2019届二轮复习　三角函数的图象与性质[小题提速练]学案（全国通用）

第9练　三角函数的图象与性质[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：三角函数的性质；三角函数的图象变换；由三角函数的图象求解析式.2.题目难度：三角函数的图象与性质常与三角变换相结合，难度为中低档．

考点一　三角函数的图象及变换
要点重组　(1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令ωx＋φ＝0，，π，，2π，求出x的值，作出对应点得到．
(2)图象变换：平移、伸缩、对称．
特别提醒　由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．
1．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝，则f(x1)＋f(x2)等于(　　)

A. B. C．0 D．－
答案　C
解析　由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，
∴f(x)＝sin，∵点在函数f(x)的图象上，∴sin＝0，
即＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
∵x1＋x2＝，
∴＋＝2π，∴f(x1)＋f(x2)＝0.
2．(2018·浙江温州瑞安七中模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为(　　)
A. B.　C．0 D．－
答案　B
解析　令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，
则f ＝sin＝sin，
因为f 为偶函数，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ＋，k∈Z，
所以当k＝0时，φ＝.
故φ的一个可能的值为.
3．(2018·天津)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
答案　A
解析　函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为.由此可判断选项A正确．故选A.
4．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的任意两点．若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f ＝________.
答案　－
解析　由已知得，函数的周期为，
∴ω＝3，又tan φ＝－1，且角φ在第四象限，
∴可取φ＝－，
∴f(x)＝sin，
故f ＝sin＝－.
考点二　三角函数的性质
方法技巧　(1)整体思想研究性质：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考虑y＝Asin t的性质．
(2)数形结合思想研究性质．
5．(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
答案　B
解析　∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.
6．函数y＝2sin2－1是(　　)
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
答案　A
解析　∵y＝－cos(2x＋3π)＝cos 2x，
∴函数y＝2sin2－1是最小正周期为π的偶函数．
7．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　f(x)＝2sin，
当θ＝时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x，f(x)为奇函数．
又此时f(x)的减区间为，k∈Z，
∴f(x)在上是减函数．
故选B.
8．关于函数f(x)＝2(sin x－cos x)cos x的四个结论：
p1：f(x)的最大值为；
p2：把函数g(x)＝sin 2x－1的图象向右平移个单位长度后可得到函数f(x)的图象；
p3：f(x)的单调递增区间为，k∈Z；
p4：f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　B
解析　f(x)＝2sin x·cos x－2cos2x＝sin－1，
∴f(x)max＝－1，∴p1错；
应将g(x)＝sin 2x－1的图象向右平移个单位长度后得到f(x)的图象，
∴p2错；p3，p4正确，
故正确的结论有2个．
考点三　三角函数图象与性质的综合
要点重组　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离是半个周期，一个最高点和与其相邻的一个最低点的横坐标之差的绝对值也是半个周期，两个相邻的最高点之间的距离是一个周期，一个对称中心和与其最近的一条对称轴之间的距离是四分之一个周期．
9．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω<0)，若y＝f的图象与y＝f的图象重合，记ω的最大值为ω0，则函数g(x)＝cos的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　A
解析　f(x)＝2sin，由已知得为函数f(x)的一个周期，即＝·k，k∈Z，又ω<0，
∴ω＝－4k，k∈N*，∴ω0＝－4，
∴g(x)＝cos＝cos，
令2kπ－π≤4x＋≤2kπ，k∈Z，
解得－≤x≤－，k∈Z.
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
答案　A
解析　∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，
∴f(x)＝2sin.又f ＝2，
即2sin＝2，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝a(0＜a＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z
B．[6kπ－3,6kπ]，k∈Z
C．[6k，6k＋3]，k∈Z
D．[6k－3,6k]，k∈Z
答案　D
解析　因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝a(0＜a＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，
所以T＝＝8－2＝6，且当x＝＝3时函数取得最大值，
所以ω＝，×3＋φ＝＋2nπ，n∈Z，
所以φ＝－＋2nπ，n∈Z，
所以f(x)＝Asin.
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
可得6k＋3≤x≤6k＋6，k∈Z.
12．已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为2，则ω＝________.
答案　
解析　令ωx＝X，则函数y＝2sin X与y＝2cos X图象的交点坐标分别为，，k∈Z.
因为距离最近的两个交点的距离为2，所以相邻两交点横坐标最短距离是2＝，所以T＝4＝，所以ω＝.

1．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　C
解析　因为y＝sin 3x＋cos 3x＝sin＝sin，
又y＝cos 3x＝sin＝sin，
所以应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度得到．
2．若关于x的方程sin＝k在[0，π]上有两解，则k的取值范围是________．
答案　[1，)
解析　∵0≤x≤π，
∴≤x＋≤，
∴－1≤sin≤，
又sin＝k在[0，π]上有两解，
∴结合图象(图略)可知k的取值范围是[1，)．
3．已知函数y＝sin 在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
答案　8
解析　如图，结合函数的图象知，

T＝6，且≤t，
∴t≥，
又∵t为正整数，
∴tmin＝8.
解题秘籍　(1)图象平移问题要搞清平移的方向和长度，由f(ωx)的图象得到f(ωx＋φ)的图象平移了个单位长度(ω≠0)．
(2)研究函数的性质时要结合图象，对参数范围的确定要注意区间端点能否取到．

1．将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
答案　D
解析　将函数f(x)＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象，
由x＋＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝.
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
答案　B
解析　由题图知，
A＝2，由＝－，得T＝4π.所以ω＝＝，
又2sin＝－2，
即sin＝－1，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
因为0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.故选B.
3．(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B.
C. D．π
答案　A
解析　f(x)＝cos x－sin x
＝－＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，
f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]上是减函数，
∴[－a，a]⊆，
∴0＜a≤，∴a的最大值为.故选A.
4．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f  A．f ＝－1
B．f >f 
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
答案　D
解析　由f(x)≤恒成立知，x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又f  即－sin φ0，又|φ|<π，所以φ＝，
即f(x)＝sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
5．已知常数ω>0，f(x)＝－1＋2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为，若f(x0)＝，≤x0≤，则cos 2x0等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f(x)＝－1＋2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin，
因为对称中心到对称轴的距离的最小值为，
所以T＝π.
由T＝＝π，可得ω＝1.
又f(x0)＝，即2sin＝，
因为≤x0≤，
所以≤2x0＋≤，
又sin＝>0，
所以cos＝－.
那么cos 2x0＝cos＝coscos ＋sinsin ＝.故选D.
6．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则(　　)
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上单调递增
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上单调递减
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上单调递增
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上单调递减
答案　B
解析　f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)
＝2sin，因为其图象关于x＝0对称，
所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)．
又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2cos 2x.
其最小正周期T＝＝π，且在上单调递减．
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)
A．f(2) B．f(0) C．f(－2) D．f(2) 答案　A
解析　由于f(x)的最小正周期为π，
∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，
∵当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)，
又φ>0，∴φmin＝，
故f(x)＝Asin.
于是f(0)＝Asin ，
f(2)＝Asin
＝Asin＝Asin，
f(－2)＝Asin＝Asin
＝Asin＝Asin.
又∵－<－4<4－<<，
y＝Asin x在上单调递增，
∴f(2) 8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9 C．7 D．5
答案　B
解析　因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，
所以－＝＋，k∈Z，
即＝T＝·，k∈Z，
又ω>0，所以ω＝2k＋1(k∈N)，
又因为f(x)在上单调，
所以－＝≤＝，即ω≤12，
若ω＝11，又|φ|≤，则φ＝－，
此时，f(x)＝sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足条件．
若ω＝9，又|φ|≤，则φ＝，
此时，f(x)＝sin，满足f(x)在上单调的条件．
由此得ω的最大值为9，故选B.
9．(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为______．
答案　3
解析　由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，
f(x)＝cos＝0.
∵x∈[0，π]，
∴3x＋∈，
∴当3x＋的取值为，，时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为3.
10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的单调递增区间为__________．
答案　(k∈Z)
解析　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f ＝____.

答案　
解析　如题干图所示，可知＝－＝，
所以T＝，
所以＝，所以ω＝2.因为图象过点，
所以Atan＝0，即tan＝0.
又|φ|＜，
所以φ＝.又图象过点(0,1)，即Atan＝1，
所以A＝1，所以f(x)＝tan.
所以f ＝tan＝tan ＝.
12．已知函数f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则f(x)在区间上的最小值为________．
答案　－
解析　f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)＝－2sin，
将其图象向右平移个单位长度后，
得y＝－2sin＝－2sin.
由其图象关于y轴对称，得－－φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝－－kπ，k∈Z.
由|φ|＜，得φ＝.
即f(x)＝－2sin.
∵－≤x≤0，
∴－≤2x－≤－，
∴－≤f(x)≤2，则f(x)在区间上的最小值为－.