2019届二轮复习（理）专题六第三讲概率学案

第三讲　概率






年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析及学科素养
2018
Ⅰ卷
几何概型·T10
命题分析
高考对古典概型与几何概型考查一般为选择题，多考查互斥事件、对立事件与几何概型的计算．
学科素养
主要是通过古典概率的求法考查学生的数学抽象，数学建模及数据分析的学科素养.
Ⅱ卷
古典概型·T8
2017
Ⅰ卷
几何概型·T2
2016
Ⅰ卷
几何概型求概率·T4



几何概型

授课提示：对应学生用书第67页

[悟通——方法结论]
　几何概型的两个基本特征
(1)基本事件的无限性、等可能性．
(2)其事件的概率为P(A)
＝，一般要用数形结合法求解．
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A.　　　 B.
C. D.
解析：不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为，故此点取自黑色部分的概率为＝，故选B.
答案：B
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
解析：∵S△ABC＝AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为π·2＝AB2，
以AC为直径的半圆的面积为π·2＝AC2，
以BC为直径的半圆的面积为π·2＝BC2，
∴SⅠ＝AB·AC，SⅢ＝BC2－AB·AC，
SⅡ＝－
＝AB·AC.
∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝，p2＝.
∴p1＝p2.
故选A.
答案：A
3．(2018·福州四校联考)如图，在圆心角为90˚的扇形AOB中，以圆心O为起点在A上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30˚的概率是(　　)

A. B.
C. D.
解析：记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30˚”，如图，记A的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30˚，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.
答案：A

　几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型．




古典概型

授课提示：对应学生用书第67页

[悟通——方法结论]
　古典概型的两个基本特征
(1)基本事件的有限性、等可能性．
(2)其事件的概率为P(A)＝
＝.
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a>b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为＝，选D.
答案：D
2.近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某移动互联网机构对使用者进行了调查，得到了使用者对常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数，并绘制出茎叶图(如图所示)．
(1)求出这组数据的平均数和中位数；
(2)某用户从满意度指数超过82的品牌中随机选择两个品牌使用，求所选两个品牌的满意度指数均超过88的概率．
解析：(1)这组数据的平均数＝＝83.875.
将这组数据按从小到大的顺序排列，易知这组数据最中间的两个数为83,85，则其平均数为＝84，故这组数据的中位数为84.
(2)满意度指数超过82的品牌有五个，其满意度指数分别为83,85,89,91,94，依次记为a，b，c，d，e，从中任选两个的选法为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10种；
满意度指数超过88的有三个，分别为c，d，e，从中任选两个的选法为{c，d}，{c，e}，{d，e}，共3种．
故所选两个品牌的满意度指数均超过88的概率P＝＝0.3.

　对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率.




概率与统计的综合问题

授课提示：对应学生用书第68页

[悟通——方法结论]
　(2017·高考全国卷Ⅲ)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
的概率．
(2)设六月份一天销售这种(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[学审题]
条件信息
想到方法
注意什么
信息❶中频率分布表
表中最高气温与天数的对应关系
1.读表中数据要准确．
2.注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理
信息❷中估计概率
利用频率与概率关系进行估计
信息❸中酸奶的利润
想到进货成本与售价
[规范解答]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，
(2分)
由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，
(4分)
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(5分)
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，
则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
(7分)
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100. (10分)
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，
因此Y大于零的概率的估计值为0.8. (12分)

解决概率与统计综合问题的一般步骤


[练通——即学即用]
(2018·广州五校联考)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；
(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．
解析：(1)设第1组[20,30)的频率为f1，则由题意可知，
f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.
被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.
∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.
(2)第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6.
∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．
记第1组中的3名男性群众分别为A，B，C,3名女性群众分别为x，y，z，
从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15个基本事件．
至少有一名女性群众包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12个基本事件．
∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率P＝＝.



授课提示：对应学生用书第152页

一、选择题
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3　　　 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.
故选B.
答案：B
2．(2018·云南模拟)在正方形ABCD内随机生成n个点，其中在正方形ABCD内切圆内的点共有m个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：依题意，设正方形的边长为2a，
则该正方形的内切圆半径为a，于是有≈，
即π≈，即可估计圆周率π的近似值为.
答案：C
3．(2018·沧州联考)已知函数f(x)＝，在区间(－1,4)上任取一点，则使f′(x)＞0的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：f′(x)＝，由f′(x)＞0可得f′(x)＝＞0，解得0＜x＜2，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率P＝＝.
答案：B
4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.
答案：B
5．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个，a·b＞0，即x－2y＞0，满足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P＝＝.
答案：D
6．(2018·湖南五校联考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是(　　)

A. B.
C.－1 D.－1
解析：分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于P1，P2，则当P在线段P1P2间运动时，能使得△ABP的最大边是AB，易得＝－1，即△ABP的最大边是AB的概率是－1.
答案：D
7．(2018·天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量a＝(m，n)与向量b＝(－1,1)的夹角θ＞90˚的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：连掷两次骰子得到的点数(m，n)的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．
∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n＜0，
∴m＞n.符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴所求概率P＝＝.
答案：A
8．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××1＝，则所求的概率P＝＝.
答案：D
二、填空题
9．(2018·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：由题意，在正方体中与点O距离等于1的是个半球面，V正＝23＝8，V半球＝×π×13＝π，
＝＝，∴所求概率P＝1－.
答案：1－
10．如图，在等腰直角△ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于M，则使得AM小于AC的概率为________．

解析：当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝＝67.5˚.
当∠ACM＜67.5˚时，AM＜AC，
所以AM小于AC的概率
P＝＝＝.
答案：
11．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖，则中奖的概率是________．
解析：由题意，所有可能的结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}，共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为P＝＝.
答案：
12．一只受伤的候鸟在如图所示(直角梯形ABCD)的草原上飞，其中AD＝3，CD＝2，BC＝5，它可能随机落在该草原上任何一处(点)，若落在扇形沼泽区域(图中的阴影部分)CDE以外候鸟能生还，则该候鸟生还的概率为________．

解析：直角梯形ABCD的面积S1＝×(3＋5)×2＝8，扇形CDE的面积S2＝π×22＝π，根据几何概型的概率公式，得候鸟生还的概率P＝＝＝1－.
答案：1－
三、解答题
13．(2018·宝鸡模拟)为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
评估的平均得分
(0,6)
[6,8)
[8,10]
全市的总体交



通状况等级
不合格
合格
优秀
(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计我市的总体交通状况等级；
(2)用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解析：(1)6条道路的平均得分为×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，∴该市的总体交通状况等级为合格．
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本事件．
事件A包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个基本事件．
∴P(A)＝.
故该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.
14．(2018·西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.

(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；
(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45,65)内的概率．
解析：(1)设质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x，则质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x,2x.
依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.
所以质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.
(2)由(1)得，质量指标值落在区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率分别为0.3,0.2,0.1.
用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45,55)内应抽取6×＝3件，记为A1，A2，A3；
在区间[55,65)内应抽取6×＝2件，记为B1，B2；在区间[65,75)内应抽取6×＝1件，记为C.
设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[45,65)内”为事件M，则所有的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15种，
事件M包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种，所以这2件产品都在区间[45,65)内的概率P＝＝.
15．(2018·长沙模拟)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.

(1)列出2×2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
(2)为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，则选取的植株均为矮茎的概率是多少？
附：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解析：(1)根据统计数据得2×2列联表如下：

抗倒伏
易倒伏
总计
矮茎
15
4
19
高茎
10
16
26
总计
25
20
45
由于K2的观测值k＝≈7.287＞6.635，因此可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒状与玉米矮茎有关．
(2)由题意得，抽到的高茎玉米有2株，设为A，B，抽到的矮茎玉米有3株，设为a，b，c，从这5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，其中均为矮茎的选取方法有ab，ac，bc，共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.