2019届二轮复习专题等差数列及其前n项学案（全国通用）


1．理解等差数列的概念
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题
4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系

热点题型一 等差数列的基本运算
例1、（2018年北京卷）设是等差数列，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求.
【答案】（I）
（II）

（II）由（I）知，
∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴

.
∴
【变式探究】已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前 项和S ＝－35，求 的值。
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d。
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3。解得d＝－2。
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n。
(2)由(1)可知an＝3－2n。所以Sn＝＝2n－n2。
进而由S ＝－35可得2 － 2＝－35。
即 2－2 －35＝0，解得 ＝7或 ＝－5。
又 ∈N ，故 ＝7。
【提分秘籍】
等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差为d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想。
【举一反三】
已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝(　　)
A．85 B．135 C．95 D．23

【答案】C
热点题型二 等差数列的判定与证明
例2、若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝。
(1)求证：{}成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式。
【解析】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，故{}是首项为2，公差为2的等差数列。

【提分秘籍】
等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数。
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列。
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列。
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列。
提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判
【举一反三】
设数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，且an＝(n≥2)。证明数列{}是等差数列，并求Sn。
【解析】由已知得Sn－Sn－1＝。
去分母得(2Sn－1)(Sn－Sn－1)＝2S，
Sn－1－Sn＝2SnSn－1，两边同除以SnSn－1，得－＝2。
∴{}是以＝＝1为首项、以2为公差的等差数列，故＝＋(n－1)·2＝2n－1(n≥2)。
经验证n＝1时也成立，所以Sn＝　(n∈N )。
热点题型三 等差数列的性质及其应用
例3．（2018年全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】
（1）an=2n–9．
（2）–16．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2，所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16，所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
【变式探究】设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)
A．－6 B．－4
C．－2 D．2
(2)在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为__________。

【答案】(1)A (2) 210
【提分秘籍】
(1)等差数列通项性质的应用要注意观察数列各项的项数之间“和”相等的关系，找到解题的切入点。
(2)等差数列前n项和性质的应用要注意深刻理解“依次 项之和成等差数列”的真正含义，然后列方程求解。
【举一反三】
在等差数列{an}中。若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，则n＝__________。
【解析】依题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67。
由等差数列的性质知a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22。
又Sn＝，即286＝，∴n＝26。
【答案】2 6
热点题型四 等差数列前n项和的最值
例4、已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N )，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72。若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值。

【提分秘籍】
若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，①若a1＞0，d＜0，且满足前n项和Sn最大；②若a1＜0，d＞0，且满足前n项和Sn最小；③除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解。
【举一反三】
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0。
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，说明理由。
【解析】(1)由得－＜d＜－3。
(2)∵S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，S13＝＝13a7＜0，
∴a6＞0且a7＜0，故S6最大。

1. （2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27

2. （2018年天津卷）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N ）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N ）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.

（II）由（I），有
由可得，
整理得解得（舍），或．所以n的值为4．
3. （2018年北京卷）设是等差数列，且. _ _ .
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求.
【答案】（I）
（II）
【解析】（I）设等差数列的公差为，
∵，
∴，
又，∴.
∴.
（II）由（I）知，
∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴

.
∴
4. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【答案】（1）d的取值范围为．
（2）d的取值范围为，证明见解析。
【解析】（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．

因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而 当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
5. （2018年全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】
（1）an=2n–9．
（2）–16．
【解析】

1.【2017课标II，文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，
(1)若 ，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】 解：
设的公差为d，的公比为q，则,.由得
d+q=3. ①
由得
②
联立①和②解得（舍去），
因此的通项公式
由得.
解得
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.
（1）证明：等差数列是“数列”;
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.
【答案】（1）见解析（2）见解析

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时， ，①
当时， .②
由①知， ，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
1.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知是公差为3的等差数列,数列满足,.
（I）求的通项公式；
（II）求的前n项和.
【答案】（I）（II）

2.【2016高考新课标2文数】等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9 =0,[2.6 =2.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.
【解析】
（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有.
解得. /
所以的通项公式为.

3.【2016高考北京文数】（本小题13分）
已知是等差数列，是等差数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）（，，，）；（2）
【解析】
（Ⅰ）等比数列的公比，
所以，．
设等差数列的公差为．
因为，，
所以，即．
所以（，，，）．
。X。X。
4.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（I）求数列的通项公式；
（II）令.求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由题意知，当时，，
当时，，符合上式，所以.
设数列的公差为，由，即，解之得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由，得， ，
两式作差得.
所以
【2015高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】∵公差，，∴，解得=，∴，故选B.
【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
【答案】5

【2015高考福建，文16】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
【答案】9
【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．
【2015高考浙江，文10】已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．
【答案】
【解析】由题可得，，故有，又因为，即，所以.
1．（2014·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
【答案】1　

2．（2014·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
【答案】8　
【解析】∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n＝8时，数列{an}的前n项和最大．
3．（2014·福建卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C　
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋d＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.
4．（2014·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，
依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，
故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.

5．（2014·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1， an＋1－an ＝pn，n∈N .
(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝ an＋1－an ＝pn.而a1＝1，因此.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.
当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.
(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①
因为<，所以 a2n＋1－a2n < a2n－a2n－1 .②
由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝＝.③
因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－＝.④
由③④可知，an＋1－an＝.
于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋·＝＋·.
故数列{an}的通项公式为an＝＋·.
6．（2014·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
【答案】C　
【解析】令bn＝2a1an，因为数列{2a1an}为递减数列，所以＝＝2a1(an＋1－an)＝2a1d<1，所得a1d<0.
7．（2014·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

(2)bn＝＝.
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝.
8．（2014·新课标全国卷Ⅰ 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

9．（2014·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)由题意可知，
bn＝(－1)n－1
＝(－1)n－1
＝(－1)n－1.
当n为偶数时，
Tn＝－＋…＋－
＝1－
＝.
当n为奇数时，
Tn＝－＋…－＋
＝1＋
＝.
所以Tn＝
10．（2014·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．

11．（2014·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
【答案】－　
【解析】∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，
∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.
12．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N )．
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n 【解析】(1)方法一：a2＝2，a3＝＋1.
再由题设条件知
(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.
从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，
故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N )．

(2)方法一：设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝.
下面用数归纳法证明命题
a2n 当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，所以a2< 假设n＝ 时结论成立，即a2 易知f(x)在(－∞，1 上为减函数，
从而c＝f(c)>f(a2 ＋1)>f(1)＝a2，
即1>c>a2 ＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1 上为减函数，得c＝f(c) 故c 综上，存在 c＝使a2n
a2 ＋1＝f(a2 )>f(a2 ＋1)＝a2 ＋2，
a2( ＋1)＝f(a2 ＋1) 这就是说，当n＝ ＋1时②成立．所以②对一切n∈N 成立．
由②得a2n<－1，
即(a2n＋1)2 因此a2n<.　③
又由①②及f(x)在(－∞，1 上为减函数，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.
所以a2n＋1>－1，解得a2n＋1>.　④
综上，由②③④知存在c＝使a2n 13．（2013·新课标全国卷Ⅰ 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为(　　)

A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
【答案】A　
【解析】由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V＝2×2×4＋×π×22×4＝16＋8π.
14．（2013·新课标全国卷Ⅰ 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C　

15．（2013·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
【答案】20　
【解析】方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝2(2a1＋9d)＝20.
方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.
16．（2013·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.
(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N ，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
(3)证明：若a1＝2，dn＝1 (n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
【解析】(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.
(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….
因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．
(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.
又因为an≤An，an＋1≥Bn，
所以an≤an＋1.
于是，An＝an，Bn＝an＋1.
因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，
即{an}是公差为d的等差数列．