2019届二轮复习（理）第十二章第73讲　矩阵与变换学案（江苏专用）

第73讲　矩阵与变换

考试要求　1.矩阵的概念，常见的平面变换(A级要求)，二阶矩阵与平面向量，变换的复合与矩阵的乘法，逆矩阵，特征值特征向量(B级要求)；2.高考中对本讲的考查以解答题为主，难度中等.预计高考中更加注重二阶矩阵的运算.

诊 断 自 测

1.已知A＝，B＝，求AB.

解　AB＝

＝)

＝.

2. .

解　

3.求矩阵M＝的特征值.

解　

∴λ1＝0，λ2＝3.∴M的特征值为0和3.

知 识 梳 理

1.乘法规则

(1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵)的乘法规则：[a11　a12])＝[a11×b11＋a12×b21].

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律.

即(AB)C＝A(BC)，

AB≠BA，

由AB＝AC不一定能推出B＝C.

一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算.

2.常见的平面变换

3.逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；

(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.

4.特征值与特征向量

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.

5.特征多项式

设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，称为A的特征多项式.

考点一　矩阵与变换

【例1】 (一题多解)(2017·南京、盐城二模)设a，b∈R.若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值.

解　法一　在直线l：ax＋y－7＝0取A(0，7)，B(1，7－a)，

则A(0，7)，B(1，7－a)在矩阵A对应的变换作用下得到A′(0，7b)，B′(3，b(7－a)－1)，

由题意可知：A′，B′在直线9x＋y－91＝0上，

解得

实数a，b的值为2，13.

法二　设直线l上任意一点P(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x′，y′)，

∴由Q(x′，y′)在直线l′：9x＋y－91＝0上，即27x＋(－x＋by)－91＝0，

即26x＋by－91＝0，

P在ax＋y－7＝0上，

∴＝＝，

解得a＝2，b＝13.

实数a，b的值为2，13.

规律方法　已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解.

【训练1】 二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2).

(1)求矩阵M；

(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程.

所以且解得

所以M＝.

(2)因为)＝，

且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，

整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.

考点二　求逆矩阵

【例2】 (一题多解)(2017·南通二模)设矩阵A满足：A，求矩阵A的逆矩阵A－1.

所以a＝－1，2a＋6b＝－2，c＝0，2c＋6d＝3.

解得b＝0，d＝，所以A＝.

根据逆矩阵公式得，矩阵A－1＝.

所以－a＝1，－2a＋3b＝2，－c＝0，－2c＋3d＝6.

解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而A－1＝.

规律方法　求逆矩阵的方法

(1)待定系数法

设A是一个二阶可逆矩阵，AB＝BA＝E；

(2)公式法

|A|＝＝ad－bc≠0，有A－1＝.

【训练2】 已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.

解　设矩阵A的逆矩阵为，

则 ＝，

即＝，

故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，

从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝ ＝.

考点三　特征值与特征向量

【例3】 (2018·苏北四市模拟)已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝，求实数a，b的值.

解　∵矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝，

∴由条件知，Aα＝2α，即 ＝2，即＝，

∴解得

∴a，b的值分别为2，4.

规律方法　已知A＝，求特征值和特征向量的步骤

(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；

(2)列方程组；

(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量.

【训练3】 已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3).

(1)求实数a的值；

(2)求矩阵A的特征值及特征向量.

解　(1)由题意得 ＝，

所以a＋1＝－3，所以a＝－4.

(2)由(1)知A＝，

令f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝0.

解得A的特征值为λ＝－1或3.

当λ＝－1时，由得矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，

当λ＝3时，由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.

一、必做题

1.(2018·苏北四市一模)已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，若Aα＝Bα，求实数x，y的值.

解　Aα＝，Bα＝.

由Aα＝Bα得得x＝－，y＝4.

2.(2016·江苏卷)已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.

解　B＝(B－1)－1＝＝.

∴AB＝·＝.

3.已知矩阵M＝，α＝，β＝，求M(2α＋4β).

解　2α＋4β＝＋＝，

M(2α＋4β)＝ ＝.

4.已知矩阵A将点(1，0)变换为(2，3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A.

解　设A＝，由 ＝，

得由 ＝3＝，

得所以所以A＝.

5.曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换为曲线C2，求C2的方程.

解　设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，

则 ＝，

即⇒

因为P′是曲线C1上的点，

所以C2的方程为(x－2y)2＋2y2＝1.

6.(2017·苏、锡、常、镇二模)已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).

(1)求矩阵M；

(2)求矩阵M的另一个特征值.

解　(1)设矩阵M＝，这里a，b，c，d∈R，

则 ＝8＝，

故

由于矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).

则 ＝，

故联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝.

(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，

故矩阵M的另一个特征值为2.

7.(2016·苏中四校联考)求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.

解　设点(x0，y0)为曲线|x|＋|y|＝1上的任一点，在矩阵M＝对应的变换作用下得到的点为(x′，y′)，

则由 ＝，得即

所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，

所以围成的图形为菱形，其面积为×2×＝.

二、选做题

8.设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足＝M ，求二阶矩阵M.

解　依题设有＝ ，

令A＝，则M＝A4，

A2＝ ＝.

M＝A4＝(A2)2＝ ＝.

9.已知矩阵A＝，B＝.

(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；

(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程.

解　(1)设M＝，

AM＝ ＝＝，

得

∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝.

(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，

则M＝ ＝＝，

∴即

代入曲线C：x2＋y2＝1，得＋＝1.

∴曲线C′的方程是＋＝1.