2019届二轮复习（理）第九章第54讲　圆的方程学案（江苏专用）

第54讲　圆的方程
考试要求　1.确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程(C级要求)；2.高考中可能重点关注圆的方程的求法，以及直线与圆、圆与圆的位置关系.

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时才表示圆.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.圆心是(－2，3)，且经过原点的圆的标准方程为 .
解析　易得r＝.
答案　(x＋2)2＋(y－3)2＝13
3.(2018·镇江一模)圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为 .
解析　由题意得圆心在直线y＋2＝x－3上，而圆心又在直线y＝－4x上，所以解方程组得圆心坐标为(1，－4)，半径为＝2，从而标准方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
答案　(x－1)2＋(y＋4)2＝8
4.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 .
解析　由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
答案　(－2，－4)　5
5.已知点P(1，1)在圆C：x2＋y2－ax＋2ay－4＝0的内部，则实数a的取值范围是 .
解析　因为点P在圆内，所以1＋1－a＋2a－4<0，所以a<2.
答案　(－∞，2)
知 识 梳 理
1.圆的定义与方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝
2.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.
3.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2
考点一　求圆的方程
【例1】 (一题多解)一个圆经过A(3，－2)，B(2，1)两点，求分别满足下列条件的圆的方程.
(1)圆心在直线x－2y－3＝0上；
(2)在两坐标轴上的四个截距之和为2.
解　(1)法一　设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知得，解得
即所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二　由圆的几何性质知圆心在线段AB的垂直平分线x－3y－4＝0上，与方程x－2y－3＝0联立可得圆心坐标为C(1，－1)，半径为CA＝，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
(2)法一　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由圆过点A(3，－2)，B(2，1)，得由x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，y1＋y2＝－E.由y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，x1＋x2＝－D.由题意知x1＋x2＋y1＋y2＝－D－E＝2，解得D＝－，E＝，F＝.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋＝0.
法二　设圆心为(a，b)，圆与x轴分别交于(x1，0)，(x2，0)，与y轴分别交于(0，y1)，(0，y2)，则根据题意知x1＋x2＋y1＋y2＝2，所以＋＝1，a＝，b＝，
所以a＋b＝1.又因为点(a，b)在线段AB的中垂线上，
所以a－3b－4＝0，联立解得
所以圆心为，半径r＝，
所以所求圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋y＋＝0.
规律方法　(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为 .
(2)(2018·苏北四市联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1，0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为 .
解析　(1)设出圆心的坐标，根据圆心到直线的距离求出圆心，再由点M(0，)在圆C上计算圆的半径，进而写出圆的方程.因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝CM＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2，
依题意得解得
于是圆C的标准方程为x2＋＝.
答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)x2＋＝
考点二　与圆有关的最值问题
【例2】 (1)(2018·盐城检测)已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.
(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .
(1)解　设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，
解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(2)解析　直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案　(x－1)2＋y2＝2
规律方法　与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题.
【训练2】 (2018·扬州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值.
解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆.

设＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值.
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，
由点到直线的距离公式，得＝，
即b＝－2±，
故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，
与圆交于B点，并延长交圆于C′，则
(x2＋y2)max＝(OC′)2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝OB2＝(2－)2＝7－4.
考点三　与圆有关的轨迹问题
【例3】 (2018·盐城模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解　(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，
PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
规律方法　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
【训练3】 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，

故＝，＝.从而
又N(x＋3，y－4)在圆上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为以(－3，4)为圆心，以2为半径的圆，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况).

一、必做题
1.(2018·苏州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝ .
解析　由题意，直线ax＋y－1＝0的斜率－a＝＝－，∴a＝.
答案　
2.已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1，直线l：y＝2x＋2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方，则圆M的标准方程是 .
解析　点M到l的距离d＝＝.
设M(0，a)，所以＝，
所以a＝1或a＝3.
又因为a<2×0＋2＝2，所以a＝1.
所以圆M的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案　x2＋(y－1)2＝1
3.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 .
解析　设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则⇒
代入x＋y＝4，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案　(x－2)2＋(y＋1)2＝1
4.圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .
解析　依题意得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0，1)，半径是1，因此其方程是x2＋(y－1)2＝1.
答案　x2＋(y－1)2＝1
5.(2018·淮安模拟)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是 .
解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
则C(1，1)，当PC最小时，四边形PACB的面积最小，
(PC)min＝＝2，此时PA＝PB＝.
所以四边形PACB的面积S＝2×××1＝.
答案　
6.(2018·常州模拟)已知圆C过点(－1，0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y＝x＋1被该圆所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l平行的直线方程为 .
解析　设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a<0)，
因为圆C过点(－1，0)，且直线l：y＝x＋1被该圆所截得的弦长为2，所以
解得即圆心坐标为(－3，0)，
则所求直线为y＝x＋3，即x－y＋3＝0.
答案　x－y＋3＝0
7.过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 .
解析　当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与点P连线的斜率k＝1，
所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
答案　x＋y－2＝0
8.已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为 .
解析　作出可行域D及圆x2＋y2＝4，
如图所示，

图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求.
易知图中两直线的斜率分别为，－，即tan α＝，
tan β＝－，
tan θ＝tan(α－β)＝＝1，
得θ＝，故弧长l＝θ·R＝×2＝(R为圆的半径).
答案　
9.(2018·扬州高三上学期期中)已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0.
(1)若a＝－8，过点P(4，5)作圆M的切线，求该切线方程；
(2)若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6(其中O为坐标原点)，求圆M的半径.
解　(1)若a＝－8，圆M：(x－1)2＋y2＝9，圆心M(1，0)，半径为3.
若切线斜率不存在，圆心M到直线x＝4的距离为3，
所以直线x＝4为圆M的一条切线；
若切线斜率存在，设切线方程为y－5＝k(x－4)，化简为kx－y－4k＋5＝0，则圆心到直线的距离＝3，解得k＝.
所以切线方程为x＝4或8x－15y＋43＝0.
(2)圆M的方程可化为(x－1)2＋y2＝1－a，圆心M(1，0)，则OM＝1，
设圆的半径r＝(a<1)，
因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝|MB|＝r，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝()2－()2＝1－r2.
又因为·＝－6，解得r＝，所以圆的半径为.
10.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当OP＝OM时，求l的方程及△POM的面积.
解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于OP＝OM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又OM＝OP＝2，O到l的距离为，
所以PM＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面积为.
二、选做题
11.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是 .
解析　设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1，
知(x－3)2＋y2＝1，
即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，又＋＋＝(－1，0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值.
∵圆心C(3，0)与点P(1，－)之间的距离为
d＝＝，
故的最大值为＋1.
答案　＋1
12.已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段的长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程.
解　(1)由题意知直线PQ的方程为x＋y－2＝0.
设圆心C(a，b)，半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1.①
由圆C在y轴上截得的线段的长为4，
知r2＝(2)2＋a2，
可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②
由①②得a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r2＝13，满足题意，
当a＝5，b＝4时，r2＝37，不满足题意.
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠2)，
A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2).
由题意可知OA⊥OB，即·＝0，
∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，
化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.③
由得
2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，
∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝，
代入③得m2－12－m·(1＋m)＋m2＝0，
∴m＝4或m＝－3，经检验都满足题意，
∴直线l的方程为x＋y－4＝0或x＋y＋3＝0.