2019届二轮复习　基本初等函数、函数的应用[小题提速练]学案（全国通用）

第21练　基本初等函数、函数的应用[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题.2.题目难度：中档偏难．

考点一　幂、指数、对数的运算与大小比较
方法技巧　幂、指数、对数的大小比较方法
(1)单调性法；(2)中间值法．
1．(2018·浙江省杭州市第二中学模拟)已知0 A．(1－a) >(1－a)b B．(1－a)b>(1－a)
C．(1＋a)a>(1＋b)b D．(1－a)a>(1－b)b
答案　D
解析　因为0 又因为0b，b>，
所以(1－a) <(1－a)b，(1－a)b<(1－a)，所以A，B两项均错；
又1<1＋a<1＋b，所以(1＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b，
所以C错；
对于D，(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，所以(1－a)a>(1－b)b，故选D.
2．(2018·金华浦江适应性考试)设正实数a，b满足6a＝2b，则(　　 )
A．0<<1 B．1<<2
C．2<<3 D．3<<4
答案　C
解析　∵6a＝2b，∴aln 6＝bln 2，∴＝＝＝1＋＝1＋log23，∵1＜log23＜2，∴2<<3，故选C.
3．若实数a>b>1且logab＋logba＝，则logab＝______， ＝________.
答案　　1
解析　logab＋logba＝ ⇒logab＋＝⇒logab＝2或 ，因为a>b>1，所以logab<1，所以logab＝⇒b＝⇒b2＝a，∴＝1.
4．已知m＝， n＝4x，则log4m＝________；满足lognm>1的实数x的取值范围是________．
答案　－　
解析　m＝，所以log4m＝log2＝－；
＝－>1，解得x的取值范围是.
考点二　基本初等函数的性质
方法技巧　(1)指数函数的图象过定点(0,1)，对数函数的图象过定点(1,0)．
(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数．
(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质．
5．已知函数f(x)＝则f(2 019)等于(　　)
A．2 018 B．2 C．2 020 D.
答案　D
解析　f(2 019)＝f(2 018)＋1＝…＝f(0)＋2 019＝f(－1)＋2 020＝2－1＋2 020＝.
6．函数y＝4cos x－e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是(　　)


答案　A
解析　易知y＝4cos x－e|x|为偶函数，排除B，D，
又当x＝0时，y＝3，排除C，故选A.
7．已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为(　　)
A．(3＋2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．(6，＋∞) D．[6，＋∞)
答案　C
解析　由图象可知b＞2,1＜a＜2，

∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，则a＝，
则a＋2b＝＋2b＝＝＝2(b－1)＋＋3，
由对勾函数的性质知，当b∈时，f(b)＝2(b－1)＋＋3单调递增，
∵b＞2，∴a＋2b＝＋2b＞6.
8．设函数f(x)＝则满足f(f(t))＝2f(t)的t的取值范围是________．
答案　
解析　若f(t)≥1，显然成立，则有
或解得t≥－.
若f(t)<1，由f(f(t))＝2f(t)，可知f(t)＝－1，
所以t＋＝－1，得t＝－3.
综上，实数t的取值范围是.

考点三　函数与方程
方法技巧　(1)判断函数零点个数的主要方法：①解方程f(x)＝0，直接求零点；②利用零点存在性定理；③数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
答案　D
解析　当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3，
由g(x)＝0，得x＝1或x＝3.
当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3，
由g(x)＝0，得x＝－2＋(舍)或x＝－2－.
所以g(x)的零点的集合为{－2－，1,3}．
10．设函数f(x)＝则方程16f(x)－lg|x|＝0的实根个数为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案　C
解析　方程16f(x)－lg|x|＝0的实根个数等价于函数f(x)与函数g(x)＝的交点的个数，在平面直角坐标系内画出函数f(x)及g(x)＝的图象．由图易得两函数图象在(－1,0)内有1个交点，在(1,10)内有9个交点，所以两函数图象共有10个交点，即方程16f(x)－lg|x|＝0的实根的个数为10，故选C.

11．已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)－k＝0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是________．
答案　[0,1)∪(2，＋∞)
解析　画出函数f(x)＝的图象如图所示，

结合图象可以看出当0≤k<1或k>2时符合题设．
12．已知函数f(x)＝ 若方程f(x)＝x＋a有2个不同的实根，则实数a的取值范围是________________________．
答案　{a|a＝－1或0≤a<1或a>1}
解析　当直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切时，设切点为(t，ln t)，
则切线斜率k＝(ln x)′|x＝t＝＝1，
所以t＝1，切点坐标为(1,0)，代入y＝x＋a，得a＝－1.
又当x≤0时，f(x)＝x＋a⇔(x＋1)(x＋a)＝0，
所以①当a＝－1时，ln x＝x＋a(x>0)有1个实根，
此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1个实根，满足题意；
②当a<－1时，ln x＝x＋a(x>0)有2个实根，
此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1个实根，不满足题意；
③当a>－1时，ln x＝x＋a(x>0)无实根，
此时要使(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有2个实根，应有－a≤0且－a≠－1，即a≥0且a≠1，
综上得实数a的取值范围是{a|a＝－1或0≤a<1或a>1}．

1．若函数f(x)＝ax－k·a－x (a>0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga(x＋k)的大致图象是(　　)


答案　B
解析　由题意得f(0)＝0，解得k＝1，a>1，所以g(x)＝loga(x＋1)为(－1，＋∞)上的增函数，且g(0)＝0，故选B.
2．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为(　　)
A. B．1 C．3 D.或3
答案　D
解析　令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1
＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)；
当0 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．
综上知a＝3或a＝.
3．(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　C
解析　令h(x)＝－x－a，

则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
4．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．
答案　[－2,0]
解析　由y＝|f(x)|的图象知，

①当x＞0时，只有当a≤0时，
才能满足|f(x)|≥ax.
②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f(x)|≥ax，得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.
因为x－2＜－2，所以a≥－2.
综上可知，a∈[－2,0]．
解题秘籍　(1)基本初等函数的图象可根据特殊点及函数的性质进行判定．
(2)与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，解题中要优先考虑函数的定义域．
(3)数形结合是解决方程、不等式的重要工具，指数函数、对数函数的底数要讨论．

1．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c C．a 答案　A
解析　由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，根据幂函数y＝x0.1在区间(0，＋∞)上为增函数，得c 2．设a，b，c分别是方程2x＝x，x＝2x，x＝log2x的实数根，则(　　)
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
答案　C
解析　因为2a＝a＞0，所以0＜a＜1.因为b＝2b＝－b＞0，所以b＜0.因为c＝log2c＞0，所以1＜c＜2.所以b＜0＜a＜1＜c.
3．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由函数零点的定义，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－ln x＝0的根．
令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x＞0)，在同一坐标系中画出两个函数的图象．

由图得两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
4．函数y＝(0≤x＜3)的值域是(　　)
A．(0,1] B．(e－3，e]
C．[e－3，1] D．[1，e]
答案　B
解析　∵y＝＝(0≤x＜3)，
当0≤x＜3时，－3＜－(x－1)2＋1≤1，
∴e－3＜≤e1，即e－3＜y≤e，
∴函数y的值域是(e－3，e]．
5．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B. C．2 D．4
答案　B
解析　当a＞1时，由a＋loga2＋1＝a，得loga2＝－1，
所以a＝，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，由1＋a＋loga2＝a，得loga2＝－1，所以a＝.
6．已知函数f(x)＝设m>n≥－1，且f(m)＝f(n)，则m·f(m)的最小值为(　　)
A．4 B．2 C. D．2
答案　D
解析　当－1≤x<1时，f(x)＝5·2x∈，f(0)＝5；当x≥1时，f(x)＝1＋≤5，f(4)＝，1≤m<4.m·f(m)＝m＋≥2，当且仅当m＝时取等号，故选D.
7．若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案　D
解析　函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；
当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ln ，函数在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)的最小值为f ＝1－ln －2a＝1＋ln a－2a.
令g(a)＝1＋ln a－2a(a＞0)，则g′(a)＝－2.
当a∈时，g(a)单调递增，
当a∈时，g(a)单调递减，
∴g(a)max＝g＝－ln 2＜0，
∴f(x)的最小值f ＜0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．
综上，实数a的取值范围是(0，＋∞)．
8．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
答案　C
解析　由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c＞0，则c＜0；当x＝0时，f(0)＝＞0，所以b＞0；当f(x)＝0时，ax＋b＝0，所以x＝－＞0，所以a＜0，故选C.

9．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，那么n的值为________．
答案　1
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验，只有n＝1符合题意．
10．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．

当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)且t1<－1，t2≥－1，当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．当a<－1时，只有一个零点．综上可知，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
11．已知函数f(x)＝则f ＝________，若f(x)＝ax－1有三个零点，则a的取值范围是________．
答案　　(4，＋∞)
解析　因为f ＝－log2＝，
所以f ＝f ＝2＋3＝.
x＝0显然不是函数f(x)＝ax－1的零点，
则当x≠0时，由f(x)＝ax－1有三个零点知，
＝a－有三个根，
即函数y＝＝
与函数y＝a－的图象有三个交点，
如图所示，当x＜0时，两个函数只有一个交点，

则当x＞0时，函数y＝a－与函数y＝x＋有两个交点，则存在x，使a－＞x＋成立，
即a＞x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时，等号成立)，即a＞4.
12．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．
答案　∪
解析　画出函数y＝|f(x)|的图象如图，

结合图象可知当直线y＝2－x与函数y＝x2＋3a相切时，由Δ＝1－4(3a－2)＝0，解得a＝，此时满足题设；由函数y＝f(x)是单调递减函数可知，0＋3a≥loga(0＋1)＋1，即a≥，所以当2≥3a时，即≤a≤时，函数y＝|f(x)|与函数y＝2－x恰有两个不同的交点，即方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，综上所求实数a的取值范围是≤a≤或a＝.