2019届二轮复习（理）第九章第56讲　圆的综合问题学案（江苏专用）

第56讲　圆的综合问题
考试要求　1.圆的方程(C级要求)；2.高考中可能考查隐性圆问题，以及直线与圆的位置关系.

诊 断 自 测
1.若直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝ .
解析　圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1，0)，半径r＝，直线x－y＋m＝0与圆相切时，d＝r，即＝，解得m＝－3或m＝.
答案　－3或
2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2).若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是 .
解析　设点M(x，y)，由题意得点A(0，2)，O(0，0)及MA2＋MO2＝10，即x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上.若圆C上存在点M满足MA2＋MO2＝10也就等价于圆E与圆C有公共点，所以
|2－1|≤CE≤2＋1，即|2－1|≤≤2＋1，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3].
答案　[0，3]
3.(2017·南通期末)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(4，0).若直线x－y＋m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是 .
解析　设点P(x，x＋m)，由PA＝PB，得2x2＋2mx＋m2－4＝0，则Δ＝32－4m2≥0，则实数m的取值范围是[－2，2].
答案　[－2，2]
4.(2017·南京二模)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为 .
解析　根据题意圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含，则dMN≤dON－1，即1≤dON－1，所以dON≥2恒成立.因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM－1，即dOM－1≥2，所以≥3，解得a≥3，所以a的最小值为3.
答案　3
5.(2018·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为 .
解析　圆x2＋y2＝1半径为1，PO＝2，则直线PT的倾斜角为30°，则直线方程为x－y＋2＝0，PT＝，RS＝，圆(x－a)2＋(y－)2＝3的半径为，则圆(x－a)2＋(y－)2＝3的圆心(a，)到直线PT的距离为，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数a＝4.
答案　4
知 识 梳 理
1.定点定值问题
方法一：先特殊后一般，要加以证明.
方法二：直接研究一般性，转化成恒成立问题.
2.最值、取值范围问题
(1)利用几何意义求解；(2) 转化成代数关系求解.
3.隐性圆问题
(1)定义；(2)垂直关系；(3)形如 MA2＋MO2＝常数；
(4) 阿波罗尼斯圆；(5)形如·＝常数.

考点一　取值范围、最值问题
【例1】 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点.
(1)若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小；
(2)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围.
解　(1)圆M的圆心M(1，1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，而AM⊥l，
∴kAM＝1.
∴直线AM的方程为y＝x.
由解得即A(3，3).
如图，连接MP，

∵∠PAM＝∠PAQ，
sin ∠PAM＝
＝＝，
∴∠PAM＝45°，∴ ∠PAQ＝90°.
(2)过A(a，b)作AD，AE分别与圆M相切于D，E两点，
∵∠DAE≥∠BAC，
∴要使圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，只要作∠DAE≥60°.
∵AM平分∠DAE，∴ 只要30°≤∠DAM