2019届二轮复习（理）第九章第53讲　两条直线的位置关系学案（江苏专用）

第53讲　两条直线的位置关系
考试要求　1.根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直(B级要求)；2.用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(B级要求)；3.两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离(B级要求).

诊 断 自 测
1.(2018·徐州模拟)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是 .
解析　直线x－2y－2＝0可化为y＝x－1，
所以过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为y＝x＋b，
将点(1，0)代入得b＝－.
所以所求直线方程为x－2y－1＝0.
答案　x－2y－1＝0
2.(教材改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝ .
解析　依题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.
答案　－1
3.(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝ .
解析　由两直线垂直的充要条件得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
答案　0或1
4.(必修2P94习题18改编)已知直线l：y＝3x＋3，那么：
(1)直线l关于点M(3，2)对称的直线的方程为 ;
(2)l关于直线x＋y＋2＝0对称的直线的方程为 .
答案　(1)y＝3x－17　(2)x－3y－1＝0
知 识 梳 理
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
P1P2＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.

考点一　两条直线的平行与垂直
【例1】 (1)(2018·苏北四市联考)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为 .
(2)(一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
①试判断l1与l2能否平行；
②当l1⊥l2时，求a的值.
(1)解析　由得
所以a＝.
所以2a＋3b＝＋3b＝4＋＋3(b－3)＋9
≥13＋2＝25(当且仅当＝3(b－3)，即b＝5时取等号).
答案　25
(2)解　①法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1.
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
法二　由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔⇒a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
②法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1⇒a＝.
法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.
规律方法　(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【训练1】 若直线l1经过不同的两点A(2a＋2，0)，B(2，2)，l2经过不同的两点C(0，1＋a)，D(1，1).若l1∥l2，l1⊥l2时，分别求实数a的值.
解　当a＝0时，A(2，0)，B(2，2)，C(0，1)，D(1，1).
此时kAB不存在，而kCD＝0，所以l1⊥l2.
当a＝－1时，A(0，0)，B(2，2)，C(0，0)，D(1，1)，
kAB＝kCD＝1，又均过原点(0，0)，
所以l1与l2重合.
当a≠0且a≠－1时，
kAB＝＝－，
kCD＝＝－a.
若l1∥l2，则kAB＝kCD，即－＝－a，
得a＝1或a＝－1(舍去)；
若l1⊥l2，则kAB·kCD＝－1，
即×(－a)＝－1，a不存在.
综上， 当a＝1时，l1∥l2；当a＝0时，l1⊥l2.
考点二　两条直线的交点与距离问题
【例2】 (1)(2018·宿迁模拟)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为 .
(2)(一题多解)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为 .
解析　(1)由得
∴l1与l2的交点坐标为(1，3).
设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，
则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
(2)法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，
∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，
直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4).
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案　(1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1
规律方法　(1)求过两直线交点的直线方程的方法：
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
【训练2】 (1)(2018·济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是 .
(2)如图，设一直线过点(－1，1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程.

(1)解析　设P1P2的中点为P(x，y)，
则x＝，y＝.
∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.
∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20，即x－y＝10.
∴y＝x－10，∴P(x，x－10)，
∴P到原点的距离d＝
＝≥＝5.
答案　5
(2)解　与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过点(－1，1)，
∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.
解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
考点三　对称问题
【例3】 (1)(2018·苏州模拟)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 .
(2)(2018·泰州模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程.
(1)解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案　x＋4y－4＝0
(2)解　在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.
设对称点M′(a，b)，则

解得∴M′.
设直线m与直线l的交点为N，则
由
得N(4，3).
又∵m′经过点N(4，3).
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
规律方法　解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【训练3】 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1，2)的对称直线.
解　(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7).
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0，3)关于(1，2)的对称点M′(x′，y′)，
∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2，1).
l关于(1，2)的对称直线平行于直线l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.

一、必做题
1.(2018·常州模拟)过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 .
解析　①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，即x＋y＝a，则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
2.(2018·泰州模拟)已知直线l1：x－2my＋3＝0，直线l2的方向向量为a＝(1，2)，若l1⊥l2，则m的值为 .
解析　由直线l2的方向向量是a＝(1，2)，知直线l2的斜率为k2＝2.∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率存在，且k1＝.
由k1·k2＝－1，即·2＝－1，得m＝－1.
答案　－1
3.(2018·山东省实验中学质检)从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为 .
解析　由直线与向量a＝(8，4)平行知过点(2，3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式求得方程为x＋2y－4＝0.
答案　x＋2y－4＝0
4.一只虫子从点O(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是 .
解析　点O(0，0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1，1)，则虫子爬行的最短路程为
O′A＝＝2.
答案　2
5.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为 .
解析　因为＝≠，所以两直线平行，
由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以PQ的最小值为.
答案　
6.(2018·苏州模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝ .
解析　由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是解得
故m＋n＝.
答案　
7.(2018·盐城模拟)正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，其他三边所在直线的方程分别为 、 、 .
解析　点C到直线x＋3y－5＝0的距离
d＝＝.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝＝，解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝＝，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
答案　x＋3y＋7＝0　3x－y－3＝0　3x－y＋9＝0
8.在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是 .
解析　如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和为PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.

∵A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1).
由得Q(2，4).
答案　(2，4)
9.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).
(1)证明：对任意的实数λ该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
证明　(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴解得故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知PQ≤PM，当且仅当Q与M重合时，PQ＝PM，
kPM＝－1，直线与PM垂直，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而PM＝4，∴PQ<4，故所证成立.
10.已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点.
(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.
解　(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∵点A(5，0)到l的距离为3，
∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝，
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).

∴dmax＝PA＝＝.
二、选做题
11.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为 .

解析　以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，

建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b，3).
∵AC⊥AB，
∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面积S＝·
＝·＝
≥＝6.当且仅当9a2＝，即a2＝4时取等号.
答案　6
12.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.
解　(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，
即c＝或，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.
联立方程
解得(舍去)；
联立方程解得
所以存在点P同时满足三个条件.