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    2019届二轮复习  三角函数的图象与性质 学案 (全国通用)
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    2019届二轮复习  三角函数的图象与性质 学案 (全国通用)

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    第1讲 三角函数的图象与性质
    高考统计·定方向
    热点题型
    真题统计
    题型1:三角恒等变换
    2018全国卷ⅡT15;2016全国卷ⅡT9;
    2016全国卷ⅢT5;2015全国卷ⅠT2;
    2014全国卷ⅠT8;2014全国卷ⅡT14
    题型2:三角函数的图象与解析式
    2017全国卷ⅠT9;2016全国卷ⅡT7;
    2016全国卷ⅢT14;2015全国卷ⅠT8;
    2014全国卷ⅠT8
    题型3:三角函数的性质及应用
    2018全国卷ⅡT15;2018全国卷ⅠT16;
    2017全国卷ⅠT12;2017全国卷ⅡT14;
    2016全国卷ⅠT12
    命题规律
    分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律:
    1.三角函数的图象变换多以选择题形式出现,属基础题.
    2.三角函数的定义、图象与性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值)常与三角恒等变换交汇命题.大多出现在第6~9或第14~15题位置上,属中档题.

    题型1 三角恒等变换
    (对应学生用书第9页)
    ■核心知识储备·
    1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
    (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
    (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
    (3)tan(α±β)=.
    2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
    (1)sin 2α=2sin αcos α;
    (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
    (3)tan 2α=.
    3.辅助角公式
    asin x+bcos x=sin(x+φ).
    ■高考考法示例·
    【例1】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos=,则sin 2α =(   )
    A.   B.   C.-   D.-
    (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.
    (3)如图2­1­1,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边做两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,,则α+2β的值为________.

    图2­1­1
    (1)D (2)- (3)
    [(1)∵cos-α=,
    sin 2α=cos
    =cos=2cos2-1=-,故选D.
    (2)∵sin α+cos β=1,①
    cos α+sin β=0,②
    ∴①2+②2得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1,
    ∴sin αcos β+cos αsin β=-,
    ∴sin(α+β)=-.
    (3)cos α=,α∈,∴sin α=,∴tan α=7;
    cos β=,β∈,∴sin β=,∴tan β=;
    ∴tan 2β==,∴tan(α+2β)==-1,
    ∵α∈,β∈,∴α+2β∈,∴α+2β=.]
    【教师备选】
    (1)设α∈,β∈,且tan α=,则下列结论中正确的是(   )
    A.2α-β= B.2α+β=
    C.α-β= D.α+β=
    (2)(2018·西安模拟)设α为锐角,若cos=-,则sin的值为(   )
    A. B.
    C.- D.
    (1)C (2)B [(1)tan α======tan,∵α∈,β+∈,∴α=β+,选C.
    (2)∵α为锐角,若cos=-,
    设β=α+,∵0<α<,<α+<,
    ∴sin β=,sin 2β=2sin βcos β=-,
    cos 2β=2cos2β-1=-,
    ∴sin=sin=sin
    =sin 2βcos -cos 2βsin =×-×=.故选B.]
    [方法归纳] 三角函数式化简求值的“三看”原则
    (1)看“角”:分析未知角与已知角间的差别与联系,实现角的合理拆分;
    (2)看“名”:常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一;
    (3)看“形”,常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一.


    ■对点即时训练·
    1.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=(  )
    A. B. C. D.1
    B [由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cos2α-1=,所以cos α=,sin α=±,得|tan α|=.由题意知|tan α|=,所以|a-b|=.]
    2.(2018·成都二诊)若tan =,则cos 2α+sin 2α=(   )
    A.- B.- C. D.
    C [∵tan =,∴tan α===,
    ∴cos 2α+sin 2α====,故选C.]
    【教师备选】
    若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是(   )
    A. B.
    C.或 D.或
    A [因为α∈,所以2α∈,又sin 2α=,故2α∈,α∈ ,所以cos 2α=-,又β∈,故β-α∈,于是cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,
    且α+β∈,
    故α+β=,故选A.]
    题型2 三角函数的图象与解析式
    (对应学生用书第10页)
    ■核心知识储备·
    1.“五点法”作图
    设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
    2.图象变换


    ■高考考法示例·
    【例2】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(  )
    A.x=-(k∈Z)    B.x=+(k∈Z)
    C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)
    (2)(2018·葫芦岛二模)已知函数f(x)=sinωx+(0<ω<2)满足条件:f(-)=0,为了得到y=f(x)的图象,可将函数g(x)=cos ωx的图象向右平移m个单位长度(m>0),则m的最小值为(  )
    A.1 B.
    C. D.
    (1)B (2)A [(1)将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin 2=2sin的图象.由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z).
    (2)由题意,得sin=0,所以-ω+=kπ(k∈Z),结合0<ω<2,得ω=,所以f(x)=sin=cos=cos,所以只需将函数g(x)=cos x的图象向右至少平移1个单位长度,即可得到函数y=f(x)的图象,故选A.]
    [方法归纳]
    1.求函数y=Asin(ωx+φ)+Β(Α>0,ω>0)解析式的方法
    字母
    确定途径
    说 明
    A、B
    由最值确定
    A=,B=
    ω
    由函数的周期确定
    利用图象中最高、最低点与x轴交点的横坐标确定周期
    φ
    由图象上的特殊点确定
    代入图象上某一个已知点的坐标,表示出φ后,利用已知范围求φ
    2.三角函数图象的平移问题
    (1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时,首先要将函数名称统一.
    (2)将y=sin ωx(ω>0)的图象变换成y=sin(ωx+φ)的图象时,应把ωx+φ变换成ω,根据确定平移量的大小,根据的符号确定平移的方向.
    ■对点即时训练·
    1.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(  )
    A.ω=,φ=   B.ω=,φ=-
    C.ω=,φ=- D.ω=,φ=
    A [∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
    ∴f(x)的最小正周期为4=3π,
    ∴ω==,∴f(x)=2sin.
    ∴2sin=2,
    得φ=2kπ+,k∈Z.
    又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.]
    2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分图象如图2­1­2,则S=f(1)+f(2)+…+f(2 018)+f(2 019)等于(   )

    图2­1­2
    A.3 B.2 016
    C.2 018 D.2 019
    D [由题设中提供的图象信息可知解得A=,b=1,T=4⇒ω==,
    所以f(x)=sin+1,
    又f(0)=sin+1=sin φ+1=1⇒sin φ=0,可得φ=2kπ(k∈Z),所以f(x)=sinx+1,由于周期T=4,
    2 019=504×4+3,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,
    所以S=f(1)+f(2)+…+f(2 018)+f(2 019)=2 016+f(1)+f(2)+f(3)=2 016+3=2 019,故选D.]
    3.(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(   )
    A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
    B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
    C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
    D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
    D [因为y=sin=cos=cos,所以曲线C1:y=cos x上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=cos 2x,再把得到的曲线y=cos 2x向左平移个单位长度,得到曲线y=cos 2=cos.故选D.]
    题型3 三角函数的性质及应用
    (对应学生用书第11页)
    ■核心知识储备·
    1.三角函数的单调区间
    y=sin x的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是(k∈Z);y=cos x的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);y=tan x的单调递增区间是(k∈Z).
    2.三角函数的对称性
    y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
    y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
    y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
    3.三角函数的最值
    (1)y=asin x+bcos x+c型函数的最值:
    通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y=sin(x+φ)+c的最值问题,然后利用三角函数的图象和性质求解.
    (2)y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x型函数的最值:
    可利用降幂公式sin2x=,sin xcos x=,cos2x=,将y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x转化为y=Asin 2x+Bcos 2x+C,这样就可将其转化为(1)的类型来求最值.
    ■高考考法示例·
    ►角度一 与三角函数有关的最值问题
    【例3-1】 (1)(2018·辽宁六校协作体联考)已知函数f(x)=cos(2x-φ)-sin(2x-φ)的图象向右平移个单位后关于y轴对称,则f(x)在区间上的最小值为(   )
    A.-1   B.
    C.- D.-2
    (2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________.
    (1)C (2)1 [(1)f(x)=cos(2x-φ)-sin(2x-φ)=2cos的图象向右平移个单位后,可得y=2cos=2cos2x-φ+的图象,根据所得图象关于y轴对称,可得-φ+=kπ,k∈Z,故φ=.
    f(x)=2cos.在区间上,2x+∈,cos∈,故f(x)的最小值为-,故选C.
    (2)f(x)=1-cos2x+cos x-
    =-2+1.
    ∵x∈,∴cos x∈[0,1],
    ∴当cos x=时,f(x)取得最大值,最大值为1.]
    【教师备选】
    已知函数f(x)=4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π.
    (1)求函数f(x)在区间(0,π)上的单调递增区间;
    (2)求f(x)在上的最大值和最小值.
    [解] (1)f(x)=4cos ωx·sin
    =2sin ωxcos ωx-2cos2ωx+1-1
    =sin 2ωx-cos 2ωx-1
    =2sin-1,
    最小正周期是=π,
    所以ω=1,
    从而f(x)=2sin-1.
    令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,
    解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
    所以函数f(x)在(0,π)上的单调递增区间为和.
    (2)当x∈时,∈,
    2sin∈,
    所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1,-1.
    ►角度二 三角函数性质的判断
    【例3-2】 (1)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则(   )
    A.f(x)在单调递减 B.f(x)在单调递减
    C.f(x)在单调递增 D.f(x)在单调递增
    (2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是(  )
    A.f(x)的一个周期为-2π
    B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
    C.f(x+π)的一个零点为x=
    D.f(x)在单调递减
    (3)(2018·吉林模拟)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
    (1)A (2)D (3) π [(1)法一:f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
    =sin,
    ∵T==π,
    ∴ω=2.
    又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴φ+=kπ+,φ=kπ+,k∈Z.又|φ|<,∴φ=,
    ∴f(x)=sin=cos 2x,
    令2kπ<2x<2kπ+π得kπ<x<kπ+,k∈Z.
    ∴f(x)在上单调递减,故选A.
    法二:由f(x)=sin知T==π,
    ∴ω=2.又∵f(x)为偶函数,∴φ+=,∴φ=.
    ∴f(x)=cos 2x,依据图象特征可得f(x)在上单调递减.
    (2)A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确.
    B项,因为f(x)=cos图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,B项正确.
    C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确.
    D项,因为f(x)=cos的递减区间为(k∈Z),递增区间为(k∈Z),所以是减区间,是增区间,D项错误.故选D.

    (3)结合图象得=-,即T=π.]
    【教师备选】
    已知向量m=(sin ωx,1),n=(cos ωx,cos2ωx+1),设函数f(x)=m·n+b.
    (1)若函数f(x)的图象关于直线x=对称,且当ω∈[0,3]时,求函数f(x)的单调增区间;
    (2)在(1)的条件下,当x∈时,函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围.
    [解] m=(sin ωx,1),n=(cos ωx,cos2ωx+1),
    f(x)=m·n+b=sin ωxcos ωx+cos2ωx+1+b
    =sin 2ωx+cos 2ωx++b=sin++b.
    (1)∵函数f(x)的图象关于直线x=对称,
    ∴2ω·+=kπ+(k∈Z),
    解得ω=3k+1(k∈Z),∵ω∈[0,3],∴ω=1,
    ∴f(x)=sin++b,
    由2kπ-≤2x+≤2kπ+,
    解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
    ∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).
    (2)由(1)知f(x)=sin++b,
    ∵x∈,∴2x+∈,
    ∴当2x+∈,即x∈时,函数f(x)单调递增;
    当2x+∈,即x∈时,函数f(x)单调递减.
    又f(0)=f ,
    ∴当f >0≥f 或f =0时,函数f(x)有且只有一个零点.
    即sin ≤-b- ∴满足条件的b∈∪.
    ►角度三 由三角函数的性质求参数的范围(或值)
    【例3-3】 (1)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在上为减函数,则θ的一个值为(   )
    A.- B.-
    C. D.
    (2)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为(  )
    A.11 B.9
    C.7 D.5
    (1)D (2)B [(1)由题意得f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,∵函数f(x)为奇函数,∴θ+=kπ,k∈Z,故θ=-+kπ,k∈Z.当θ=-时,f(x)=2sin 2x,在上为增函数,不合题意.当θ=时,f(x)=-2sin 2x,在上为减函数,符合题意.选D.
    (2)因为f(x)=sin(ωx+φ)的一个零点为x=-,x=为y=f(x)图象的对称轴,所以·k=(k为奇数).又T=,所以ω=k(k为奇数).
    又函数f(x)在上单调,所以≤×,即ω≤12.
    若ω=11,又|φ|≤,则φ=-,此时,f(x)=sin,f(x)在上单调递增,在上单调递减,不满足条件.
    若ω=9,又|φ|≤,则φ=,此时,f(x)=sin,满足f(x)在上单调的条件.故选B.]
    [方法归纳] 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路
    第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;
    第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
    ■对点即时训练·
    1.若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是(  )
    A.(1,) B.[0,2]
    C.[1,2) D.[1,]

    C [2sin=m在上有两个不等实根等价于函数f(x)=2sin的图象与直线y=m在上有两个交点.如图,在同一坐标系中作出y=f(x)与y=m的图象,由图可知m的取值范围为[1,2).故选C.]
    2.(2018·广西高三二模)将函数y=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到f(x)的图象,若f(x)在上单调递减,则φ的取值范围为(   )
    A. B.
    C. D.
    C [因为y=sin 2x+cos 2x=sin,所以f(x)=sin=sin,
    ∵x∈,∴2x++2φ∈,∵0<φ<,∴π+2φ∈,据此可得解得φ的取值范围为.]

    3.(2018·江苏高考)已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值是________.
    - [由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,得sin=±1,因为-<φ<,所以<+φ<,则+φ=,φ=-.]



    1. (2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图2­1­3所示,则f(x)的单调递减区间为(  )

    图2­1­3
    A.,k∈Z B.,k∈Z
    C.,k∈Z D.,k∈Z
    D [由图象知,最小正周期T=2=2,
    ∴=2,∴ω=π.
    由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,
    ∴f(x)=cos.
    由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z得2k- ∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.故选D.]
    2.(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈,tan α=2,则cos=________.
     [cos=cos αcos +sin αsin
    =(cos α+sin α).
    又由α∈,tan α=2,知sin α=,cos α=,
    ∴cos=×=.]

    3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是________.
    - [法一:因为f(x)=2sin x+sin 2x,
    所以f′(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2
    =4(cos x+1),
    由f′(x)≥0得≤cos x≤1,即2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
    由f′(x)≤0得-1≤cos x≤,2kπ+≤x≤2kπ+π或2kπ-π≤x≤2kπ-,k∈Z,
    所以当x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值,
    且f(x)min=f=2sin+sin 2=-.
    法二:因为f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x)=4sin cos ·2cos2 =8sin cos3 = ,
    所以[f(x)]2=×3sin2 cos6 ≤·4=,
    当且仅当3sin2 =cos2 ,即sin2 =时取等号,
    所以0≤[f(x)]2≤,所以-≤f(x)≤,
    所以f(x)的最小值为-.
    法三:因为f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),
    所以[f(x)]2=4sin2x(1+cos x)2
    =4(1-cos x)(1+cos x)3,
    设cos x=t,则y=4(1-t)(1+t)3(-1≤t≤1),
    所以y′=4[-(1+t)3+3(1-t)(1+t)2]=4(1+t)2(2-4t),
    所以当-1<t<时,y′>0;当<t<1时,y′<0.
    所以函数y=4(1-t)(1+t)3(-1≤t≤1)在上单调递增,在上单调递减,
    所以当t=时,ymax=;当t=±1时,ymin=0.
    所以0≤y≤,即0≤[f(x)]2≤,所以-≤f(x)≤,
    所以f(x)的最小值为-.
    法四:因为f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),
    所以[f(x)]2=4sin2 x(1+cos x)2=4(1-cos x)(1+cos x)3≤
    ·4=,
    当且仅当3(1-cos x)=1+cos x,即cos x=时取等号,
    所以0≤[f(x)]2≤,
    所以-≤f(x)≤,
    所以f(x)的最小值为-.]
    [最新模拟]
    4.(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)=cos(2x-)-cos 2x,若要得到一个奇函数的图象,则可以将函数f(x)的图象(  )
    A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
    C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
    C [由题意可得,函数f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,设平移量为θ,得到函数g(x)=2sin,又g(x)为奇函数,所以2θ-=kπ,k∈Z,即θ=+,k∈Z,所以选C.]
    5.(2018·林州调研)已知锐角θ满足sin=,则cos的值为(  )
    A.-    B.
    C.- D.
    C [∵0<θ<,∴0<<,则<+<,
    由sin=得cos=,
    cos=cos=-sin
    =-sin 2=-2sincos
    =-2××=-.选C.]
    6.(2018·合肥质量检测)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)相邻两条对称轴间的距离为,且f=0,则下列说法正确的是(   )
    A.ω=2
    B.函数y=f(x-π)为偶函数
    C.函数f(x)在上单调递增
    D.函数y=f(x)的图象关于点对称
    C [由题意可得,函数f(x)的周期T=2×=3π,则ω==,A项说法错误;
    当x=时,ωx+φ=×+φ=kπ,∴φ=kπ-(k∈Z) ,∵0<φ<π,故取k=1可得φ=π,
    函数的解析式为f(x)=2sin,
    所以y=f(x-π)=2sin=2sin x,
    函数为奇函数,B项说法错误;
    当x∈时,x+π∈ ,故函数f(x)在上单调递增,C项说法正确;
    f=2sin=2sin π≠0,则函数y=f(x)的图象不关于点对称,D项说法错误.选C.]

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