，1)，B(0，0)，C(0，0)，D(2，0).如图③所示.
Ω＝{(x，y)|x≤0，y≤0}∪{(x，y)|y＝x，02}.