2019届二轮复习（理）专题一第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用学案

第三讲　基本初等函数、函数与方程及函数的应用



年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
已知零点求参数范围·T9
1.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．
2.函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难.
Ⅲ卷
函数零点个数的判断·T15
2017
Ⅰ卷
指数对数互化运算及大小比较·T11
Ⅲ卷
已知零点求参数值·T11
2016
Ⅲ卷
指数函数与幂函数的大小比较·T6



基本初等函数

授课提示：对应学生用书第7页

[悟通——方法结论]
1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小
(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．
(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．
2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z　 B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
解析： 由2x＝3y＝5z，可设()2x＝()3y＝()5z＝t，因为x，y，z为正数，所以t>1，因为＝＝，＝＝，所以<；因为＝＝，＝，所以>，所以<<.分别作出y＝()x，y＝()x，y＝()x的图象，如图．则3y<2x<5z，故选D.
答案：D
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)若a>b>0,0 A．logac C．accb
解析：法一：因为 0 法二：取a＝4，b＝2，c＝，则log4 ＝－>log2 ，排除A；4＝2>2，排除C；4<2，排除D.故选B.
答案：B
3．(2018·吉林实验中学摸底)若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝(　　)
A. B.
C．2 D．4
解析：设f(x)＝xα，由＝＝3α＝2，得α＝log3 2，∴f＝log3 2＝.
答案：B
4．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数ƒ(x)＝则满足ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
解析：法一：①当即x≤－1时，ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x＞0时，ƒ(x＋1)＝1，ƒ(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)的解集为(－∞，0)．
故选D.
法二：∵ƒ(x)＝
∴函数ƒ(x)的图象如图所示．

由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数ƒ(x)为减函数，故ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)转化为x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，ƒ(2x)＞1，ƒ(x＋1)＝1，
满足ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)．
此时－1＜x＜0.
综上，不等式ƒ(x＋1)＜ƒ(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．
故选D.
答案：D

基本初等函数的图象与性质的应用技巧
　(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0 (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．
(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．




函数的零点

授课提示：对应学生用书第8页

[悟通——方法结论]
1．函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
　(1)(2018·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
解析：当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．因此，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝ex的大致图象，如图所示，观察到函数y＝f(x)与y＝ex的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)有2个零点.
答案：C
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－ B.
C. D．1
解析：法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故选C.
法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，则a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
故选C.
答案：C
(3) (2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝g(x)＝ƒ(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝ƒ(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝ƒ(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝ƒ(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
答案：C

1．判断函数零点个数的3种方法

2．利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法


[练通——即学即用]
1．(2018·福州质检)已知f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则两零点所在的区间为(　　)
A．(－∞，0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(1，＋∞)
解析：在平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象如图所示，由图易得若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即函数f(x)的图象与直线y＝k有两个交点，则k的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2]和(2，＋∞)内，故选D.
答案：D
2．(2018·洛阳名校联考)若函数f(x)满足f(x－1)＝，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x，若在区间[－1,1)上，g(x)＝f(x)－mx＋m有两个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：因为当x∈[－1,0]时， f(x)＝x，所以当x∈(0,1)时，x－1∈(－1,0)，由f(x－1)＝可得，x－1＝，所以f(x)＝＋1，作出函数f(x)在[－1,1)上的图象如图所示，因为g(x)＝f(x)－mx＋m有两个零点，所以y＝f(x)的图象与直线y＝mx－m有两个交点，由图可得m∈(0，]．
答案：(0，]



函数的实际应用

授课提示：对应学生用书第8页

[悟通——方法结论]
　解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．
　(2018·湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90% ，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝，∴P＝P0e－kt＝P0()t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝()t，解得t＝10，即需要花费10小时．
答案：10

应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
　(1)一般程序：
⇨⇨⇨
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．

[练通——即学即用]
1．(2018·保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16 000，L乙＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．11 000元　 B．22 000元
C．33 000元 D．40 000元
解析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，∴当x＝60时，有最大利润33 000元．
答案：C
2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)
A．125 B．100
C．75 D．50
解析：由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝ .
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝ ，
∴＝，t1＝75.
答案：C



授课提示：对应学生用书第117页

一、选择题
1．函数y＝ax＋2－1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是(　　)
A．(0,0)　　　 B．(0，－1)
C．(－2,0) D．(－2，－1)
解析：令x＋2＝0，得x＝－2，所以当x＝－2时，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0且a≠1)的图象恒过点(－2,0)．
答案：C
2．设a＝log3 2，b＝ln 2，c＝，则(　　)
A．c>b>a B．a>b>c
C．a>c>b D．b>a>c
解析：因为e<3，所以由对数函数的性质可得a>c.故选D.
答案：D
3．(2018·长郡中学模拟)下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是(　　)
A．f(x)＝sin x
B．f(x)＝x3＋1
C．f(x)＝log2(＋x)
D．f(x)＝
解析：依题意，对于选项A，注意到f(0)＝f(π)，因此函数f(x)＝sin x在其定义域上不是增函数；对于选项B，注意到f(x)的定义域为R，但f(0)＝1≠0，因此函数f(x)＝x3＋1不是奇函数；对于选项C，注意到f(x)的定义域是R，且f(－x)＝log2(－x)＝log2＝－log2(＋x)＝－f(x)，因此f(x)是奇函数，且f(x)在R上是增函数；对于选项D，注意到f(x)＝＝－1＋在R上是减函数．故选C.
答案：C
4．函数f(x)＝|log2 x|＋x－2的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：函数f(x)＝|log2 x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2 x|＋x－2＝0的根的个数．令h(x)＝|log2 x|，g(x)＝2－x，画出两函数的图象，如图．由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2 x|＋x－2＝0的解的个数为2.
答案：B
5．(2018·河南适应性测试)函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)

解析：由函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象过点(1,0)，得选项A、B、D一定不可能；C中0 答案：C
6．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到(　　)
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析：由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
答案：A
7．(2018·河北衡水中学月考)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，且f(2)＋f(4)＝－1，则a＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：因为函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，所以y＝f(x)＝log2x－a，f(2)＋f(4)＝1－a＋2－a＝3－2a＝－1，所以a＝2.故选C.
答案：C
8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
解析：因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，则≈＝1093.
答案：D
9．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1}
解析：f(x)＝ln x－ax2＋ax有两个零点，即函数y＝ln x与y＝ax2－ax的图象有两个交点，则a>0且a≠1.故a的取值范围是(0,1)∪(1，＋∞). 故选C.
答案：C
10．(2018·高考全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log2 0.3，则(　　)
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
解析：∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，
∴ab＜0.
∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
故选B.
答案：B
11．若函数f(x)＝的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.∪(1，e)
C．(1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：若函数f(x)的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则函数y＝－ax＋a，x>0的图象与y＝xln x的图象有且只有两个交点，函数y＝－ax＋a，x>0的图象与函数y＝xln x的图象均过点(1,0)．当01时，函数y＝xln x的导数y′>1.故当a≤0或a＝1时，函数y＝－ax＋a，x>0的图象与函数y＝xln x的图象有且只有一个交点，所以使得y＝－ax＋a，x>0的图象与函数y＝xln x的图象有且只有两个交点的实数a的取值范围是(0,1)∪(1，＋∞)．故选D.
答案：D
12．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)．若函数y＝f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是(　　)

解析：选项A，B，D，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反．选项C，后面是直线增加，不满足题意．
答案：C
二、填空题
13．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝log2(x2＋a)．若ƒ(3)＝1，则a＝________.
解析：∵ƒ(x)＝log2(x2＋a)且ƒ(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7
14．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·x(m－2)(m＋1)的图象不经过原点，则实数m的值为________．
解析：由解得m＝1或2，经检验m＝1或2都适合．
答案：1或2
15．若函数y＝|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：∵|1－x|≥0，∴0<|1－x|≤1，
由题意得0<－m≤1，即－1≤m<0.
答案：[－1,0)
16．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/(100 kg))与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t(单位：天)
60
100
180
种植成本Q(单位：元/(100 kg))
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logb t.
利用你选取的函数，求得：西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/(100 kg)．
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝a(t－120)2 ＋m描述．将表中两组数据(60,116)和(100,84)代入，
可得解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80.
故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/(100 kg)．
答案：120　80